سیری در ریاضیات

« سیری در ریاضیات »

ریاضیدانها چگونه زبان یکدیگر را میفهمند؟

اگر به سرزمین جدیدی سفر کنید که زبان مردم آنجا را ندانید و نیز ندانید که در آنجا چه می گذرد، سفر برایتان لذتی ندارد. در قلمرو ریاضیات نیز چنین است. کسی که زبان ریاضی را نداند نمی تواند این علم را درک کند. ارتباط و تبادل نظر ریاضی روزگاری در بین ریاضی دانان مشکل بود، اما آنها با اختراع زبان ریاضی که شامل علائم نوشتاری ویژه ای است، این مشکل را از میان برداشتند.

هندسه فضایی چیست؟

هنگامی که یک سطحهندسی دارای ضخامت شود، از قلمرو هندسة مسطح خارج می شود و وارد هندسه فضایی می گردد. در این شاخه از ریاضیات با چهار شکل اصلی روبرو هستیم.: کره، مخروط، استوانه و چندوجهی. چندوجهی ها حجم هایی هستند که طول، عرض وارتفاع دارند که هر وجه(سطح) آنها یک چندضلعی است. فقط پنج نوع چندوجهی منتظم داریم که عبارتند از:

الف ـ هرم یا چهار وجهی منتظم که هر یک از چهار وجه ان یک مثلث متساوی الاضلاع است.

ب ـ مکعب یا شش وجهی منتظم که هر یک از شش وجه ان یک مربع است.

پ ـ هشت وجهی منتظم که هر یک از هشت وجه آن یک مثلث متساوی الاضلاع است.

ت ـ دوازده وجهی منتظم که هر یک از دوازده وجه آن یک پنج ضلعی است.

ث ـ بیست وجهی منتظم که هر یک از بیست وجه ان یک مثلث متساوی الاضلاع است.

نشانه ها، علامتها و تعریفهای ریاضی

+          به علاوه (به اضافه)، علامت جمع کردن است، مانند: 4 + 3

-          منها، علامت تفریق کردن است، مانند: 2 - 4

*          ضرب، علامت ضرب کردن است، مانند: 2 * 4

÷          بخش، علامت تقسیم کردن است، مانند: 2 ÷ 8

=          مساوی، علامت مساوی بودن است، مانند: 4 - 9 = 2 + 3

        نامساوی، علامت نامساوی بودن است، مانند: 2 - 4  4 + 3

        بزرگتر از، علامت بزرگتر بودن است، مانند: 4   8  که می خوانند هشت بزرگتر است از چهار.

        کوچکتر از، علامت کوچکتر بودن است، مانند: 8  4  یعنی چهار کوچکتر است از هشت.

        بی نهایت، علامت بی نهایت است. بی نهایت یعنی عددی که بزرگتر است از هر عددی که فکر کنیم یا بگوییم یا بنویسیم.

         پی، علامتی است که برای محاسبة محیط و مساحت دایره به کار می رود. مقدار آن برابر 14159/3 است.

         درجه، علامت درجه است. درجه، واحد اندازه گیری زاویه است. یک دایره  است.

'         دقیقه، علامت دقیقه است. دقیقه برای نشان دادن بخشهایی از یک درجه بکار       می رود. هر درجه مساوی 60 دقیقه است.

“          ثانیه، علامت ثانیه است. ثانیه برای نشان دادن بخشهایی از یک دقیقه بکار می رود. هر 60 ثانیه 1 دقیقه است.

        عمود، علامت عمود است. عمود خطی است که با خط دیگری زاویة قائمه بسازد.

||           موازی، علامت دو خط راست است که یا یکدیگر موازی هستند. دو خط راست وقتی موازی هستند که امتداد آنها همدیگر را قطع نکند.

انسان اولیه چگونه می شمرد؟

در آغاز، انسان اولیه برای نشان دادن عدد موردنظر خود زا زبان اشاره استفاده می کرد. شاید به ببری که کشته بود یا به سرنیزة همسایه اش اشاره می کرد. یا شاید از انگشتانش برای نشان دادن عدد استفاده می کرد. سه انگشت دست معنی «سه» می داد، خواه سه نیزه یا سه ببر دندان دشنه ای، یا سه غار یا سه سرنیزه.

می دانیم که در زندگی روزمره «عدد» کلمه یا نشانه ای است که بر مقدار و تعداد معینی دلالت می کند. اما لازم نیست آنچه را که ما درباره اش گفتگو می کنیم، مشخص کند. مثلاً «سه» یا «3» می تواند به معنی سه هواپیما، سه قلم یا سه کتاب باشد.

در ابتدا، انسان اولیه می توانست تا دو بشمارد. امروزه هنوز در جهان، قبایلی ابتدایی مانند بومیان بدوی استرالیا ـ ابورجین ها ـ وجود دارند که فقط سه عدد می شناسند: یک، دو و بسیار. اگر یک نفر از این قبیله سه عدد بومرانگ« یا بیشتر داشته باشد، برای شمارش آن فقط عدد بسیار را به کار می برد. البته بیشتر انسانهای اولیه تا ده، یعنی مجموع تعداد انگشتان دستان می شمردند. بعضی فقط تا 20 یعنی مجموع تعداد انگشتان دست و پایشان می شمردند.

هنگامیکه با انگشتان دست شماره می کنید، تفاوتی نمی کند که از انگشت کوچک دست یا از انگشت شست شروع کنید. اما بین برخی از اقوام برای این کار قاعده هایی وجود داشت. مثلاً «زونی» ها (قبیله ای از سرخپوستان آمریکای شمالی) شمردن را از انگشت کوچک دست چپ شروع می کردند. یا سرخپوستان اتوماک امریکای جنوبی شمردن را از انگشت شست آغاز می کردند.

آدمی چون متمدن تر شد، از ترکة چوب، ریگ و گوش ماهی برای نمایش اعداد استفاده   می کرد. آنها سه ترکه یا سه ریگ را در کنار هم ردیف می کردند که معنی «سه» را برساند. عده ای با ایجاد شیار بر روی چوب یا گره هایی که به یک طناب می زدند منظورشان را از عددی که می خواستند بیان کنند می رسانیدند. به این ترتیب همیشه چوبخط یا طناب حساب را با خودشان همراه داشتند یا آن را در جایی حفظ می کردند.

صفر را چه کسی اختراع کرد؟

دستگاه عددنویسی بابلیها یک نقص کلی داشت. در این دستگاه علامتی برای صفر وجود نداشت. ابتدا این مشکل را با گذاشتن یک فاصله برطرف می کردند.

بابلیان در 2000 سال پیش از میلاد، یک علامت «جدا کننده» برای نبودن یک رقم بکار     می بردند. آنها به کمک این علامت می توانستند عدد     = 61 را از عدد     = 2 مشخص کنند. الواحی از 500 تا 200 سال پیش از میلاد در دست است که بر روی آنها علامتی برای نشان دادن فقدان یک رقم، یعنیصفر به کار رفته است. در جدولهای ضرب بابلی که شامل همة ارقام تا 60 * 60 است، علامت      به جای صفر به کار رفته است. از آنجا که بابلیان با هندیان داد و ستد داشتند، گمان می رود که مفهوم صفر را از آنان گرفته باشند، ولی به هرحال این مسلمانان بودند که در قرن نهم یا دهم میلادی مفهوم صفر را وارد اروپا کردند.

تقریباً در 800 کیلومتری شمال شرقی مصر و 800 کیلومتری شمال غربی بین النهرین، سواحل سوریه در اطراف دریای مدیترانه قرار دارد. در آنجا، در 3500 سال قبل، در سرزمین باستانی فنیقیه، اقوامی دریانورد زندگی می کردند. دریانوردان فنیقی از بندرهای تیروس و صیدون، مدیترانه را در می نوردیدند. در حدود 3000 سال پیش، کشتیهای آنان از منتها الیه غربی مدیترانه گذشتند. بی شک آنها از تنگة جبل الطارق گذشتند و در سمت شمال تا سواحل انگلستان و در سمت جنوب تا سواحل غربی آفریقا پیش رفتند. با آنکه کشتی های کوچک آنها محکم بود، آنان همواره نزدیک به ساحل کشتیرانی می کردند تا از سرزمینها و نشانه های آشنا دور نباشند. اما با گذشت زمان، دل به خطر سپردند و به خود جرئت دادند تا دور از ساحل نیز دریانوردی کنند. آنها به میان دریاهای باز راندند. البته این در هنگامی بود که از ریاضیات دریانوردی به اندازة کافی اطلاع داشتند.

چگونه برای نخستین بار محیط کرة زمین را اندازه گرفتند؟

اراتوستن ریاضیدان یونانی، در حدود 225 سال قبل از میلاد می زیست. او کتابدار کتابخانة بزرگ اسکندریه در مصر و نخستین کسی است که زمین را اندازه گرفته است. اراتوستن ریاضیات را در مورد دو تا از مشاهدات خود به کار بست: او در کتابها خوانده بود که نزدیک اولین آبشار نیل در شهر سین یا آسوان امروزی در جنوب مصر، در روز معینی از سال در هنگام ظهر، امکان داشت تابش نور خورشید را در یک چاه عمیق به خوبی مشاهده کرد، زیرا خورشید مستقیماً از بالای سر می تابید و هیچ نوع سایه ای ایجاد     نمی کرد. اما در همان موقع و همان روز در اسکندریه که در 800 کیلومتری شمال آسوان قرار داشت، اشیای قائم حتی در هنگام ظهر سایه ای داشتند. پس خورشید قائم نمی تابید. به این ترتیب اراتوستن می توانست دو نکته را مورد توجه قرار دهد، یکی اینکه زمین کروی است و دیگر اینکه شعاعهای خورشید موازیند. او در شهر اسکندریه ستونی قائم در زمین برپا داشت و در لحظه ای که خورشید در شهر سین به طور قائم به ته چاه می تابید، زاویة سایة این ستون را حساب کرد. اراتوستن می دانست که زاویة اندازه گیری شده، برابر زاویه ای است که میان سین و اسکندریه نسبت به مرکز زمین وجود دارد.

اندازة این زاویه  درجه بود. فاصلة بین اسوان و اسکندریه هم 800 کیلومتر بود. اراتوستن توانست با دو برهان هندسی که دانشمندان قدیمی تر یونانی پرورانده بودند، محیط زمین را محاسبه کند. نخست آنکه معلوم شده بود که زوایای متقابل به رأس، با هم مساویند. دوم آنکه ثابت شده بود که از تلاقی یک خط مستقیم با دو خط موازی، زوایای مساوی به وجود می آید. به علاوه اراتوستن می دانست که هر دایره  درجه است. همچنین وی از روی اندازه گیریهایش می دانست که  درجه برابر با 800 کیلومتر از سطح زمین (فاصلة اسوان تا اسکندریه) است.

از آنجا که 48 بار  درجه برابر  (یعنی یک دایرة کامل) است، وی 800 کیلومتر را در 48 ضرب کرد و به این ترتیب محیط زمین را در 38400 کیلومتر محاسبه کرد. با وسایل دقیق امروزی، دانشمندان محیط دایرة استوایی زمین را 5/40076 کیلومتر می دانند.

نمودار وِن چیست؟

نمایش هندسی یا نمایش مجموعه را نمودار وِن می نامند. این روش اولین بار به وسیلة «وِن» ریاضیدان معروف انگلیسی به کار برده شد. ون در حالت کلی مجموعه را با قسمتی از نقاط صفحه محدود به یک دایره، یک مستطیل یا هر منحنی بستة دیگری نمایش داد و هر نقطة داخل شکل را یک عضو مجموعه فرض کرد. می توان تصاویر اجسام را با علائم قراردادی مشخص کردو

(ما = ماشین،                 ک = کتاب،                 ج = جعبه آبرنگ،                    کش = کشتی،

تو = توپ،                    جر = جرثقیل،              ب = بیلچه،                               س = سطل،

ر = راکت)

در این تصویر مجموعة احمد به شکل زیر است:

مجموعه اسباب بازیهای هوای بد را با با حرف A و مجموعة اسباب بازیهای هوای خوب را با حرف B مشخص می کنیم. مجموعة همة اسباب بازیهایی را که احمد دارد با حرف M‌نشان می دهیم. M را مجموعة مرجع می نامند.

شمارش مولکولهای شیمیایی

کاربرد علم گراف در اکثر رشته های مختلف شناخته شده است. این بار از گراف در شیمی صحبت می کنیم. لازم است خواننده ابتدا تعریف رأس و درخت را در گرافها بداند.

یک نمونه قدیمی از کاربرد درختها در مسائل مربوط به شمارش مولکولهای شیمیایی است. یک هیدروکربن (یعنی، مولکولی که فقط دارای اتمهای کربن و ئیدروژن است) را می توان به صورت یک گراف نشان داد که در آن اتم کربن به صورت یک رأس درجه 4 و هر اتم هیدروژن یک رأس درجة یک است. گرافهای بوتان و ایزوبوتان در شکل زیر آمده است:

با وجود اینکه فرمول شیمیایی هردو  است. چون در این مولکولها ترتیب اتمها متفاوت است، لذا این دو مولکول متفاوتند. این دو مولکول بخشی از دستة عمومی مولکولهای موسوم به آلکانها یا پارافینها، با فرمول  هستند. به طور طبیعی این پرسش مطرح می شود که این فرمول چند مولکول دارد.

گراف هر مولکولی با فرمول  یک درخت است.« زیرا این گراف همبند است و تعداد رأس و یال آن به ترتیب  و  می باشد. همچنین هرگاه ترتیب اتمهای کربن شناخته شود، مولکول کاملاً مشخص می شود. زیرا در این صورت اتمهای هیدروژن بگونه ای اضافه می شوند که درجة رئوس اتمهای کرن را به 4 برسانند. بنابراین می توان اتمهای هیدروژن (شکل پایین) را نادیده گرف، و مسئله به تعداد تعیین درختهای n رأسی تبدیل می شود که درجة هر یک 4 است.

لیکی در سال 1875 این مسإله را با شمارش طریقه هایی که می شود درختها را از رئوس مرکزی آنها بنا کرد، حل کرد. تشریح این استدلال پیچیده تر از آن است که اینجا بحث شود.

زندگی نامه دانشمندان

وی اهل یونان و در اواخر قرن پنجم ق . م در آتن می زیست که استاد افلاطون نیز بود .

اثبات وی دربارة این بود که جذر 3 و نیز جذر سایر اعداد غیر مجذور کامل کامل تا 17 اصم است ؟ 

تئودوروس

ریاضیدان ایتالیایی (1623 و 1662) ، چند مقاله در حساب عالی ، هندسه ، مثلثات کروی و ... دارد ؟

چزارو ارنسنو

یکی از بزرگترین ریاضیدانهای روسی ، که به سبب نتایجی که در تئوری اعداد اول بدست آورد معروف است . (1821-1894)

چبیچف ، بافندگی دودویچ

وی نیز یک ریاضیدان آلمانی که در تئوری اعداد معروف است آثارش به حد اعلی ابتکاری است و از آن جمله سه اثر مشهور اوست به اسامی « اتصال و اعداد اصم » (1872) و « اعداد چه هستند وچه باید باشند (1888) و توری اعداد صحیح جبری (1879و1894) .

« کنید ، یولیوس »

ریاضیدان ، فیزیکدان و منجم آلمانی ، (1728-1777) که مخصوصاً به سبب ثابت کردن اصم بودن  معروف است

لامبرت ، یوهان هاینریش

ریاضیدان دیگر آلمانی که در جهت اثبات متعالی بودن عدد   معروفست . اثبات متعالی بودن عدد   امتناع ؟؟؟ دایره را با پرگار و ستاره و ستاره محقق ساخت (1852-1932)

لیندمان ، فردنیاندفون

داستان آلیس در سرزمین عجایب اثر این ریاضیدان و منطق ؟؟؟ و نویسنده انگلیسی است  (1832-1898)

کارل ، لویس

4 بردارید ، تا بر 33 تقسیم شود !

کوچکترین عدد صحیح را پیدا کنید ، که با 4 شروع شود ، و اگر 4 را از اوّل آن حذف کنیم ، عددی که بر جا می ماند ، یک سی و سوم عدد اولیه باشد !

4 بردارید ، تا بر 33 تقسیم شود !

عدد مطلوب چنین نوشته می شود :

N< 10^k : با  N = 4*10^k +n,

n و K باید معادله ی زیر صدق  کنند :

33n= 4*10^k + n

32n= 4*10^k

8n= 2^k*5^k

کوچکترین مقدار برای k مساوی 3 است . در این صورت عدد مطلوب 4125 می شود .

بطری شناور در آب

یک قایقرانبا سرعت ثابت ، در خلاف جهت آب رودخانه ، پیش می رفت . یک وقت او یک بطری شناور در سطح آب دید ، که در سوی حرکت آب ، و در خلاف جهت او حرکت      می کرد . ابتدا وی اهمیّتی به این موضوع نداد ، و به راه خود رفت . امّا یک ربع ساعت بعد ، یک مرتبه فکر کرد : از کجا معلوم که این بطری شناور محتوی یک پیام برای او ، یا فرد دیگر ، نباشد ! فوراً بازگشت کرد ، و به دنبال بطری ، همجهت با آب ، حرکت نمود ، و وقتی  به آن رسید ، که بطری 1 کیلومتر جابه جا شده بود . سرعت حرکت آب را بیابید .

بطری شناور در آب

اگر آب ساکن بود ، قایق یک ربع ساعت پیش می رفت ، و یک ربع ساعت بازگشت می کرد ، تا آن را بگیرد . امّا در همین مدّت نیم ساعت بطری یک کیلومتر ، در جهت آب ، حرکت کرده است . یعنی سرعت حرکت آب 2 کیلومتر در ساعت بوده است .

مریم میرزا خانی

دانشجوی سال چهارم رشته ی ریاضی دانشگاه صنعتی شریف

برندة مدال طلای المپیاد ریاضی کشور ، سال 1373

برندة مدال طلای سی و پنجمین المپیاد جهانی ریاضی -  هنگ کنگ 1995

برندة مدال طلای سی و ششمین المپیاد جهانی ریاضی -  کانادا 1995

زنده یاد رضا صادقی

دانشجوی نخبه ی دانشگاه صنعتی شریف و عضو باشگاه دانش پژوهان جوان در سال 1373 در سی و پنجمین المپیاد جهانی ریاضی در هنگ کنگ مدال نقره و در سال 1374 در سی و ششمین المپیاد جهانی ریاضی در تورنتوی کانادا مدال طلا کسب نمود وی در تاریخ 26 اسفند ماه 1376 در سانحه ی رانندگی در بازگشت از اولین سمینار دانشجویی ریاضی به همراه شش تن دیگر از نخبگان ریاضی کشور به دیدار حق شتافت.

منابع:

1.      کتاب در جهان ریاضیات (اریک اوبلاکر)

2.      کتاب دانشمند (سید محمدعلی عمادی)

3.      کتاب المپیاد ریاضی برای همه (مارتین آمیوت و ...)

---

«  بومرانگ نوعی ابزار شکار که به کمانی خمیده است و با دست پرتاب می شود و پس از طی مسافتی (برحسب قدرت بازوی پرتاب کننده) به سمت پرتاب کننده باز می گردد.

«   طبق قضیه زیر گراف هر مولکولی با فرمول  ، یک درخت است.