X
تبلیغات
رایتل

مقاله سرا

این وبلاگ حاوی مقاله های بسیار کاربردی میباشد امیدواریم نهایت استفاده از آنها را ببرید
پنج‌شنبه 17 اسفند 1391

ریاضیات

ریاضیات

 

همواره یکی از علوم فعال و زنده بوده است که براساس منطق استوار می باشد .پایگاه معرفت ریاضی خرد محض است و بر محور احساسات و خواسته ها نمی گردد .میزانی که با آن اندیشه های ریاضی را می سنجیم مستقل از آن اندیشه هاست .

نتایج همگی بر مبنای قوانین و اندیشه های که بر حسب معیارهای قانونی ریاضیات ثابت شده است .ریاضیات همچنین نمادی از تلاش بی پایان انسانها برای کسب دانش و آگاهی است .

دانش ریاضی محصول کوشش انسانها و ملل گوناگون در زمانهای مختلف است که فراتر از زمان و قالبهای فرهنگی و اقلیمی به منصه بروز و ظهور رسیده است .هدف این تلاش ، فعلیت یافتن گوهر وجودی انسان و پیشبرد معرفت و کمال بشری و گشوده شدن دروازه هایی از ارتباط میان اندیشه ها ، فرهنگها و تمدن هابوده است .

اکنون به جواب سؤال مطرح شده از زبان دکتر مصاحب می پردازیم :

جواب این سؤال در زمانهای مختلف و بر حسب بسط ریاضیات و بسط فکر ریاضی متفاوت بوده است .زمانی ریاضیات را علم اعداد  ،زمانی علم فضا و زمانی علم کمیات متصل و منفصل تعریف می کردند .این تعریف اخیر که شاید بیش از یک قرن تا حدی قابل قبول بود و هنوز در بعضی اذهان باقی است .

اما طرز فکر کنونی را می توان از این گفته یکی از محققین معاصر دریافت :

((در بابی علم فیزیک ، آشکار شده که ضرورت ندارد که ما ماهیت موجودات مورد بحث را بشناسیم بلکه آنچه ضروری است شناخت ساختمان ریاضی آنهاست .در حقیقت تنها چیزی که می شناسیم همین است ))

نفس ریاضیات در هر مبحث علمی ، خواه در علم اقتصاد یا در علم نجوم ، همین شناسانیدن  ساختمان ریاضی است .اینک بد نیست به گفتاری از پرفسور فضل الله رضا در باب ریاضی نو بپردازیم :

در علوم ریاضی نو هم بخلاف ریاضیات قرون پیش ، زیبایی ها کم یا بیش با معیار فربهی خیال و گسترش پرواز سنجیده می شود .وقتی به یکی از امرای علم دوست اسلامی قضیه فیثاغورث را عرضه کردند که مجذور طول وتر مثلث قائم الزاویه برابر مجموع مجذورات طول دو ضلع دیگر است .

 

 

 معروف است که وی چنان از زیبایی  این حقیقت جهانی سرمست شده که دستور داد شکل مثلث را بر روی آستین وی نقش کنند .

A2+b2=c2

این قضیه در قرن بیستم مانند شعرهای نابی که گویندگان بزرگ ایران قرنها پیش آفریده اند از زوایای تنگ مثلث بیرون آمده و به فضاهای بسیار گسترده که در علم و صنعت عمومیت دارند تعمیم داده شد.تعمیم این قضیه در فضاهای هیلبرت که به نام ریاضیدان بزرگ آلمانی قرن نوزدهم معرفی شده است  چنان است که برای هر X  از فضای هیلبرت و تصاویر بر محورهای پایه مختصات چنین می توان نوشت :  

X=x k  e k =(  x,e)e k   

=

 

هرچند تشخیص معیار از پی زیبا شناسی کار دشواری است با از نظر بحث درمجردات می توان گفت که زیبایی این قضیه پهناور بیش از زیبایی قضیه محدود فیثاغورث است .در اینجا همای  خیال بالاتر پرواز کرده مثلث قائم الزاویه  معمولی فضای دوبعدی اقلیدسی ، جای خود را در فضایی به ابعاد بی شمار به شکلی داده است که دیگر تصویر ساده در ذهن ما ندارد ، و بر آستین کسی نقش پذیر نیست .

اینجاست  که دیگر هر که خیالش فربه تر  است آن نقش را بهتر درمی یابد .بیش از دو هزار سال طول کشید تا قضیه  فیثاغورث در آغاز قرن بیستم به اوج زیبایی  خود رسید و قضیه هیلبرت بدست آمد .

بنیان معرفت حقیقی و هنر محض هر دو در عالم مجردات نقش می بندد  .تماس و برخورد با محسوسات گاهی ممکن  و مقدور است اما همه گاه ضرورت ندارد . چنانکه مساحان برای تحدید باغ و خانه ، مثلثهارا با رسن  و دوربین  مشخص می کنند  ولی  در فضاهای هزار بعدی این رسن ها و دوربین ها دیگر بکار نمی آیند .

آنجا کار محسوس وملموس پیچیده تر و خیال آلوده تر است . به هر تقدیر در دفتر زیبا شناسی پرواز مرغ فکر را نادیده نباید گرفت  .

امروز برداشت اهل فن از ریاضیات ،با برداشت عام تفاوت دارد .کار ضرب و تقسیم و عملیلت جبری را ماشینهای حساب به خوبی انجام می دهند .ریاضیدان بیشتر با مجردات سروکار دارد، عالمی خیال انگیز می آفریند و درآن عالم موجودات را به جان  هم می اندازد ترکیبات نو خلق     می کند واز دیدگاههای مختلف به مسائل می نگرد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فصل دوم :

 

 

 

یافتن معادله ای ریاضی که 

بر جهان

حکمفرما است !

 

 

 

 

 

 

آیا ریاضیدانان خواهند توانست جهان را با حداقل جزئیاتش توصیف کنند ؟ این کار درزمان کپلر و گالیله ساده به نظر می رسید . ولی ببینیم  معادله نهایی حاکم بر طبیعت به چه شبیه است ؟

در ماه اوت سال 1609 میلادی در پراگ ، اختر فیزیک دان آلمانی  (( یوهانس کپلر))  دو معادله جهانی ارائه داد .او شکلهای هندسی که سیارات در آسمان طی می کنند را تشخیص داد .

این شکلها بصورت بیضی هایی بودند که مسیر های ستارگان را بصورت ریاضی توسط تنها یک به دست می داد. در اوت 1609، در پادو ( Padoue) جمهوری ونیز گالیله ساخت دوربین نجومی اش را تمام کرد ، حرکت ستارگان را بهتر از هرکسی در جهان مشاهده نمود .

او پس از سالها مطالعه بیان داشت که :

(( ویژگیهای کتاب طبیعت ، همان مثلثها ، مربعها ، دوایر ، کرات ، مخروطها واشکال هندسی دیگر می باشند )).

وبه این طریق لزوم یک توصیف ریاضی یگانه کننده از این شکلها ارائه شد .در 1686 نیوتن توانست معادله ای  من  ارائه دهند که بتوانند.که بتواند ارائه دهد که بتواند حرکت یک سیاره در آسمان و سقوط یک سیب از درخت را در یک فرمول بیان کند .

در 1915آلبرت انشتین نظریه نسبیت عام خود را ارائه داد وسپس معادلات مکانیک کوانتومی ارائه شدند .در واقع  وقتی  جهان را بتوان   فقط  با یک فرمول توصیف کرد که قادر باشد مشاهدات ممکن را توضیح دهد ، آن وقت به انتهای ریاضی و فیزیک خواهیم رسید (( استقلال هاوکینگ )) جانشین کنونی نیوتن بر کرسی ریاضیات دانشگاه کمبریج ، در 1980 معتقد بود که این ((تئوری همه چیز )) قبل از پایان قرن اخیر نوشته خواهد شد .اما  او اشتباه می کرد ، هنوز این  تئوری به ثمر نرسیده است  . بعداز بیش از بیست سال کاندیدای منتخب به صورت  (( تئوری ریسمانها یا ابر ریسمانها )) باقی می ماند که فرض می کرد اجسام بنیادی  بصورت ذره نباشند بلکه بصورت  ریسمانهای کوچکی باشند که نوسانی دائمی دارند .اما اختراع  ابزار ریاضی که بتواند این تکه ریسمانها را مرسوم کند باقی ماند.

اکنون استفان هاوکینگ معتقد است که این معادله ریاضی جهان در کمتر از ده سال آینده  نوشته خواهد شد .

آیا می توان امیدوار بود که کتاب بزرگ طبیعت فقط به یک سطر تقلیل یابد ؟

به طور نظری جواب مثبت است :

حل این معادله برای هر ریسمانی می تواند رفتار کل هر جسم را توضیع دهد اما در عمل این کتب قابل استفاده نیست .برای مطالعه بدن انسان که متشکل از 10 به توان 100 ریسمان است در واقع باید این معادله را حل کرد که غیر ممکن است .

از این پیچیدگی یک یک تشکیل اولیه مشتق می شود که این کتاب بزرگ باید توصیف آن را شامل شود .جهانی که به یک سطر متکی باشد فقط می تواند آشی از ریسمانهای غیر منظم یکنواخت باشد .

این آش بی نهایت محتوی دارد ولذا کتاب طبیعت را غول پیکر خواهد کرد تا بتواند تمام اشکال و پدیده ها را   از نظر ژنتیک گرفته تا اقتصاد در بر داشته باشد .پس در حالی که به یافتن یک معادله نهایی در آینده چنین  نزدیکی نوید داده می شود .آیا بطور ناگهانی در خارج از محدوده کوششهای ما در رسمی کردن آن نمی انجامد .؟

متذکر می شویم که علی رغم تنوع مختلف در دانه های برف ، کلم ، سیب ، رعد وبرق و غیره  هر یک وجه مشترک و ناوردایی دارند ، یعنی همگی ساختاری مثل یک درخت دارند ، با یک تنه مرکزی که به شاخه ها وسپس به برگها ختم می شوند .

ریاضی دان فرانسوی (( Benoit  Mandeibort  )) توانسته است  یک ناوردای پنهان را از این تنوع مختلف استخراج کند :

(( هر کدام از اجسام صرفه نظر که به آن نگاه می کنیم شکل یکسانی را حفظ       می کنند ))

در واقع می توان شاخه رابعنوان شاخه را به عنوان یک درخت مینیا توری  مجسم کرد . معادله ((مندلبروت )) تعبیر  ریاضی این پدیده  است .(( فراکتالهای )) آن می توانند گل کلم و دانه های برق را یگانه کرده  ویک ابزار قدرتمند برای آنالیز آن بسازند .

روبرت هوکفلد و ناتان  کوهن (Rober  Hokfeld  . Natan  cohen)  دو ریاضیدان آمریکایی نشان  داده اند که آنتنهای رادیو یا رادیو های قابل حمل دارای یک شکل فذاکتالی می باشند .

نیمه کمتر بزرگتر آن ، نوار فرکانس بزرگتر را با دقت بیشتر دریافت می کند . جهان ما نیز            می تواند  این شکل شاخه شاخه شدنی (انشعابی ) را تا بی نهایت داشته باشد . بنایراین  فراکتالها به مثلثها ، مربعها ، دوایر ، کرات ، مخروطی و شکلهای هندسی  دیگری  اضافه می شوند تا بیان گالیله ای از طبیعت راکامل  کنند و پدیده های انشعاب یافته را به حساب آورند .

توجه کنید :

ساختار یک دانه  برف یک فراکتال است و این شکل محض مملو از اسرار طبیعت  است که شکلهای هندسی مختلف را تشکیل  می دهد .فراکتالها فقط با یک معادله می توانند دانه برف ، گل کلم ، رعد وبرق و ساحل دریا را وحدت بخشند

 

 

 

 

 

 

 

فصل سوم

 

 

حساب دیفرانسیل

و

انتگرال چیست ؟

 

( بر گرفته از جلد دوم حساب

دیفرانسیل و انتگرال توماس )

 

 

حساب دیفرانسیل وانتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است .هر جا حرکت یا رشدی هست ، هر جا نیروهای متغیری در کار تولید شتاب اند ، حساب دیفرانسیل و انتگرال درست همان ریاضیاتی است که بکار می آید .

این امر در آغاز پیدایش این مبحث صادق بود ، و امروز نیز چنین است .حساب دیفرانسیل وانتگرال در آغاز برای برآورد ه کردن نیازهای دانشمندان قرن هفتم ابداع شد .حساب دیفرلنسیل با مسآله محاسبه آهنگهای تغییر سرو کارداشت و به دانشمندان امکان می داد شیب خم ها را تعریف کنند ، سرعت و شتاب اجسام متحرک را محاسبه کنند ، زاویه آتش باری توپ را برا ی حصول بیشترین برد بدست آوردند ، و زمانهایی را که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را ازهم دارند ، پیش بینی کنند .

حساب انتگرال به مسآله تعیین تابع براساس اطلاع از آهنگ تغییرش می پرداخت و این امکان را فراهم می کرد که مکان آتی یک جسم را با توجه به مکان فعلی اش و نیروهای موثر برآن محاسبه کنند ، مسحت نواحی نامنظم واقع در صفحه را بیابند ، طول خمها را اندازه بگیرند و محل مرکز جرم هر جسم دلخواه را بدست آورند .

پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ ایزک نیوتن (1642- 1727) و بارون گوتفرید ویلیهم لایب نیتس (1646-1716) انجامید ، یوهانس کپلر منجم (1571-1630) با 20سال تفکر ، ثبت اطلاعات ، و انجام محاسبات ، سه قانون حرکت سیارات را که اکنون به نام او معرفند ، کشف کرد : هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکت می کنند که یک کانونش در خورشید قراردارد .

بردار شعاعی ( یعنی خط واصل بین خورشید و سیاره ) درمدت های مساوی مساحات  مساوی را می روبد .مربع مدت گردش هر سیاره به دور خورشید متناسب است با مکعب فاصله نتوسط آن سیاره از خورشید (اگر T    مدت گردش سیاره به دور خورشید  و D   فاصله متوسط باشد ، نسبت D3 / T2   برای تمام سیاره های منظومه شمسی ثابت است .)

استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است .

امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال و تعمیمهای آن در آنالیز ریاضی قلمرو واقعاً گسترده ای دارند و فیزیکدانان ، ریاضیدانان ، و منجمانی که اول با این موضوع را ابداع کردند مسلماً شگفت زده و شادمان می شوند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل می کند و چه رشته های متنو عی آن را برای مدلسازی ریاضی بکار می بردند و به فهم عالم و دنیای پیرامون ما کمک  می کنند.

امیدواریم شماهم دراین شگفت زدگی و لذت سهیم باشید .اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایش های کلی اقتصادی استفاده می کنند .اقیانوس شناسان از این حساب برای فرمول بندی نظریه هایی در باره جریانهای دریایی بهره می گیرنذ و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو بکار می گیرند .زیست شناسان به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال میزان جمعیت را پیش بینی می کنند و تاثیر جانوران شکار گر مانند روباه با بر جمعیت جانوران شکار شونده تشریح می کنند .

پژوهشگران برای بازبینی اندامهای داخلی بدن طراحی میکنند و دانشمندان علوم فضائی آن را برای طراحی موشکها و کشف سیاره های دور دست بکار می گیرند . روانشناسان از حسا ب دیفرانسیل و انتگرال برای درک توهمات بصری استفاده می کنند و فیزیکدانان آن را برای طراحی سیستمهای ناو بری لخت و مطالعه ماهیت زمان و عالم بکار می برند .مهندسان هیدرولیک به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال الگوهای مطمئنی برای آب بندی شیرها در خطوط لوله می یابند ومهندسان برق با بکارگیری آن تجهیزات  استروبوسکوپی را طراحی و معادلات دیفرانسیلی را که توصیف کننده جریان الکتریکی در کامپیوترها هستند ، حل می کنند .

تولید کنندگان وسایل ورزشی برای طراحی راکتهای تنیس وبیس بال و تحلیل گران بازار سهام برای پیش بینی قیمتها و ارزیابی مخاطره نرخ بهره این حساب را بکار می گیرند و فیزیو لوژیست ها با استفاده از آن تکانه ها ( ایمپا لسها ) ی الکتریکی را در نورنهای دستگاه عصبی انسان توصیف می کنند .

شرکتهای دارویی برای تعیین میزان مناسب موجود ی دارو ، وتولید کنندگان الوار برای تعیین مناسب ترین زمان قطع درختان ، به کمک این حساب نیازمندند .این فهرست عملاً بی پایان است زیرا امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال تقریباً درهر زمینه و حرفه ای به طریقی بکار می رود .

حساب دیفرانسیل و انتگرالی که امروز بکار می بریم از نظر تاریخی حاصل تلاسهای افراد بسیاری است .

ریشه های این حساب را تا هندسه کلاسیک یونانی می توان ارزیابی کرد ولی ابداع آن عمدتاً کار دانشمندان قرن هفتم است از میان این دانشمندان می توان رنه دکارت ( 1596-1650 ) بوناونتورا کاوالیری ( 1589-1647 ) پیر دو فرما ( 1601- 1665 ) جان والیس ( 1616- 1703 ) وجیمز گرگوری ( 1638- 1675) را نام برد .

این کار با ابداعات بزرگ نیوتن ولایب نیتس به اوج خود رسید ، آنان پیشگام بودند. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در طی قرن بعد با سرعت زیادی ادامه یافت و هرروز کاربردهای جدیدی برای آن در هندسه ، مکانیک ، مهندسی و نجوم پیدا        می شد .

در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند چندین نسل از برنولیها مخصوصاً یا کوب برنولی ( 1654- 1705) و برادرش یوهان برنولی ( 1677- 1748 ) بودند ( خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ) همچنین باید از لئونهارد اولیر (1707-1783 ) که با قدرت ابداع خارق العاده اش چهره اصلی ریاضیات در قرن هیجده ام بود ، یاد کرد و نیز از ژرف لوئی لا گرانژ ( 1736- 1813 ) و آدری ماری لژاندر ( 1752 1833 ) و بسیاری دیگر .

تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن نوزدهم از جمله برن هارد بو لتسانو ( 1781- 1848 ) ، آگوستین لوئی کوشی ( 1789- 1857 ) و کارل وایر شتراس ( 1815-1897 ) بر عهده گرفتند .

همچنین قرن نوزدهم شاهد دور شدیدی از تعمیم های جالب حساب دیفرانسیل و انتگرال و پیشرفتهای بزرگ ریاضیات در باره این حساب بود .جان فون نویمان (1903- 1957) یکی از ریا ضیدا نان بزرگ قرن بیستم نوشت :

« حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است ودرک اهمیت آن کار آسانی نیست .به عقیده من این حساب روشن ترا ز هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند ، ونظام آنالیز ریاضی ، که توسیع منطقی آن است ، هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید .»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فصل چهارم

 

انتگرالهای خاص

و

روشهای انتگرالگیری

ویژه

 

 

 

در این مقاله بر آنیم که سه هدف زیر را تحقیق دهیم :

1.      معرفی توابع خاص که بر حسب انتگرال تعریف شده اند .

2.      تشریح حل بعضی انتگرالها ی خاص که یا دقیقاً از تعریف تبعیت می کنند یا به نحو یقابل تبدیل به آنها می باشد .

3.      دو فرمول انتگرال گیری ویژه

(1) تابع گاما  ( GAMMA FUNCTION   ) :

فرض کنید        a>0  در این صورت تابع       را تابع گاما می نامند .

نکات :

 

( 1-I  ) می توان ثابت کرد که به ازای هر a>0    ،     و به ازای هر   ، 

(I-2)  می توان ثابت کردکه   .

( تغییر متغیر  x=u2 را به کار برده ، سپس از انتگرال ناسره مهم   استفاده کنید .

(I-3) بعضی انتگرالهای ناسره که اولا دقیقا از شکل تعریف تبعیت می کنند و ثانیا n طبیعی آنها قابل استخراج است ، به کمک فرمول ( 1-I  ) محاسبه می شوند.

(I-4)  بعضی انتگرالهای ناسره که فقط در نمای تابع نمایی با تعریف فوق اختلاف دارند ، یعنی در تابع انتگرالند آنها به جای  e-2x تابع    e-f(x) دیده می شود ، با تغییر متغیر  u=f(x)  قابل تبدیل به فرم اولیه اند .

(I-5) بعضی از انتگرالهای معین با کرانهای صفر و یک ، با تغییر متغیر  x=e-u  قابل تبدیل به فرم اولیه اند .

(II) تابع بتا (BETA FUNCTION) :

فرض کنید .  m,n>0  ، در این صورت تابع  را تابع بتا می نامند .

نکات :

( 1 II )می توان ثابت کرد که

( تعریف   B(m,n) را نوشته ، سپس تغییر متغیر x=sin2 را بکار ببرید . )

( 2 II ) می توان ثابت کرد که

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فصل پنجم

 

شیخ بهایی

و

طرح چند مساله

 

 

 

 

 

 

یکی از هزاران ریاضیدانان مسلملن بها الدین عاملی (شیخ بها یی ) است .او در سالهای (953-1031) می زیسته و 88 کتاب فارسی و عربی به رشته تحریر در آورده که کتاب خلاصه حساب وی شهرت جهانی دارد .

کتاب مذکور کتابی است درسی ،در ریاضیات مقدماتی که در حدود دویست سال درایران و ترکیه و هندوستان از شهرت فوق العاده ای بر خوردار بوده وبارها به زیور طبع آراسته شده است .اخیراً هم درسال 1976 میلادی کتابی با عنوان ریاضیات بهاالدین عاملی در حلب به چاپ رسیده است .بر خلاصه الحساب شرحهای متعدد به زبانهای فارسی و عربی نوشته اند .

شهرت شیخ بهایی بین مورخان ریاضی از آن جهت است که متن عربی و ترجمه آلمانی کتاب خلاصه حساب در سال 1843 میلادی توسط نسلمان (Nesselmann )  در برلین و ترجمه فرانسوی آن توسط اریستید مار در سال 1846 در فرانسه منتشر شد و درآن موقع که هنوز دانشمندان مغرب زمین از آثار مهم ریاضی دوره اسلامی چنان اطلاعی نداشتند با این کتاب آشنا شدند .

در مورد شیخ کم لطفیهایی نیز شده است منجمله سوتر گفته در اثر ریاضی شیخ بهایی پیشرفت علمی دیده نمی شود ،اولا سخن وی ملاک قضاوت نمی باشد ، ثانیاً شیخ با آن همه اشتغال در فقه و اصول و حدیث و کلام و رجال و تفسیر وریاضیات وحساب و فلسفه وعرفان و صرف و نحو (که کتاب صمدیه وی هنوز در حوزه های علمیه تدریس می شود ) وبلاغت ومنطق و هیئت نجوم و اسطرلاب و عبادات و ریاضیات شرعیه و ختومات و اوراد مآثوره و تفکرات و تعلقات و خلسات ممتد وتدریس وتربیت شاگردان و گاه اقامه جماعت و ارشاد ومنبع و وعظ و خطابه و رسیدگی به احوال مردم و درماندگان و پیگیری امور مسلمین و درگیری های شدید فکری و همچنین با اشتغال به علوم غریبه و تبحر در آنها ، و مشکلات معشیتی با ز به نوشتن این حجم زیاد از تآلیفات و مکتوبات توفیق یافته و باتوجه به مطالب معروض این اثر به نوبه خود شاهکار است واین ترهات و سخنان لغو و بیهوده از کسی صادر می شود که تصویر درستی از فعالیت های یک عالم روحانی ، ربانی ، نمی تواند داشته باشد .

ظاهراً شیخ بهایی مؤلف کتاب حساب دیگری موسوم به بحر الحساب نیز بوده است که متاسفانه نسخه ای از این کتاب تا کنون یافت نشده است .

وی سرانجام در سال 1031  در گذشت و بدن مطهر اورا در بارگاه آستان ملک پاسبان امام رضا (ع)دفن نمودند .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

لطیفه ریاضی

 

( ترجمه متن اصلی ): مخرج مشترک کسور تسعه را می توان از ضرب ایام ماه یعنی عدد ((30)) در تعداد ماهها که ((12)) باشد و ضرب حاصل ضرب آنها یعنی ((360))در ایام هفته ((7)) است یا حاصل ضرب کسر هایی که در آن حرف (ع) وجود دارد بدست آورد و مخرج مشترک کسور

نه گانه :

 ] 10/1 و 9/1و8/1و7/1و6/1و5/1و4/1و3/1و2/1 [  که عدد ((2520)) باشد می توان از دو طریق لطیف و بدیع دیگری استخراج کرد :

به بیان دیگر : آنکه تعداد روزهای ماه را که 30 باشد در تعداد برجها که 12 باشد ضرب می کنیم سپس حاصل یعنی 360 را در ایام هفته که 7 باشد ضرب نموده حاصل ، حاصل مخرج مشترک کسور نه گانه می شود .

به بیان دیگر : آنکه از کسور تسعه آنچه را که در اسم آن حرف عین وجود دارد در نظر گرفته در یکدیگر ضرب می کنیم و آن چهار کسر ،ربع (4/1) ، سبع (7/1) تسع (6/1) عشر( 10/1)است که حاصلضرب 2520می شود .

(متن عربی ) و سئل امیر المومنین علیه السلام عن ذلک فقال اضرب ایام اسبوعک فی ایام سنتک .

(ترجمه فارسی ) از حضرت امیر المومنین (ع) در مورد مخارج کسور نه گانه سئوال شد حضرت فرمود ند :

ایام هفته ات را در ایام سال ضرب کن .

« فاضل جواد » در شرح عبارت فوق گفته :

حضرت امیر علیه السلام در حین خطبه خواندن بودند که مورد سوال قرار گرفتند از اینکه آن کدام عددی است که مجموع کسور تسعه را داشته باشد و نیز فرهاد میرزا در کتاب کنز الحساب از کتاب زهرالربیع جزایری نقل می کند که شخص یهودی از جانب امام المتقین حضرت علی ابن ابیطالب (ع) از اقل عددی که مجموع کسور تسعه را داشته باشد سئوال کرد .

حضرت فرمودند : هرگاه بگویم ایمان می آوری ؟ یهودی قبول کرد حضرت فرمود ند : ایام هفته را در ایام سال ضرب کن (360=30×12) است ضرب کن وآن شخص یهودی به شرف اسلام مشرف شد.

قبل از آنکه قسمتی دیگر از کتاب خلاصه الحساب را مورد کنکاش قرار دهیم توضیح یک مطلب قابل توجه است .در آثار ریاضی اسلامی برخی  از اصلاحات همچون نمادهایی استعمال می شدند که زمینه را برای وضع جبر علامتی فراهم کرده اند ریاضیدانان مسلمان در کتابهای جبر و مقابله خود « اصل جبر بدان معنی بود که می توان جمله ای را با تغییر علامت از یک معادله به طرف دیگر منتقل کرد و اصل مقابل یعنی آنکه می توان دو مقدار برابر را از دو طرف معادله حذف کرد».

کلمه «شی» را به جای مجهول بکار می بردند .چون اولین ترجمه کتابهای ریاضی اسلامی به زبان اسپانیایی انجام گرفت ، لغت شی را باهمان تلفظ به صورت (XeI ) اختیار کردند که بعدها خلاصه شد و Xجانشین آن گردید .

روش امروزی جبر ، روش علامتی است که وضع آن ویت ریاضیدان فرانسوی و نقطه عطف آن بدست ریاضیدانان مسلمان شکل گرفت .

مساله

نیزه ای را در حوضی قرار داده اند به نحوی که مقدار پنج ذرع ازآن دربیرون آب است ، سپس آن را طوری مائل می کنیم تا انتهای آن که در عین حوض است تکان نخورد فقط بدنه و مقداری که از آب خارج واقع شده تمایل پیدا کند تا اینکه سرنیزه با سطح آب ملاقات کند .بعد وقتی فاصله بین مطلع نیزه « نقطه ای که نیزه ازآنجا بیرون شده » و نقطه ملاقات سرآن با سطح آب را اندازه گرفتیم 10 ذرع بود حالا شما معین کنید مجموع طول نیزه چقدر است .

سطح آب  10

       نیزه قائم  x                                       نیزه مایل (x+5)

 

 

 

 

متن برهان را به زبان ریاضی قدیم

از طریق جبر فرض می شوذ مقدار غائب ( زیرآب ) شی  X  باشد از طول نیزه کلاً «5+ شی » است و بدیهی است که وقتی نیزه را کج کردیم وتر مثلث قائم الزاویه ای می شود که یک یاز ضلعهایش «10» ذرع است و ضلع دیگر به اندازه تکه غائب از نیزه است .

پس مربع کل نیزه یعنی 25 بعلاوه مال «مجذور شئی » ]بعلاوه 10شئی ( مال + 10شئی +25 )= (شئی +5) .(شئی +5) [ مساوی است با مربع 10 بعلاوه مربع شئی ( 10× 10×+شئی × شئی ) یعنی 100بعلاوه مال طبق شکل عروس ( شکل چهل وهفتم اشکال التآسیس ).

وبعد از اینکه از طرفین دستگاه جبری مشترکات (مفهوم مقابله ) را حذف نمودیم با قی می ماند 10شئی مساوی با هفتاد و پنج و خارج قسمت که 2/71 با شد مقدار غائب از نیزه است پس طول نیزه« 2/121 » می شود .چون مربع هر وتر در مثلث قائم الزاویه  مساویست با مجموع مربع در ضلع دیگر پس داریم :

 2=X2+10 2( X+5 )

          (X2+10X+25=X2+100)

10X=75            ,   X=5/7

پس طول نیزه نیز برابر است با :        5/12=5+5/7

البته برای بدست آوردن مطلوب در این مسئله و نظائرش راههای دیگری نیز و جود دارد که با ذکر ادله در کتاب بحرالحساب ذکر شده که خدای تعالی مارا برای اتمام کتاب موفق فرماید .

]  پایان گفتار شیخ بهایی در این مسآله [

در همین مسآله یکی از طروقی که در آنجا ذکر شد .قاعده حساب خطائین است ، به صورت زیر :

طول نیزه در فرض اول : 15

مربع نیزه : 225= 15×15

طول یک ضلع : 10=5-15

مربع یک ضلع : 100=10×10

مربع ضلع دیگر : 100= 10×10                       ، 200= 100+100

خطاء اول : 25= 200-225

طول نیزه در   فرض دوم :  20

مربع نیزه : 400= 20×20

طول یک ضلع :  15= 5-20

مربع یک ضلع : 225= 15×15

مربع ضلع دیگر 100= 10×10                   ، 325= 225-100

خطا ءدوم : 75= 325-400

محفوظ اول : 1125 = 75×15

محفوظ دوم : 500=25×20

تفاضل محفوظین : 625= 500-1125

تفاضل خطائین : 50=25-75

طول نیزه 5/12 = 2/1   12= 50  : 625 .  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فصل ششم

 

 

هم ارزی در حد و خطرات آن

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

چکیده

تجربیات تدریس درس  ریاضی عمومی (1) ، درچندین سال گذشته باعث شد که بار دیگر مسأله هم ارزی و عواقب آن را با یادآوری مطالب مهم بهمراه مثالهای مناسبی جمع آوری نمایم .

1.      بینهایت کوچکها و خواص اساسی آنها

تعریف 1.1

فرض کنید  و  آنگاه گوییم f(x) در همسایگی a بینهایت کوچک است .

مثال 1.2 تابع f(x)=(x-1)2  وقتی که x بسمت  میل کند ، بینهایت کوچک است .

قضیه 1.4 فرض کنید f(x)=b+g(x) ؛ بطوریکه b یک عدد و g(x) یک بینهایت کوچک درهمسایگی a باشد در این صورت 

مثال 1.5 فرض کنید  . در این صورت  ،  بطوریکه x بسمت  میل کند یک بینهایت کوچک است و همچنین  

قضیه 6.1 فرض کنی و  . در این صورت  

قضیه 7.1 حاصلجمع تعداد متناهی تابع بینهایت کوچک درهمسایگی a  ، بینهایت کوچک در همسایگی a هست.

قضیه 8.1 حاصلضرب یک بینهایت کوچک در همسایگی a در یک تابع کراندار ، یک بینهایت کوچک در همسایگی a هست .

قضیه 9.1 فرض کنید f(x) یک بینهایت کوچک در همسایگی a باشد و   در این صورت

2. مقایسه بینهایت کوچکها و شرایط هم ارزی در حد

تعریف 1.2

فرض کنید f(x) و g(x) بینهایت کوچکهای هم  مرتبه در همسایگی a باشند و

  

گوییم f(x) و g(x) بینهایت کوچکهای هم مرتبه در همسایگی a هستند .

مثال 2.2 فرض کنید f(x)=x و g(x)=sin2x . در این صورت  در نتیجه f(x) و g(x) بینهایت کوچک هم مرتبه در همسایگی   هستند .

تعریف 3.2

فرض کنید f(x)  وg(x)  بینهایت کوچک در همسایگی a باشند و    در نتیجه f(x) بینهایت کوچک از مرتبه کمتر از بینهایت کوچک g(x) در همسایگی a است.

مثال 4.2 فرض کنید f(x)=x و .g(x)=xn در این صورت  در نتیجه f(x) بینهایت کوچک از مرتبه کوچکتر از بینهایت کوچک g(x) است .

تعریف 5.2

بینهایت کوچک g(x)  در همسایگی a را نسبت به بینهایت کوچک f(x)  در همسایگی اش از مرتبه k نامند ، اگر fk(x) و g(x) بینهایت کوچک هم مرتبه باشند .

مثال 6.2 فرض کنید f(x)=x و g(x)= x3 . در این صورت g(x) بینهایت کوچک از مرتبه 3 نبت به بینهایت کوچک f(x) در همسایگی    است زیرا

 

 

تعریف  7.2

فرض کنیf(x) وg(x)  در همسایگی a بینهایت کوچک باشند و   گوییم f(x)  و g(x) د و بینهایت کوچک هم ارز در همسایگی a  هستند می نویسیم~ .g(x).f(x)

مثال 8.2 فرض کنید f(x)=x و g(x)= sin x . در این صورت .sin x ~ x

قضیه 9.2 فرض کنید f(x) و g(x)  در همسایگی a بینهایت کوچک هم ارز باشند . در این صورت f(x)-g(x) یک بینهایت کوچک از مرتبه بالاتر از بینهایت کوچکهای f(x) و g(x)  در همسایگی a  است .

مثال 10.2فرض کنید f(x)=x  و g(x)=x3+x  در این  صورت

لذا .f(x)~g(x)

g(x)-f(x)=x3  یک بینهایت کوچک در همسایگی  .  از مرتبه بالاتر از بینهایت کوچکهای f(x) و g(x) است . زیرا

 

 

و

 

 

تذکر : اگر f(x) و g(x) بینهایت کوچک در همسایگی a باشند و  دارای حد نباشد و یا بسمت  میل کند ، آنگاه بینهایت کوچکهای f(x) و f(x) قابل مقایسه نیستند .

مثال 11.2 فرض کنید f(x)=x و  فرض کنید f(x) و g(x) در همسایگی .  بینهایت کوچک هستند . ولی

 

موجود نیست . لذا f(x) و g(x) قابل مقایسه نیستند .

قضیه 12.2 مجموع دو بینهایت کوجک از مرتبه مختلف با آنکه مرتبه کمتر دارد معادل است .

قضیه 13.2 اگر دو بینهایت کوچک را به مقادیر معادل آنها تبدیل کنیم حد نسبت آنها تغییر نمی کند .

 

3. هم ارزی در حد و خطرات آن

آنچه که در گفتار و محاسبات اغلب دانشجویان دیده می شود این تصور است که :

در محاسبه حد یک تابع در نقطه a بجای هر تابع شرکت کننده در آن تابع یک تابع هم ارز آن را جایگزین می کنند .

این امر با توجه به مسائل متداول طرح شده در تستهای کنکور و مسائل دبیرستان چون جواب صحیح می دهد ، لذا ذهن دانش آموزان را از اصل مسأله که در واقع ارتباط نزدیک موضوع هم ارزی یا بسط تیلور و یا مکلورن دارد دور می سازد . و اساساً سخن از این دو مهم نمی شود . بدین جهت بجا است که اصول اولیه هم ارزی که به نظر من بسی مشکل است ابتدا بطور کامل بیان شود و سپس با آگاهی از بسط تیلور و مکلورن موضوع مطرح شود .

در زیر مثالهایی آورده می شود که عملاً به تجربه در تدریس درس ریاضی عمومی بر من ثابت شده است که اغلب دانشجویان تابع هم ارز قسمتی از تابع داده شده را جاگذاری می کنند و بدین جهت جواب درست را نمی توانند محاسبه کنند .

فرض کنید f(x) و g(x) دو بینهایت کوچک در همسایگی a باشند و  در این صورت مقدار  ، چه خواهد بود ؟

 

مثال 1.3   را محاسبه کنید .

حل :

 

اگر با روش متداول دبیرستانی حل کنیم بایستی داشته باشیم :

 x2 + x ~ x ، لذا

 

 

 

مثال 2.3   را محاسبه کنید .

 

مثال 3.3   را محاسبه کنید .

 

مثال 4.3  را محاسبه کنید .

 

مثال 5.3   را محاسبه کنید .

 

حل : این مسأله را به دو روش حل خواهیم کرد .

(1) ابتدا بدون استفاده از روش هم ارزی و دستور هوپیتال حل می کنیم . ابتدا ثابت می کنیم :

 

ابتدا تغییر متغیر y=3x را انجام می دهیم

 

لذا  در نتیجه

 

اکنون می توانیم

 

 

را محاسبه می کنیم :

 

 

حال بسادگی می توان دید که

(2) حال مسأله را به روش هم ارزی و هوپیتال حل می کنیم .

اگر تابعی که می خواهیم حد آن را محاسبه کنیم ساده کنیم خواهیم داشت : 

می دانیم :

 

می توان نشان داد که  و

 

حال بنا به قضیه 13.2 داریم :

 

حال از دستور هوپیتال استفاده می کنیم :

 

 

لذا

 

مراجع

[1]  Stephan C. Carlson and Jerry M. Metzger. A

Recursively Computed Limit . The College

Mathematical Journal, Vol. 21, No.3, May 1990.

(222-224).

[2]  B.B. Demidovich. Problem in Mathematical

Analysis.

[3]  N. Piskunov Differential and Integral Calculus.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

فصل هفتم

 

 

 

 

توسیعهای ساده میدانها

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-  مقدمه

توسیع میدانها در نظریه گالوا از اهمیت بسیار ویژه ای برخوردار است . به طوری که اغلب محاسباتی را که در یک میدان قابل اجرا نیست می توان در میدان توسعه یافته آن انجام داد .

فرض کنید F میدانی دلخواه باشد . در این صورت E را یک توسیع میدان از F نامیم ، هر گاه F با زیر میدانی از E یکریخت باشد ، یا در حالت خاص F  زیر میدانی از E باشد که آن را با E:F نشان می دهیم .

به آسانی ملاحظه می شود که  اگر M زیر مجموعه ای از میدان E باشد ، آنگاه زیر میدان E که به وسیله M تولید می شود و شامل F می باشد یک توسیع میدان ازF است ، که آن را با

F(M): F

نشان می دهیم .

در حالت خاص ، اگر M={a1,...,an} ، آنگاه توسیع

F(a1,...,an):F

را یک توسیع متناهیاً تولید شده گوییم به ویژه اگر M={a} مجموعه ای تک عضوی باشد ، آنگاه

F(a):F

را یک توسیع ساده نامند . توسیعهای ساده از اهمیت خاصی برخوردارند و خواص جالب توجهی دارند . به عنوان مثال اگر  عنصری جبری روی F باشد ، آنگاه درجه توسیع F(a):F که همان بعد فضای برداری F(a) روی F است ، برابر با درجه چند جمله ای کمین a رویF می باشد ، یعنی

[F( ):F]=dega f(x)

که f(x) چند جمله ای کمین  روی F است .

در این مقاله کوتاه سعی شده است ، بعضی از توسیعهایی که به نظر ساده نمی آیند . نشان دهیم که در واقع ساده هستند .

 

2- توسیع ساده

یکی از تمرین هایی که معمولاً در درس جبر 2 دوره کارشناسی ریاضی مورد بحث قرار می گیرد ، آن است که توسیع یک توسیع ساده است . در واقع به آسانی می توان نشان داد که

سؤال مورد بحث ما در این مقاله این است که آیا می توان مطلب فوق را با اضافه کردن چند رادیکال به میدان  اثبات نمود ؟ این سؤال در مقاله ای که توسط دکتر رجب زاده مقدم] 1[در همین شماره مطرح شده است ، که جواب مثبت آن را در قضیه زیر ارائه خواهیم کرد .

قضیه : فرض کنید  میدان اعداد گویا باشد . در این صورت به ازای هر عدد طبیعی an,...a2,a1 که مربع کامل نباشند ،

 

 

به عبارت دیگر توسیع

یک توسیع ساده است .

اثبات به وضوح دیده می شود که

 

لذا بایستی ثابت کنیم

 

 

به روش استقراء روی n عمل می کنیم ، حکم به ازای n=2 برقرار است (چرا؟) . حال فرض کنید که حکم به ازای n-1 برقرار باشد ، یعنی

 

 

نشان می دهیم

 

 

قرار دهید   ، با استفاده از فرض استقرار داریم :

 

 

از جمع روابط بالا نتیجه می شود که

(1)   

 

از طرف دیگر

(2)       

 

اکنون  از دو رابطه (1) و (2) حذف می کنیم . از این رو خواهیم داشت

 

 

اما  از این رو به آسانی ملاحظه می شود که

 بنابراین

 

 

در نتیجه

 

و حکم برقرار است .

 

 

نظرات (0)
نام :
ایمیل : [پنهان می ماند]
وب/وبلاگ :
برای نمایش آواتار خود در این وبلاگ در سایت Gravatar.com ثبت نام کنید. (راهنما)