دیفرانسیل و انتگرال

خط مماس

بسیاری از مسائل مهم حساب دیفرانسیل وانتگرال، به مسئله پیدا کردن خط مماس وارد بر منحنی در یک نقطه معین روی منحنی مربوط می شوند. در هندسه مسطحه اگر منحنی دایره باشد، خط مماس در یک نقطه P روی دایره، به عنوان خطی تعریف می شود که دایره را فقط در یک نقطه قطع می کند. این تعریف در حالت کلی برای همه منحنیها صادق نیست. به عنوان مثال، خطی که می خواهیم در نقطه P بر منحنی مماس باشد، منحنی را در نقطه دیگری مانند Q قطع خواهد کرد.

در این بخش، تعریف مناسبی از خط مماس بر نمودار یک تابع در نقطه ای روی نمودار، ارائه می دهیم. برای این کار، ضریب زاویه خط مماس در یک نقطه را تعریف می کنیم، زیرا اگر ضریب زاویه یک خط و نقطه ای روی آن معلوم باشند، آن خط معین می شود.

تصور کنید تابع f در x₁ پیوسته است. می خواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار f در نقطه P(x₁,f(x₁)) را به دست آوریم. فرض کنید I بازه بازی باشد که شامل x₁ است و f بر این بازه تعریف شده است.نقطه دیگر Q(x₂,f(x₂)) را روی نمودار f در نظر می گیریم به طوری که x₂ نیز در I باشد. خطی را که از p و Q می گذرد رسم می کنیم. هر خطی که از دو نقطه یک منحنی بگذرد، خط قاطع نامیده می شود؛ پس خط گذرنده از p و Q یک خط قاطع است. خط قاطع به موازی مقادیر مختلف x₂ رسم شده است . یک خط قاطع خاص نشان داده شده است. در این شکل Q در طرف راست P قرار دارد. معهذا، Q می تواند در طرف چپ P نیز باشد .

تفاضل طولهای نقاط P و Q را با نشان می دهیم. بنابراین

ممکن است مثبت یا منفی باشد. پس، ضریب زاویه خط قاطع PQ به شرطی که PQ قائم نباشد، از رابطه زیر به دست می آید.

چون x₂=x₁+ ، معادله فوق را می توانیم به صورت زیر بنویسیم.

حال فرض نقطه P ثابت باشد، و نقطه Q را در طول منحنی به طرف P حرکت دهیم، یعنی Q به سمت P میل کند.این عمل معادل است با اینکه را به سمت صفر میل بدهیم. ضمن انجام این عمل، خط قاطع حول نقطه ثابت P گردش می کند. اگر این خط قاطع دارای یک وضعیت حدی باشد، همین وضعیت حدی است که ما می خواهیم خط مماس بر نمودار در نقطه P باشد. از این رو، می خواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار در P، برابر با حد m_PQ باشد وقتی که به سمت صفر میل می کند، البته چنانچه این حد وجود داشته باشد. اگر یا ، آنگاه به صفر میل می کند و خط PQ به سمت خطی که از P می گذرد و موازی محور Y هاست، میل می کند. در این حالت، می خواهیم خط مماس بر منحنی در P همان خط x=x₁ باشد.

رسم نمودارهایی سهمی Y=x²-4x+7

برای رسم نمودار 7، چند نقطه و قطعه ای از خط مماس در چند نقطه را رسم می کنیم. مقادیر x را به طور دلخواه اختیار می کنیم و مقدار متناظر y را از معادله داده شده محاسبه می کنیم. همچنین مقدار m را از معادله (2) به دست می آوریم. پیدا کردن نقاطی که در آنها خط مماس بر نمودار افقی است، واجد اهمیت است. چون ضریب زاویه خط افقی صفر است، این نقاط را از معادله m(x₁)=0 می توان به دست آورد. اگر این محاسبات را برای این مثال انجام دهیم، داریم 2x₁-4=0 که به دست می دهد x₁=2 بنابراین، در نقطه ای که طول آن 2 است، خط مماس موازی محور x ها است.

تعریف خط قائم بر منحنی در نقطه مفروض، عبارتست از خط عمود بر خط مماس در آن نقطه.

چون خط قائم در یک نقطه عمود برخط مماس در آن نقطه است حاصلضرب ضریب زاویه های آن ها برابر -1 است.

3 . 2. 1 تعریف مشتق تابع f تابعی است که با علامت f¹ نشان داده می شود و مقدار آن در هر عدد x واقع در قلمرو f به صورت زیر داده می شود.

(2)

به شرطی که حد فوق وجود داشته باشد.

علامت دیگری که به جای f¹(x) به کار برده می شود D_x f(x) است، که خوانده می شود «مشتق اِفِ اِکس نسبت به اِ کس».

اگر x₁ عدد خاصی از قلمرو f باشد، آنگاه داریم

(3)

فرض کنید در این فرمول،

(4)

پس

(5) معادل است با .

از فرمولهای (3)، (4) و (5) فرمول زیر را برای محاسبه f¹(x₁) به دست می آوریم

(6)

اگر y=f(x) ، آنگاه f¹(x) عبارت است از مشتق y نسبت به x ؛ و گاهی نماد D_xy به جای f¹(x) به کار می رود. همچنین نماد y¹ نیز برای مشتق y نسبت به یک متغیر مستقل (در صورت مشخص بودن متغیر مستقل) به کار برده می شود.

اگر تابع f به صورت y=f(x) تعریف شده باشد، فرض می کنیم

بنابراین از فرمول (2) داریم

مشتق را گاهی با نماد dy/dx نمایش می دهند، اما این علامت را قبل از اینکه dx,dy را تعریف کنیم به کار نخواهیم برد.

مثال فرض کنید

و D_xy را پیدا کنید.

حل

F¹(x) می تواند برای بعضی از مقادیر x در قلمرو f وجود داشته باشد و برای مقادیر دیگری از x واقع در قلمرو f، وجود نداشته باشد.

تعریف تابع f را در x₁ مشتق پذیر گوییم اگر F¹(x₁) وجود داشته باشد.

ـ نمونه 1 از تعریف بالا نتیجه می شود که تابع به ازای همه اعداد بجز صفر مشتق پذیر است.

تعریف تابع f را روی بازه ای مشتق پذیر گوییم اگر f به ازای هر عدد واقع در آن بازه مشتق پذیر باشد.

ـ نمونه 2 در تابع f(x)=3x²+12، و قلمرو f مجموعه همه اعداد حقیقی است. چون f¹(x)=6x و 6x برای همه اعداد حقیقی موجود است، نتیجه می شود که f در همه جا مشتق پذیر است.

مشتق پذیری و پیوستگی

تابع y=x¹/₃ در صفر پیوسته است ولی در آنجا مشتق پذیر نیست. ولی. بر نمودار این تابع در مبدا، محور yها مماس است. در نمونه زیر، تابعی داریم که در صفر پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست و بر نمودارش در مبدا، خطی مماس نمی شود.

ـ نمونه 1 فرض کنید f تابع قدر مطلق باشد. بنابراین

F(x)=|x|

چون نتیجه می شود که حد دو طرفه وجود ندارد. بنابراین f¹(0) وجود ندارد و لذا f در صفر مشتق پذیر نیست.

چون توابع مذکور در نمونه فوق در یک عدد پیوسته اند اما در آن عدد مشتق پذیر نیستند، می توان نتیجه گرفت که پیوستگی یک تابع در یک عدد، مشتق پذیری آن تابع در آن عدد را ایجاب نمی کند. ولی مشتق پذیری قطعاً مستلزم پیوستگی است.

تابعی چون f می تواند به یکی از دلایل زیر در عددی مانند c مشتق پذیر نباشد.

1ـ تابع f در c پیوسته نباشد.

2ـ تابع f در c پیوسته باشد، و خط قائمی بر نمودار f در نقطه به طول x=c مماس شود .

3ـ تابع f در c پیوسته باشد، ونمودار تابع f در نقطه به طول x=c خط مماسی نداشته باشد. در نمودار تابعی آمده است که در این شرط صدق می کند. ملاحظه کنید که نمودار در x=c «گوشه ای » دارد.

مشتق یک طرفه

اگر تابع f در x1 تعریف شده باشد، آنگاه مشتق راست f در x1 با f¹+(x₁) نمایانده می شود و به صورت زیر تعریف می گردد

به شرطی که این حد وجود داشته باشد.

اگر تابع f در x₁ تعریف شده باشد، آنگاه مشتق چپ f در x₁ با f¹-(x₁) نمایانده می شود و به صورت زیر تعریف می شود

به شرطی که این حد وجود داشته باشد.

چند قضیه در مورد مشتق گیری از توابع جبری

عمل یافتن مشتق یک تابع را مشتق گیری می نامند که می تواند با استفاده از تعریف انجام شود. ولی، اگر بخواهیم فقط از آن تعریف استفاده کنیم، این عمل نسبتاً طولانی خواهد بود؛ لذا اکنون چند قضیه بیان می کنیم، که به کمک آنها پیدا کردن مشتق بعضی از توابع آسانتر می شود.

قضیه 1) اگر c یک عدد ثابت باشد، و برای هر x داشته باشیم f(x)=c آنگاه داریم

F¹(x)=0

(1) D_x(c)=0

بنابراین، مشتق یک عدد ثابت برابر صفر است.

قضیه 2) اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، و داشته باشیم f(x)=xⁿ آنگاه

F¹(x)=nx ^n-1

(2) D_x(xⁿ)=nx ^n-1

(3) D_x [c.f(x)]= c.D_xf (x).

قضیه 3) مشتق حاصلضرب یک عدد ثابت در یک تابع، برابر است با حاصلضرب عدد ثابت در مشتق تابع، به شرطی که این مشتق وجود داشته باشد.

از ترکیب قضایای 2 و 3 نتیجه زیر به دست می آید : اگر f(x)=cxⁿ که n عددی صحیح و مثبت و c یک عدد ثابت است، داریم

F¹(x)=cnx ^n-1

قضیه 4) مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقهای آن دو، به شرطی که این مشتقها وجود داشته باشند.

نتیجه قضیه قبل را می توان برای هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد؛ کافی است از قضیه قبل و استقرای ریاضی استفاده کنیم.

قضیه 5) مشتق مجموع تعدادی متناهی از توابع برابر است با مجموع مشتقهای آن توابع، به شرطی که این مشتقها وجود داشته باشند.

با استفاده از قضیه های قبل می توان مشتق هر تابع چند جمله ای را به سادگی محاسبه کرد.

قضیه 6) یعنی ، مشتق حاصلضرب دو تابع برابر است با تابع اول ضربدر مشتق تابع دوم به علاوه تابع دوم ضربدر مشتق تابع اول، به شرطی که این مشتقها وجود داشته باشند.

قضیه 7) مشتق خارج قسمت دو تابع عبارت است از کسری که مخرج آن، مربع مخرج کسر اصلی است و صورت آن، مخرج کسر اصلی ضربدر مشتق صورت منهای صورت کسر ضربدر مشتق مخرج است، به شرطی که این مشتقها وجود داشته باشند.

قضیه 8) اگر f(x)=x^-nکه در آن -n یک عدد صحیح منفی است و آنگاه

F¹(x)= -nx ^-n-1

قضیه 9)

D_x(sin x)=cos x.

برای پیدا کردن مشتق توابع کسینوسی مانند مشتق تابع سینوسی عمل می کنیم.

قضیه 10)

D_x(cos x)= -sin x.

چون D_x(sin x) = cos x، و cos x برای تمام مقادیر x تعریف شده است، پس تابع سینوسی همه جا مشتق پذیر و در نتیجه همه جا پیوسته است. به طور مشابه تابع کسینوسی نیز همه جا مشتق پذیر و پیوسته است. چون بیشترین مقداری که هر یک از دو تابع می تواند داشته باشد 1 و کمترین مقدار شان 1- است با توجه به قضیه مقدار میانی، برد هر یک از دو تابع [-1,1] است.

مثال 3 معادله خط مماس بر نمودار تابع کسینوسی در نقطه را پیدا کنید.

حل اگر f(x)=cos x = f(x) آنگاه f1(x)= -sin x . بنابراین

با استفاده از صورت نقطه ـ ضریب زاویه ای، معادله خطی با ضریب زاویه 1 که از نقطه بگذرد، چنین است.

قضیه 11) (قاعده زنجیری) فرض کنید y تابعی از u است که به صورت y=f(u) تعریف شده است، و D_uy وجود دارد؛ و نیز فرض کنید u تابعی از x است که به صورت u=g(x) تعریف شده است، و D_xu وجود دارد؛ در این صورت، y تابعی از x است و D_xy وجود دارد و از رابطه زیر به دست می آید.

D_xy=D_uy.D_xu.

اگر نماد تابع مرکب را به کار بریم قاعده زنجیری بصورت زیر نوشته می شود

D_xf (g(x)=f¹(g(x).g¹(x)

مشتق گیری ضمنی

اگر ، آنگاه معادله

(1) y=3x²+5x+1

تابع F را به طور صریح تعریف می کند. ولی، هر تابعی را نمی توان به طور صریح تعریف کرد. به عنوان مثال، در معادله

(2) x⁶-2x=3y⁶+y⁵-y²

نمی توانیم y را بر حسب x به دست آوریم

با فرض اینکه معادله (2) ، y را به عنوان حداقل یک تابع مشتق پذیر از x تعریف کند، می توانیم مشتق y نسبت به x را با فرآیندی موسوم به مشتق گیری ضمنی پیدا کنیم، که اکنون این کار را می کنیم.

طرف چپ معادله (2) تابعی از x و طرف راست آن تابعی از y است. فرض کنید f تابعی باشد که به وسیله طرف چپ معادله (2) تعریف می شود، و G تابعی باشد که به وسیله طرف راست آن تعریف می شود. بدین ترتیب داریم

(3) F(x)=x⁶-2x

(4) G(y)=3y⁶+y⁵-y²

که در آن y از x مثلاً به صورت زیر است

y=f(x).

بنابراین، معادله (2) را به صورت زیر می توان نوشت

(5) F(x)=G(f(x)).

معادله (5) به ازای تمام مقادیر x واقع در قلمرو f که برای آنها G[f(x)] وجود داشته باشد، برقرار است.

در این صورت، برای تمام مقادیر x که به ازای آنها تابع f مشتق پذیر باشد، داریم

(6) D_x[x6-2x]=D_x[3y⁶+y⁵-y²]

(7) D_x[x⁶-2x]=6x⁵-2

با استفاده از قاعده زنجیری، مشتق طرف راست معادله (6) را پیدا می کنیم.

(8) D_x[3y⁶+y⁵-y²]=18y⁵. D_xy+5y⁴. D_xy-2y . D_xy

اگر مقادیر مربوطه را از (7) و (8) در معادله (6) قرار دهیم، داریم

6x⁵-2=(18y⁵+5y⁴-2y)D_xy.

معادله (2) نوع ویژه ای از معادله شامل x و y است زیرا می توان آن را طوری نوشت که تمام جملات شامل x در طرف چپ و تمام جملات شامل Y در طرف راست معادله قرار داشته باشند.

مشتقهای مراتب بالاتر

اگر f¹ مشتق تابع f باشد، آنگاه f¹ نیز خود یک تابع است، و مشتق اول f نامیده می شود. اگر مشتق f¹وجود داشته باشد، آن را مشتق دوم f می نامیم و با علامت f¹¹نمایش می دهیم (که خوانده می شود اف زِ گوند). به طور مشابه، مشتق سوم f را به عنوان مشتق اول f¹¹، در صورت وجود، تعریف کرده و با علامت f¹¹¹نشان می دهیم (و می خوانیم اف تیرس).

اگر n یک عدد صحیح مثبت بزرگتر از 1 باشد، مشتق n م تابع f را به عنوان مشتق اول (n-1) م تابع fتعریف می کنیم و آن را با علامت f(ⁿ) نشان می دهیم . پس می توانیم خود تابع f را با f(⁰) نیز نمایش دهیم. علامت دیگری برای مشتق n م f به صورت است. همچنین، اگر تابع f به وسیله معادله y=f(x) تعریف شده باشد، n م f را با علامت نیز می توان نشان داد.

مشتق دوم یعنی f¹¹(x) بر حسب واحد f¹(x) در واحد x بیان می شود، که عبارت است از واحد f(x) در واحد x، در واحد x (مربع واحد). مثلاً در حرکت مستقیم الخط، اگر در لحظه t (ثانیه) فاصله ذره از مبدا f(t) سانتی متر باشد، سرعت ذره در لحظه t ، f¹ (t) سانتی متر در ثانیه و آهنگ لحظه ای تغییر سرعت در t (ثانیه) ، f¹¹(t) سانتیمتر بر مربع ثانیه می باشد. در فیزیک، آهنگ لحظه ای تغییر سرعت را شتاب لحظه ای می نامند. بنابراین، اگر ذره ای در امتداد یک خط مستقیم طبق معادله s=f(t) در حال حرکت باشد، و در لحظه t (ثانیه)، سرعت لحظه ای برابر v سانتیمتر در ثانیه و شتاب لحظه ای a سانتیمتر بر مربع ثانیه باشد، آنگاه a برابر با مشتق v نسبت به t و یا مشتق دوم s نسبت به t خواهد بود؛ یعنی

کاربردهای دیگر مشتق دوم موارد استفاده آن در پیدا کردن اکسترمم (مینیمم یا ماکسیمم) نسبی توابع و رسم نمودار توابع است.

نکته : مشتق مرتبه چهارم y=sinx با خود y برابر است. بنابراین مشتقات مراتب بالاتر نیز مانند مشتقات مرتبه اول ، دوم و سوم و چهارم تکرار می شوند و مشتق مرتبه پنجم با مشتق اول، مشتق مرتبه ششم با دوم و ... برابر می شوند. بنابراین برای بدست آوردن مشتق مراتب بالا می توان مرتبه مشتق را بر عدد 4 تقسیم کرد و باقیمانده تقسیم را بدست آورد و سپس مشتق مرتبه عدد باقیمانده را حساب کرد.

مشتق به عنوان آهنگ تغییر

ذره ای را در نظر بگیرید که در امتداد یک خط مستقیم در حال حرکت است. یک چنین حرکتی را حرکت مستقیم الخط می نامند. یکی از دو جهت را به طور دلخواه مثبت، و جهت مخالف را منفی انتخاب می کنیم. به خاطر سادگی فرض می کنیم حرکت ذره در امتداد یک خط افقی است، که طرف راست آن جهت مثبت و طرف چپ آن جهت منفی باشد. نقطه ای را روی خط انتخاب کرده و آن را با حرف O نشان می دهیم. فرض کنید f تابعی باشد که فاصله جهت دار ذره را از O در هر لحظه از زمان تعیین می کند.

به طور مشخص، اگر فاصله جهت دار ذره از O در زمان t (ثانیه) برابر s سانتیمتر باشد، در این صورت f تابعی است که با معادله زیر تعریف می شود.

(1) S=f(t)

که فاصله جهت دار ذره از نقطه O در یک لحظه خاص از زمان را نشان می دهد.

به عنوان مثال، اگر ذره ای در امتداد یک خط مستقیم طبق معادله S=f(t) در حال حرکت باشد، سرعت آن ذره در لحظه t بر حسب واحد زمان، به وسیله مشتق s نسبت به t معین می شود. چون می توان سرعت را به عنوان آهنگ تغییر مسافت در واحد تغییر زمان تعبیر کرد، نتیجه می گیریم که مشتق s نسبت به t همان آهنگ تغییر s در واحد تغییر t است.

به طریق مشابه، اگر کمیتی مانند y تابعی از کمیت دیگری مانند x باشد، می توان آهنگ تغییر y در واحد تغییر x را معین کرد. بحث در این مورد، مشابه بحثهای مربوط به ضریب زاویه خط مماس بر نمودار، و سرعت لحظه ای یک ذره که در امتداد یک خط مستقیم حرکت می کند، خواهد بود.

تعریف اگر y=f(x) ، آهنگ لحظه ای تغییر y در واحد x ، در x₁ ، برابر است با f¹(x₁) و به عبارت دیگر، مشتق y نسبت به x در x₁ ، به شرطی که f¹(x₁) وجود داشته باشد.

آهنگ متوسط تغییر y در واحد تغییر x از کسر (3) به دست می آید، و اگر این کسر را در ضرب کنیم، داریم

که همان تغییر واقعی y ناشی از تغییر x به اندازه است، وقتی که نقطه (x,y) در امتداد نمودار حرکت می کند.

تعریف اگر y=f(x) آهنگ نسبی تغییر y در واحد تغییر x، در x₁ برابر است با f¹(x₁) | f(x₁) و یا D_xy|y که در x=x₁ محاسبه می گردد.

قضیه رول

اگر تابع f روی [a,b] پیوسته و روی (a,b) مشتق پذیر باشد و f(a)=f(b) آنگاه حداقل یک نقطه (a<c<b) c وجود دارد که برای آن f¹(c)=0

نقاط c در این قضیه نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آنها خطوط افقی هستند. این مطلب در نمودار مقابل نشان داده شده است.

قضیه مقدار میانگین

هر گاه تابع f روی بازه [a,b] پیوسته و روی بازه (a,b) مشتق پذیر باشد. آنگاه حداقل یک نقطه c که a<c<b وجود دارد بطوری که :

F¹(c)

قضیه مقدار میانگین حالت کلی تر قضیه رول می باشد. در واقع شیب خطی است که از نقاط ابتدا و انتهای تابع در این بازه می گذرد و c نقطه ای است که خط مماس بر نمودار در آن دارای شیبی برابر مقدار فوق است. یعنی خط مماس در c موازی خط گذرا از نقاط ابتدا و انتهای بازه است.

ضمیمه :

مثال 1) معادله خط مماس بر منحنی در نقطه (8 ، 5) را به دست آورید.

حل چون ضریب زاویه خط مماس در هر نقطه (x₁ , y₁) از رابطه زیر به دست می آید

M(x₁) = 2x₁-4

پس ضریب زاویه خط مماس در نقطه (8 ، 5) عبارت است از

M(5)=2(5)-4=6

بنابراین معادله خط مطلوب به صورت نقطه ـ ضریب زاویه ای، عبارت است از

Y-8=6(x-5)

Y=6x-22

مثال 2) فرض کنید f(x) = 3x² + 12 مشتق تابع f را پیدا کنید.

حل اگر x عددی در قلمرو f باشد