X
تبلیغات
رایتل

مقاله سرا

این وبلاگ حاوی مقاله های بسیار کاربردی میباشد امیدواریم نهایت استفاده از آنها را ببرید
چهارشنبه 16 اسفند 1391

توزیع‎های احتمالی گسسته


توزیع‎های احتمالی گسسته

 

مقدمه

 

در حالی که اغلب تعیین توزیع احتمالی برای یک متغیر تصادفی معین مفید است، بسیاری مواقع در استنباط آماری و تصمیم‎گیری توابع احتمالی متغیرها دارای یک فرم هستند. در چنین مواردی استفاده از نظریه توابع احتمالی شرح داده شده در فصل پنجم برای به دست آوردن نتایج کلی در مورد توزیع احتمالی مثل میانگین و واریانس بهتر است از به دست آوردن این مشخصه‎ها در هر حالت ویژه. زیراکسل کننده خواهد بود که در هر مورد جدید با استفاده از توزیع احتمالی یا چگالی، فرایند تعیین مشخصه‎ها مثل میانگین و واریانس را انجام دهیم. خوشبختانه به اندازة کافی همانندی بین انواع معین از آزمایشهای منحصر به فرد معلوم وجود دارد، به طوری که به دست آوردن یک فرمول که نشان دهندة ویژگی عمومی این آزمایش‎ها باشد را ممکن می‎سازد.

در این فصل بعضی از توزیع‎های احتمالی متغیرهای تصادفی گسسته مثل توزیع‎ةای دو جمله‎ای، فوق هندسی و پواسن را مطالعه خواهیم نمود و خواص آنها را بررسی می‎کنیم این توزیع‎ها از مهمترین توزیع‎های گسسته در آمار هستند که کاربرد زیادی دارند. توزیع‎های احتمالی متغیرهای پیوسته با تأکید بر توزیع نرمال که کاملاً شناخته شده است و در آمار استفادة زیادی از آن می‎شود در فصل هفتم بحث خواهد شد.

آزمایش دو جمله‎ای

بسیاری از آزمایشگاه هستند که دارای یک ویژگی عمومی بوده و آن عبارت است از اینکه نتایج آنها به یکی از دو پیشامد دسته‎بندی می‎شوند. برای مثال، «آزمایش دسته بندی یک متقاضی شغل که مرد یا زن است» دارای دو نتیجه می‎‏باشد، آزمایش پرتاب یک سکه که نتیجة آن پیشامد شیرآمدن و خط آمدن می‎باشد. تولد یک نوزاد که نتیجة آن پسر و یا دختر می‎باشد. آزمایش انتخاب یک کالای تولیدی که نتیجة آن تنها به یکی از دو صورت سالم و یا ناقص اتفاق می‎افتد.

در حقیقت این امکان همیشه وجود دارد که نتایج رخدادهایی که در زندگی روزمره اتفاق می‎افتد را به صورت دو نتیجه «موفقیت» و یا «عدم موفقیت» شرح دهیم. امتحانهایی که تنها منتج به دو نتیجه می‎شوند، نقش بسیار مهمی در یکی از توزیع‎های احتمالی گسسته که کاربرد زیادی در عمل دارد یعنی «توزیع دو جمله‎ای» ایفا می‎کنند.

قبل از این که توزیع دو جمله‎ای را معرفی کنیم، آزمایش دو جمله‎ای را شرح می‎دهیم با توجه به مثالهای بالا و مثالهایی مثل مصاحبه با یک رأی دهنده که جواب آن موافق کاندیدای مورد نظر است و یا نیست. پرتاب موشک که نتیجة آن به هدف خوردن و یا به هدف نخوردن است، ملاحظه می‎شود که صرف نظر از بعضی از تفاوتها همة آنها دارای یک مشخصة ویژه آزمایش دو جمله‎ای می‎باشند.

تعریف:

یک آزمایش دو جمله‎ای دارای فرضیات زیر است.

1-آزمایش دو جمله‎ای مرکب از n امتحان یکسان ساده است.

2-هر امتحان منتج به یکی از دو نتیجه می‎شود. یک نتیجه را موفقیت و با S نشان داده و نتیجة دیگر را عدم موفقیت و با F نشان می‎دهیم.

3-احتمال موفقیت در یک امتحان ساده مساوی P است، که از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت باقی می‎ماند احتمال عدم موفقیت مساوی q=1-P است.

4-امتحان‎ها از هم مستقل می‎باشند.

5-علاقمند به X، تعداد موفقیتهای هستیم که در nبار آزمایش ساده مشاهده می‎شود. امتحانهای ساده‎ای که در این شرایط صدق می‎کنند به آزمایش‎های «برتولی» معروفند. در عمل فرضهای بیان شده در یک آزمایش دو جمله‎ای تنها در حالتهای محدودی وجود دارند، اما مادامی که هر آزمایش روی آزمایش دیگر اثر ناچیزی داشته باشد می‎توان نظریة دو جمله‎ای را بکار برد.

برای مثال، احتمال این که یک رای‎دهنده موافق کاندیدای معینی در یک انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت می‎ماند. مادامی که جامعة رای دهندگان در مقایسه با نمونه نسبتاً بزرگ باشد. اگر پنجاه درصد جامعه 1000 نفری از رای دهندگان کاندیدای A را ترجیح به دهند، آن گاه احتمال موافق بودن اولین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی  خواهد بود. احتمال موافق بودن دومین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی  یا  خواهد بود که بستگی دارد به اینکه آیا اولین مصاحبه شونده موافق بوده یا مخالف آن. هر دو عدد نزدیک به   هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین انتخاب هم همین طور است در صورتی که n                           خیلی بزرگ باشد. اما اگر تعداد جامعه 10 و تعداد موافق کاندیداA، 5 نفر باشند، آن گاه احتمالی این که اولین رای دهنده موافق A باشد مساوی   و دومین مساوی   یا   بستگی به این که اولی موافق یا مخالف بوده است خواهد بود. بنابراین برای جوامع کوچک، احتمال موافق بودن از یک رأی دهنده به رأی دهنده دیگر (از یک امتحان به امتحان دیگر) به طور محسوس تغییر می‎کند و نتیجتاً آزمایش دو جمله‎ای نخواهد بود.

توزیع احتمالی دو جمله‎ای

توزیع دو جمله‎ای بوسیلة مقادیر n و p که پارامترهای توزیع هستند توصیف می‎شود. پارامتر هر توزیع عبارت است از یک مشخصة جامعه. در توزیع دو جمله‎ای پارامتر n عبارت است «تعداد امتحانها» و p عبارت از احتمال موفقیت در هر امتحان ساده می‎باشد. برای هر n وp داده شده با توجه به فرضیات آزمایش دو جمله‎ای می‎توان احتمال هر تعداد موفقیت را حساب کرد و نیز می‎توان دیگر مشخصه‎های توزیع مثل میانگین و واریانس را هم به دست آورد.

برای نشان دادن این که چگونه توزیع احتمالی دو جمله‎ای حاصل می‎شود،‌فرایند تولید را در نظر بگیرید که یک وسیلة همانندی تولید می‎کند که به دو صورت سالم و یا ناقص دسته‎بندی می‎شود. وقتی که فرایند به طور درست کار نکند، احتمال ثابت 10/0=p وجود دارد که کالا ناقص تولید شود. تعداد ناقص‎ها هر مقداری از 0 تا تعداد آزمودنی (n) می‎تواند باشد. برای مثال، ممکن است سئوال شود، «احتمال این که در یک نمونة تصادفی چهارتایی یک نتیجة ناقص باشد چقدر است؟ یا احتمال این که دو یا بیشتر در یک نمونة تصادفی چهارتایی ناقص وجود داشته باشد چقدر است؟ کلمة تصادفی معادل مستقل بودن در تعریف آزمون دو جمله‎ای است.

برای محاسبة احتمالات در آزمایش دو جمله‎ای می‎توانیم از قوانین ضرب احتمال استفاده کنیم. مانند

(یک رویداد) p(تعداد رویدادهای مربوط)=(پیشامد)p

در یک مسئله دو جمله‎ای، علاقمند به محاسبة احتمال دقیقاً x موفقیت در n  تکرار امتحان برنولی هستیم، که هر امتحان دارای احتمال موفقی p است. به این معنی که ما x موفقیت و n-x عدم موفقیت داریم. برای محاسبه چنین احتمالهایی، لازم است که احتمال یک رویداد از این وع را پیدا کنیم، آن گاه آن را در تعداد ممکن چنین رویدادهایی ضرب کنیم. چون فرقی ندارد کدام رویداد را ابتدا بررسی کنیم، فرضی کنید به طور اختیاری این رویداد را بررسی کنیم که در آن x موفقیت ابتدا رخ دهد، ادامه پیدا کند یا n-x (عدم موفقیت). فرض کنید موفقیت S= و عدم موفقیت F= باشد، بنابراین این رویداد ویژه به صورت زیر مرتب نمود.

SS…S  FF…F

n-x عدم موفقیت        x موفقیت

برای تعیین احتمال توأم چنین دنبالة ویژه‎ای از موفقیت‎ها و عدم موفقیت‎ها، توجه کنید که امتحانها فرض می‎شوند که از هم مستقل هستند. چون احتمال یک موفقیت p(S)=p و p(F)=q است، بنابراین داریم.

P(SS…S  FF…F)=p(S)p(S)…p(S)p(F)p(F)…p(F)

=(p)(p)…(P)(q)(q)..(q)

می‎توان نشان داد که  نشان دهندة احتمال هر دنباله‎ای است که در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت وجود دارد. بنابراین کافی است بدانیم چند رخ داد متفاوتی وجود دارد که در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت داشته باشیم. جواب عبارت است از تعداد ترکیب‎های x از n می‎دانیم این تعداد عبارت از

بنابراین حاصلضرب  در  احتمال x موفقیت در n امتحان را با احتمال ثابت موفقیت (p) به صورت زیر به دست می‎دهد.

(6-1) (x موفقیت در n امتحان)p

این توزیع را توزیع دو جمله‎ای گویند. اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جمله‎ای با پارامترهای n و p باشد معمولاً آن را به صورت زیر می‎نویسند.

مثال 6-1 اگر کسر ناقصی تولید یک کالا مساوی 1/0=p باشد، در یک نمونة تصادفی چهارتایی از این کالاها توزیع احتمالی تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.

حل: یک کالای انتخاب دو صورت خواهد داشت یا سالم است و یا ناقص. احتمال این که یک کالای انتخاب ناقص باشد مساوی 1/0=p کالاهای انتخابی از همدیگر مستقل هستند بنابراین تعداد کالاهای خراب در نمونه دارای توزیع دو جمله‎ای است. بنابراین توزیع احتمالی تعداد کالاهای خراب طبق جدول 6-1 خواهد بود.

 

جدول 6-1: توزیع دو جمله با 4=n و 1/0=p

جمع

4

3

2

1

0

Xتعداد کالاهای خراب

1

0001/0

0036/0

0486/0

2916/0

6561/0

P(x)

 

که در آن احتمال این که دقیقاً (1=x) کالای خراب در نمونة چهارتایی (4=n) وقتی که 1/0=p باشد، داشته باشیم به صورت زیر حساب می‎شود

با استفاده از جدول 6-1 به سادگی می‎توان احتمال این که تعداد خراب‎ها کمتر یا مساوی 2 باشد را حساب کرد.

مثال 6-2 به منظور عیب یابی در تولید یک نوع کالا که به مقدار زیاد توسط ماشین در کارخانه تولید می‎شود، با استفاده از طرح نمونه‎گیری، کالای تولیدی بازرسی می‎شود. ده قلم کالا به طور تصادفی انتخاب و مورد آزمایش قرار می‎گیرند. چنانچه دو یا بیشتر کالای ناقص مشاهده شود، کالای تولیدی رد می‎شود. اگر کل کالای تولیدی دقیقاً 5 درصد ناقص داشته باشد، احتمال این که کالا پذیرفته شود چقدر است؟ احتمال این که کالا رد شود چقدر است؟

حل: با توجه به شرایط یک آزمایش دو جمله‎ای، مشاهده می‎شود که تعداد کالاهای ناقص در نمونه، x دارای توزیع دو جمله‎ای زیر است.

در صورتی کالا پذیرفته می‎شود که در نمونه یا خراب مشاهده نشود و یا یکی مشاهده شود بنابراین

آن گاه، احتمال رد کالا عبارت خواهد بود از

مثال 6-3 یک واکسن جدید جلوگیری از سرماخوردگی برای تعیین اثر جلوگیری آن در سرماخوردگی عمومی مورد آزمایش قرار گرفته است. برای این کار به ده نفر واکسن تزریق کرده و بعد از مدت یکسال مشاهده شده که هشت نفر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کرده‎اند.

فرض کنید وقتی که واکسن استفاده نشود، احتمال اینکه یک نفر بدون سرماخوردگی زمستان را سپری کند مساوی 5/0 باشد. احتمال اینکه هشت نفر یا بیشتر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کنند بشرطی که واکسن در افزایش مقاومت بدن در برابر سرماخوردگی موثر نباشد چقدر است؟

حل: فرض کنید در صورتی که واکسن مؤثر نباشد، احتمال اینکه یک نفر زمستان را بدون سرماخوردگی طی کند مساوی 5/0=p است. توزیع احتمالی برای x، تعداد سرما نخوره‎ها عبارت است از:

مثالهای 6-1، 6-2 و 6-3 موارد استفادة توزیع دو جمله‎ای و محاسبة احتمال x موفقیت در n امتحان را با توجه به تعریف آزمایش دو جمله‎ای روشن می‎ساند.

البته نکتة مهم این است که برای هر عمل فیزیکی بایستی دقیقاً مشخصه‎های آزمایش دو جمله‎ای بخش 6-2 برای تعیین اینکه آیا مدل آزمایش دو جمله‎ای برای عمل مورد نظر معتبر است تطبیق داده شود.

توجه می‎کنید که مثالهای فوق مسائلی احتمالی بودند تا آماری. احتمال موفقیت در یک امتحان ساده معلوم است و ما می‎خواهیم در n امتحان احتمال پیشامدهای عددی معینی را حساب کنیم. حال روش را بر عکس در نظر می‎گیریم، به این معنی که فرض می‎کنیم یک نمونه از جامعه داریم و می‎خواهیم راجع به p استنباط بکنیم. شکل فیزیکی مثالهای 6-2 و 6-3 در صورتی که هدف نهایی استنباط آماری باشد وضعیت عملی خوبی به دست می‎دهد از این دو مسئله در بخش‎های آتی در استنباط آماری استفاده خواهیم کرد.

تمرین 6-1 اطلاعات قبلی نشان می‎دهد که 30درصد تمام بیمارانی که در یک کلینیک پذیرش می‎شوند نمی‎توانند هزینة خود را پرداخت کنند. فرض کنید 4=n بیمار جدید نشان دهندة یک نمونة جدید از جامعة بیمارانی باشند که توسط کلینیک تحت مداوا قرار می‎گیرند. احتمال اینکه

الف) هیچکدام از بیماران هزینه را پرداخت نکنند.

ب) یک نفر از بیماران هزینه را پرداخت نکند.

ج) تمام بیماران هزینه را پرداخت کنند.

احتمال اینکه تیراندازی در هر شلیک تیر به هدف بزند مساوی 8/0 است. او چهار تیر به هدف شلیک می‎کند، پیدا کنید.

الف) دقیقاً دو تیر به هدف بزند.

ب)لااقل یک تیر به هدف بزند.

ج)چهار تیر به هدف اصابت نماید.

6-3 یک روش جدید جراحی 80درصد با موفقیت انجام می‎شود. اگر عمل جراحی پنج مرتبه انجام شود و فرض کنیم که عملاً از یکدیگر مستقل باشند پیدا کنید.

الف) احتمال اینکه هر پنج عمل با موفقیت انجام شوند چقدر است؟

ب) احتمالی اینکه کمتر از دو عمل به موفقیت بیانجامد چقدر است؟

ج) فقط چهار عمل با موفقیت انجام شود چقدر است؟

6-4 به تمرین 6-3 مراجعه نمائید، اگر کمتر از دو عمل با موفقیت همراه بودند در بارة تیم عمل جراحی چه نظری داشتید؟

6-5 به تمرین 6-3 مراجعه کنید، اگر x تعداد موفقیت‎ها در عمل‎های جراحی باشد، توزیع احتمالی آن را رسم نمائید.

6-4-میانگین و واریانس توزیع دو جمله‎ای

می‎دانیم که توزیع دو جمله‎ای بوسیلة پارامترهای n و P مشخص می‎‏شوند. از طرفی هر توزیعی دارای مشخصه‎هایی است مثل میانگین و واریانس. بنابراین ممکن است در توزیع دو جمله‎ای، میانگین و واریانس را نیز بر حسب n وp بدست آورد.

می‎توان با استفاده از قضایای مربوط به جمع و با استفاده از مهارت در جابجایی جبری، میانگین و واریانس متغیر تصادفی x که دارای توزیع دو جمله‎ای با پارامتر pو n است را مستقیماً حساب نمود در اینجا سعی می‎کنیم این ویژگی‎های توزیع را با استفاده از مثالهای ساده حساب کرده و آن گاه در حالت کلی تعمیم دهیم. برای n=1، توزیع احتمالی x عبارت از

1

0

X

P

Q

P(x)

با توجه به تعریف امید ریاضی، داریم

و برای 2=n، توزیع احتمالی عبارت است از

2

1

0

X

2p

Pq2

2q

P(x)

برای 3=n با توجه به توزیع احتمالی x داریم

می‎توان حدس زد که نتیجه در حالت کلی نیز برقرار است. در واقع می‎توان با استفاده از قضایای ریاضی نشان داد که امید رضای x در توزیع دو جمله‎ای با n امتحان با پارامتر p، برابر است با

به همین طریق می‎توان واریانس x را برای 2و1=n امتحان به دست آورد. برای 1=n

برای 2=n

با جایگذاری q=1-p، خواهیم داشت

به سادگی می‎توان نشان داد که برای 3=n، واریانس مساوی pq3 است. در حالت کلی برای n امتحان و با پارامتر p، می‎توان استنباط نمود که واریانس و انحراف معیار برابر است با

و

مثال 6-4 در یک فرایند تولید که کالای همانندی تولید می‎شود، 10% کالاهای تولیدی ناقص هستند در انتخاب 20 نمونه تصادفی کالا از این فرایند، میانگین و واریانس و انحراف معیار تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.

حل: فرض می‎کنیم مقدار کالاهای ناقص در نمونه باشد =x

واضح است که

بنابراین،

تمرین

6-6 به تمرین 6-1 مراجعه نمائید، می‎دانیم که 30 درصد بیماران پذیرش شده قادر به پرداخت هزینة بیمارستان نیستند. اگر در طول زمان یکسال 2000 نفر در بیمارستان معالجه گردند حساب کنید.

الف) میانگین افرادی که قادر به پرداخت صورتحساب بیمارستان نیستند چیست؟

ب) واریانس و انحراف معیار این تعداد را حساب کنید.

6-7 یک آزمون دارای 15 سوال است که هر سوال دارای چهار جواب احتمالی بوده که فقط یکی از آنها درست است. شخصی به طور شانسی علامت می‎زند، مطلوبست محاسبة

الف) میانگین تعداد جوابهای درست

ب) احتمال اینکه به 8 تا 10 سوال جواب درست به دهد چقدر است؟

6-8اگر متغیر تصادفی x دارای توزیع دو جمله‎ای با میانگین 5/2 و واریانس 25/1 باشد را محاسبه کنید.

6-9 فرض کنید کاندیدای سیاسی دارای دقیقاً 50درصد آرای عمومی باشد.

الف) اگر 10000رأی را به عنوان نمونه تصادفی از جامعة رای دهندگان در نظر بگیریم، امید ریاضی x، تعداد رأی دهندگان به کاندیدای مورد نظر چقدر است؟

ب) انحراف معیار x را پیدا کنید.

ج) فرض کنید 4700=x باشد، آیا این مقدار x با احتمال مورد نظر قابل قبول است؟ نتیجة مشاهده را چگونه می‎توان شرح داد؟

 محاسبة احتمال در توزیع دو جمله‎ای

با استفاده از جدول

محاسبة احتمالهای دو جمله‎ای وقتی nبزرگ باشد کار خسته کننده‎ای است. جداول بسیاری برای توزیع دو جمله‎ای تهیه شده و نشان بر اهمیت کاربردی این توزیع دارد.

یکی از این جدولها در ضمیمه «جدول 1» آمده است. در این جدول مجموع احتمالهای دو جملهی از 0=x تا a=x برای اندازه‎های مختلف nو p آمده است. برای نشان دادن چگونگی استفاده از جدول فرض کنید در توزیع دو جمله‎ای با 10=n و4/0=p بخواهیم جمع احتمالهای از 0=x تا 5=x را حساب کنیم. می‎دانیم این احتمال برابر است با

که در آن

834/0 مشاهده می‎شود بنابراین داریم،

و نتیجتاً

مثال 6-5 فرش کنید (4/0و20)x»B باشد، احتمالهای زیر را با استفاده از جدول حساب کنید.

الف)

ب)

حل: الف)

ب)

با استفاده از بستة نرم افزار MINITAB می‎توان هم احتمال تجمعی و اهم احتمال انفرادی را به دست آورد. احتمالهای دو جمله‎ای انفرادی مربوط به مقدار x برای هر ترکیب n و p را می‎توان با دستور PDF و ادامره با (;) (سمیکلن) و آن گاه با زیر دستور BINOMIAL N P یافت. واضح است که N اندازة نمونه و p احتمال موفقیت در هر آزمایش است. احتمالهای تجمعی دو جمله‎ای را می‎توان با استفاده از دستور CDF، ادامه با (;)  و آن گاه زیر دستور BINOMIAL N P مشاهده نمود. خروجی MINITAB برای هر دو دستور PDFو CDF وقتی 10=n و 5/0=p باشد در جدول 6-2 داده شده است. دستور PDF، احتمال انفرادی p(x=k) و دستور CDF احتمالهای p(x£k) را به دست می‎دهند.

جدول 6-2 احتمالهای دو جمله‎ای خروجی MINITAB برای 10=n و 5/0=p

خروجی MINITAB ممکن است تمام احتمالهای مقادیر برای ترکیبات مختلف را به دست ندهد. زیرا دارای کنترل خارجی است در صورتی که باشد و یا معادل آن  با در نظر گرفتن دقت لازم، محاسبه متوقف می‎شود.

مثال 6-6 میانگین و انحراف معیار متغیر تصادفی که دارای توزیع احتمالی دو جمله‎ای با 10=n و 0/5=p را حساب کنید. احتمال اینکه x در فاصلة بیفتد چقدر است؟

حل: میانگین و انحراف معیار برابر است با

بنابراین فاصلة  برابر است با

یا فاصله از 8/1 تا 2/8 شامل 2و3و 8 است. بنابراین

نتیجة حاص تقریباً با قانون تجربی مطابقت دارد.

کاربردهای توزیع دو جمله‎ای

کنترل کیفیت

یکی از مشخصات کلی تولید انبوه این است که تمامی اقلامی که از خط تولید بیرون می‎آیند با استانداردهای تعیین شده مطابقت نمی‎کنند. این اقلام را اقلام «ناقص» می‎نامند. در واحد کنترل کیفیت سعی می‎شود عواملی را که باعث تولید کالای ناقص می‎شوند را شناسایی نمایند. حتی با بازرسی مداوم و کامل نیز ممکن است کالای ناقص تولید شود. بنابراین کالای تولیدی یا ناقص (موفقیت) و یا سالم می‎باشد و اقلام متوالی که از خط تولید به دست می‎آیند، مانند آزمایش‎های دو جمله‎ای عمل می‎کنند. در صورتی که احتمال تولید کالای معیوب خیلی کم باشد، گفته می‎شود که فرایند تولید «در حالت کنترل آماری» است.

دانستن اینکه آیا فرآیند تولید در کنترل آماری است مهم است و با بازرسی منظم و کامل می‎توان بامر اینکه آیا روند تولید در کنترل آماری است واقف شد. اما بازرسی کامل مشکلاتی دارد که همیشه انجام آن مقدور نیست. به عنوان مثال هزینه و وقت زیادی باید صرف نمود که از نظر اقتصادی مقرون به صرفه نیست و مشکل دیگر اینکه اصولاً برخی از آزمایشها ماهیت تخریبی دارند. مثلاً آزمایش کردن یک لامپ فلاش عکاسی برای تعیین مقدار نور تولیدی، باعث سوختن لامپ شده و اگر همة لامپ‎ها به این روش آزمایش شوند، تولید کننده لامپی برای فروش نخواهد داشت.

نوع دیگر بازرسی که نسبت به بازرسی کامل ارزان و نیز وقت گیر نمی‎باشد، عبارت است از بکارگیری یک. «طرح نمونه‎گیری» که در آن یک نمونه تصادفی به اندازة n از تولید انبوه انتخاب و هرکدام از کالاها را بازرسی نموده و تعداد x ناقص ثبت می‎گردد. اگر x کمتر یا مساوی یک عدد قبولی معین a باشد، تولید انبوه پذیرفته می‎شود. اگر x از a  بیشتر باشد، کل تولید رد می‎شود. فرض کنید که یک تولید کننده طرح نمونه‎گیری با 10=n و 1=a را بکار می‎برد. اگر تولید انبوه 5درصد ناقصی داشته باشد، احتمال پذیرش کالا چقدر است؟ رد چقدر؟ فرض کنید اقلام متوالی انتخاب شده مستقل باشند.

حل: فرض کنید x تعداد ناقص‎های مشاهده شده باشد. با توجه به شرایط آزمایش دو جمله‎ای، واضح است که x دارای توزیع دو جمله‎ای با 10=n و 05/0=pاست. و

ملاحظه می‎شود که این طرح نمونه‎گیری روشی است کاملاً کاربردی و استنباطی در مورد کل جامعة اقلام تولیدی (تولید انبوه). اگر تولید انبوه رد شود چنین استنباط می‎شود که کسر ناقص p، بیش از اندازة بزرگ است. اگر تولید انبوه کالا پذیرفته شود چنین استنباط می‎شود که، p کوچک است و فرایند تولید قابل قبول است.

توجه نمائید که از نظر کاربردی عملی، p احتمال ناقص بودن کالا در تولید انبوه معمولاً‌ معلوم نیست. می‎توان این کسر ناقصی را در حالتی که فرایند تولید به مدت طولانی در حالت کنترل آماری است به دست آورد. البته برای مقادیر مختلف کسر ناقصی p، می‎توان احتمال پذیرش را به صورت یک نمودار به نام منحنی پذیرش کالا و یا منحنی مشخصه عمل کنندة طرح نمونه‎گیری نشان داد. یک نمونه از منحنی ویژه پذیرش در شکل (6-1) نشان داده شده است. یک طرح رضایت بخش نمونه‎گیری پذیرش انبوه کالا آن است که احتمال پذیرش توده کالا با درصد خرابی کم زیاد بوده و احتمال پذیرش تولید انبوه با درصد خرابی زیاد کم باشد. احتمال پذیرش همیشه با افزایش درصد خرابی کاهش می‎یابد، نتیجه‎ای که با شهود ما مطابقت دارد.

مثال 6-7 احتمال پذیرش انبوه کالا را برای طرح نمونه‎گیری با اندازة نمونه 5=n و عدد قبولی 0=a و درصد خرابیهای 1/0=p، 3/0=p و 5/0=p حساب کنید. منحنی ویژه پذیرش طرح نمونه‎گیری را رسم نمائید.

حل: تولید انبوه پذیرفته می‎شود اگر 5=n کالا نمونه گرفته شود و 0=a کالا ناقص مشاهده شود.

منحنی پذیرش را می‎توان با استفاده از سه نقطه به دست آمده در محاسبات بالا رسم نمود. به علاوه می‎دانیم که احتمال پذیرش وقتی که 0=p است مساوی 1 و مساوی صفر است اگر 1=p می‎باشد. منحنی طرح پذیرش کالا در شکل (6-1) رسم شده است.

پذیرش نمونه‎ای که به طریق معقولی عمل می‎کند، یک مثال از استنباط آماری است زیرا روش دلالت بر تصمیم مربوط به کسر ناقصی p در تولید انبوه دارد. اگر تولید انبوه را پذیرفتید، این دلالت بر این دارد که کسر ناقصی p نسبتاً مقدار پذیرفتنی گوچکی است. اگر رد بکنید، واضح است که فکر می‎کنید p خیلی بزرگ است. نتیجتاً، روش پذیرش تولید انبوه به روش نمونه‎ای عبارت است از یک روش تصمیم‎گیری مربوط به کسر ناقصی در کل تولید.

شکل 6-1: منحنی طرح پذیرش کالا 5=n و 0=a

اندازة آزمایش:

از تجربیات گذشته معلوم شده است که به طور متوسط تقریباً 20درصد جوانانی که در آزمایش معینی مورد استفاده قرار می‎گیرند بیش از پایان آزمایش می‎میرند. اگر بخواهیم با احتمال حداقل 98/0 با حداقل 5 حیوان آزمایش را کامل کنیم با چند حیوان باید شروع کنیم؟

حل: اگر B تعداد حیوانات زنده باقیمانده را مشابه تعداد موفقیتها در n تکرار آزمایش دو جمله‎ای با احتمال 8/0=p بدانیم، می‎خواهیم کوچکترین nی را طوری بیابیم که 98/0=(5B³)p باشد. ابتدا با 7=n آزمایش را شروع می‎کنیم. احتمال اینکه 5 یا بیشتر موفقیت در 7=n آزمایش دو جمله‎ای با 8/0=p داشته باشیم چقدر است؟

خواهیم داشت:

بنابراین هفت حیوان کافی نیست. محاسبات مشابهی نشان می‎دهند که احمتال زنده ماندن 5 یا بیش از 5 حیوان بازای 8=n برابر است با 9437/0 است و همین احتمال اگر 9=n حیوان مورد آزمایش قرار گیرند برابر است با 98/0 در نتیجه 9 حیوان کوچکترین حیوانی است که نتیجة مطلوب را تأمین می‎کند.

تمرین

6-10 در یک طرح نمونه‎گیری با اندازة نمونه 10=n و عدد قبولی 1=a بین خریدار و فروشنده توافق می‎شود. احتمال اینکه خریدار مقدار زیادی کالا را با درصد خرابیهای زیر بخرد چقدر است؟

الف) 1/0=p                 ب)3/0=p     ج)5/0=p

د)0=p            ه)1=p

6-11 منحنی ویژه پذیرش را برای طرح نمونه‎گیری تمرین 6-10 رسم نمائید.

6-12 فرض کنید که یک خط تولیدی مدتی در حالت کنترل است و در این مدت مشاهده شده که متوسط فراوانی معیوب‎ها 5درصد است. چنانچه هر روز 10 قلم کالا از تولید روزانه مورد بررسی قرار گیرد و فرض شود که تولید در حالت کنترل است، احتمال اینکه در نمونه روزانه 3 یا بیشتر کالای معیوب مشاهده شود چقدر است؟

6-13 از تجربیات گذشته معلوم شده که به طور متوسط 20 درصد دانشجویان یک رشتة تحصیلی موفق به پایان بردندوره نمی‎شوند. اگر بخواهیم با احتمال حداقل 95/0 با حداقل 10 دانشجو دورة را به پایان برسانیم، چند دانشجو در هر دوره بایستی گزینش نمائیم.

6-6آزمون فرض

بحث در بارة نظریه آزمون‎های فرض در این جا ممکن است کمی زود باشد. اما به لحاظ اینکه معرفی این مطلب موارد استفاده توزیع دو جمله‎ای را در تصمیم‎گیریهای آماری بیان می‎کند و بهعلاوه این بحث مقدماتی از آزمونهای فرض که گاهی اوقات فهم آن مشکل است، باعث می‎گردد که در یک دورة زمانی فکر دانشجو بتدریج درگیری آن بشود، لذا بهتر است معرفی گردد.

نظرات (2)
نام :
ایمیل : [پنهان می ماند]
وب/وبلاگ :
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)
سه‌شنبه 29 اردیبهشت 1394 ساعت 07:41
+ طلوع
با تشکر از مطالب خوب و مفهمومی که گذاشته‌اید.
ولی حیف که تصاویر که فرمولها را در آنها قرار داده‌اید باز نمیشود.
چون ظاهرا از روی کامیپوتر خودتون مسیر داده‌اید و فقط روی سیستم شما دیده می‌شوند:
file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image096.gif
امتیاز: 0 0
سه‌شنبه 19 خرداد 1394 ساعت 13:46
+ as
امتیاز: 0 0