ویژگی بنیادی مثلثات

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

اندازه کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی

1.1. 

دانش‌آموزان اولین چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin1⁰، cos15⁰،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یک دور دایره به 360 قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است. در اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است. این زاویه به کمانی نگاه می‌کند که طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در آن یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر  است از اینرو طول کمان  برابر  رادیان خواهد بود. در نتیجه  برابر  رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- کمانی به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:

اگر  باشد آنگاه  یا  را خواهیم داشت.

مثال 2-1-1 کمانی به اندازه  رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر  و  باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A₁ به نقطه A₂ حائز اهمیت است. مسیر کمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیکه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:

 3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت  از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:

(1)                    عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

(2)                    اگر  باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه  را به عنوان نقطه مبدا کمان AP₁ در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با P_t نشان داده و عدد t را با نقطه P_t روی دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم. یا به عبارت دیگر نقطه P_t تصویر نقطه A=P₀ خواهد بود وقتی که صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.

(3)                    اگر  باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول  را مشخص می‌کنیم. فرض کنید که P_t نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر  به عدد  متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد  متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول  (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون کامل P^-1(P_t) نقطه P_t با مجموعه  تطابق دارد.

توجه: عدد t معمولاً با نقطه p_t که متناظر به این عدد است یکی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه کرد.

مثال4-1-1- همه اعداد  را که متناظر به نقطه  با مختصات  است تحت نگاشت P بدست آورید.

حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد:

فرض می‌کنیم که Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شکل 3). آنگاه  بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود:  بدین ترتیب اندازه کمان AF برابر  بوده و به نقطه F فقط اعداد  متناظر می‌شود.

یک تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت که بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت  که در آن  به صورت یک عدد صحیح است تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود. کوچکترین دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.

قضیه1-1. توابع  و  با دوره تناوب بنیادی  متناوب هستند.

قضیه 2-1. توابع  و  با دوره‌ تناوب بنیادی  متناوب هستند.

برهان قضایای 1-1 و 1-2 را با استفاده از نمودارهای سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت، و نیز به کمک دایره مثلثاتی می‌توان بطور عادی اثبات کرد. برای اعداد حقیقی  فقط یک نقطه P_X روی دایره مثلثاتی متناظر است از اینرو این اعداد دارای سینوس‌ها و کسینوس‌های یکسانی هستند. در همان حال هیچ عدد مثبت کوچکتر از  نمی‌تواند دوره تناوب توابع  باشد. در حقیقت اگر T دوره تناوب COSx باشد آنگاه cos T=cos (0+t)=cos0=1 خواهد بود. از اینرو به عدد T نقطه P_t با مختصات (1,0) متناظر بوده و در نتیجه عدد T دارای شکل  خواهد بود؛ و بدلیل مثبت بودن آن  را داریم. بطریق مشابه اگر T دوره تناوب تابع sin x باشد آنگاه  بوده و به عدد  نقطه  با مختصات (0.1) متناظر می‌شود. از اینرو  یا  یعنی  را خواهیم داشت.

برای اثبات قضیه 2-1 به این نکته توجه می‌کنیم که نقاط  به ازاء t نسبت به مبدا متقارن خواهند بود (عدد  نیمدور از محیط دایره مثلثاتی را نشان می‌دهد) بنابراین مختصات نقاط p_t+و p_t از نظر قدر مطلق برابر بوده و دارای علائم مختلف خواهند بود. یعنی  خواهیم داشت.

بنابراین  دوره تناوب tan t و cot t محسوب می‌شود.

مثال 1-3-1: دوره تناوب بنیادی تابع f(t)= cos t +sin t را بیابید.

حل: بدلیل رابطه تابع / متناوب است:

هیچ عدد مثبت T کوچکتر از  بدلیل

دوره تناوب تابع f(t) محسوب نمی‌شود. در حقیقت اعداد  و  مخالف صفر بوده و علائم مختلفی دارند و اعداد  و  بر هم منطبق بوده و از اینرو داریم:

2- زوج بودن و فرد بودن. بخاطر داشته باشید که تابع f در صورتی زوج خوانده می‌شود که به ازاء هر x حوزه تعریف آن -x نیز به آن حوزه متعلق بوده و تساوی

F(-x)=-f(x)

برقرار باشد. تابع f در صورتی فرد خوانده می‌شود که تحت همان شرایط بالا تساوی

F(-x)=-f(x)

برقرار می‌شود. یک جفت مثال در مورد توابع زوج بصورت  و یک جفت مثال در مورد توابع فرد را می‌توان بصورت  ارائه داد. توجه داشته باشید که بسیاری از توابع فرد و نه زوج هستند. به عنوان مثال تابع

 بدلیل اینکه به ازاء  و  است روج محسوب نمی‌شود. بطریق مشابه بدلیل تابع x فرد نیز نیست.

قضیه 3-1. توابع sinx، tanx، cotx، فرد و تابع cos x زوج است.

برهان: کمان‌های AP_T و AP_-T را در دایره مثلثاتی که دارای جها مخالف و اندازه‌های مساوی  هستند در نظر می‌گیریم (شکل 11) این کمانها نسبت به محور طول‌ها متقارن بودهخ و از اینرو نقاط انتهایی آنها یعنی P_T(COSt, sin t), p_-t(cos (-t), sin (-t) دارای طول‌های مساوی و عرض‌های متقابل هستند؛ یعنی: cos –(t)=cos t, sin (-t)=-sin(-t) در نتیجه تابع sint فرد و تابع cot t زوج خواهد بودد از این گذشته طبق تعریف تانژانت و کتانژانت با شرط  در اینجا نیز چنین داریم:

Tan(-t)=

و با شرایط  (در اینجا نیز  است داریم:

بدین ترتیب توابع tan t و cot t نیز فرد محسوب می‌شوند.

مثال4-3-1. ثابت کنید تابع (t)= sin³ 2t cos4t +tan 5t فرد است.

اثبات. توجه دارید که به ازاء هر t از حوزه تعریف تابع ( یعنی با شرط .چنین داریم:

3- یکنواختی. تابع f که دربازه x تعریف شده در صورتی در این بازه افزایشی صعودی خوانده می‌شود که به ازاء هرگونه اعدادی مانند  با شرط  نامساوی  برقرار باشد؛ و اگر بین این مقادیر تابع نامساوی ضعیف، یعنی  برقرار باشد آنگاه تابع f در بازه x ناافزایشی خوانده می‌شود. تعریف باتع کاهشی و تابع ناکاهشی نیز بطریق مشابه قابل ارائه است. ویژگیهای افزایشی یا کاهشی بودن یک تابع یکنوای آن تابع نیز نامیده می‌شود. بازه‌ای که در آن تابعی افزایش یا کاهش پیدا می‌کند بازه یکنوایی آن تابع خوانده می‌شود.

یکنوایی توابع sin t و cos t را مورد بررسی قرار می‌دهیم. بر روی دایره مثلثاتی و در جهت مخالف حرکت عقربه‌های ساعت (یعنی در جهت مثبت) نقطه p_t با حرکت از نقطه A=P₀ به سوی نقطه (0,1) نمو پیدا کرده و به سمت چپ تغییر مکان می‌دهد.

یعنی با افزایش T عرض نقطه نیز افزایش می‌یاید، در حالیکه طول آن کاهش می‌یابد. عوض P_T مساوی SIN T از 0 تا 1 افزایش می‌یابد و تابع cos t نیز از 1 تا 0 کاهش پیدا می‌کند.

قضیه 4-1. در بازه  تابع sin t از 0 تا 1 افزایش می‌یابد، در حالیکه تابع cos t از 1 تا 0 کاهش پیدا می‌کند. در بازه  تابع sin t از 1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا -1 کاهش می‌یابد. در بازه  تابع sin t از 0 تا -1 کاهش و تابع cos t از -1 تا 0 افزایش پیدا می‌کنند. در بازه  تابع sin t از -1 تا 0 و تابع cos t از 0 تا 1 افزایش می‌یابد.

برهان: استدلال این قضیه بصورت نموداری ارائه شده است. در این اشکل نقاط  در  صدق می‌کنند.

قضیه5-1. تابع tan t در بازه  افزایش و تابع cot t در بازه  کاهش می‌یابد.

برهان: تابع tan t را مورد ملاحظه قرار می‌دهیم. نشان می‌دهیم که به ازاء هرگونه اعدادی بصورت t₁ و t₂ که در  صدق می‌کند نامساوی  برقرار است. سه حالت مورد ملاحظه قرار می‌دهیم:  آنگاه براساس قضیه 1.4 چنین داریم:

از اینجا نتیجه می‌شود. بنابراینخواهد بود.. در این حالت  و . بوده و از اینرو

 خواهد بود.  طبق قضیه 1.4. داریم:

بنابراین  یعنی  حاصل می‌شود. اثبات حکم مربوط به cot t نیز بطریق مشابه انجام می‌گیرد.

مثال 5-3-1. ثابت کنید توابع sin(cos t) و cos(sin t) در بازه  کاهش می‌یابند.

برهان: اگر طبق  باشد آنگاه بر اساس قضیه 1.4  خواهد بود. توجه داریم که نقاطی از محیط دایره مثلثاتی متناظر به اعداد sin t₁, sin t₂, cos t₁, cos t₂ در ناحیه اول قرار دارند. دلیل امر این است که این اعداد در بازه بسته  قرار داشته و  است. بنابراین می‌توان مجدداً قضیه 1.4 را بکار گرفت که به موجب آن به ازاء هر اعدادی مانند  و با شرط  نامساوی‌های زیر متقاعد می‌شوند:

یعنی sin(cos t) و cos(sin t) در بازه  توابعی کاهشی هستند.

4- رابطه بین توابع مثلثاتی یک شناسه (متغیر). اگر به ازاء مقدار معینی از متغیر مثلثاتی مربوط به آن معلوم باشد تحت شرایط معینی می‌توان مقادیر دیگر توابع مثلثاتی آن متغیر را بدست آورد. با تقسیم طرفین این اتحاد بر cos² t (با شرط ) چنین بدست می‌آید:

(1.10)

در این رابطه  است. با استفاده از این اتحاد می‌توان مقدار tan t را محاسبه کرد با این شرط که مقدار cos t را نیز می‌توان با معلوم بودن مقدار tan t و علامت cos t محاسبه کرد.

4-1. حل توابع مثلثاتی ساده. توابع مثلثاثی معکوس.

1. حل معادله ARE SINE. SIN T= M.

برای حل معادلاتی به شکل SIN T=M لازم است که همه اعداد حقیقی مانند T را طوری بیاییم که عرض نقطه p_t متناظر به آنها برابر m باشد. برای انجام این کار خط مستقیم y=m را رسم کرده و نقاط تلاقی آن را با دایره مثلثاتی بدست می‌آوریم.

معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی

1-3. کلیات

برای حل معادلات مثلثاتی روش کلی وجود ندارد و در هر مورد خاص تبدیلات و فرمول‌های معینی باید بکار گرفته شود.

مثال 1-1-3. معادله زیر را حل کنید:

Sinx+7cosx+7=0

در نتیجه معادله زیر حاصل می‌شود:

این معادله با  و در نتیجه با  هم ارز است. با این چون فرمول‌های جایگذاری عمومی فقط به ازاء xهایی که  را تعریف‌پذیر می‌سازند یعنی فقط به ازاء ، کاربرد پذیراند از اینرو استدلال فوق نادرست است.

2-3. روش‌های اصلی در حل معادلات مثلثاتی

1. حل معادلات مثلثاتی از طریق تحویل آنها به معادلات جبری، این روش وسیعاً مورد استفاده قرار می‌گیرد و در آن معادله اصلی به معادله‌ای به شکل

(3.4)

تحویل می‌یابد. در این معادله f(x) یک چند جمله‌ای و f(t) یک تابع مثلثاتی است.

اگر x₁, x₂, ….,x_m ریشه‌های چند جمله‌ای F یعنی اگر

F=(X₁)=0, F(X₂)=0,…,F(X_M)=0

باشد آنگاه معادله تبدیل یافته (3.4) به m معادله ساده تجزیه می‌شود:

  

مثال1-2-3. معادله زیر را حل کنید:

Cos 2t- 5sin t-3=0

حل، طبق فرمول (2.39) چنین داریم:

1-2 sin² t-5sin-3=0

یا 2 sin²t + 5sint +2=0 با منظور کردن x=sint معادله اصلی شکل جبری زیر را اختیار می‌کند: 2x²+5x+2=0

با حل این معادله x₁=-1/2,x₂=-2 وصول می‌یابیم. همه تبدیلات انجام گرفته وارون پذیر بوده و بنابراین معادله اصلی به دو معادله ساده بصورت زیر تجزیه می‌شود:

 و

معادله دوم به دلیل  فاقد جواب بوده و از اینرو sin t=-1/2 را یعنی:

را اختیار می‌کنیم

3-3-3-. حل معادلات و دستگاه‌های معادلات مثلثاتی چند مجهولی.

وجود دومجهول و یا بشتر در معادلات و دستگا‌ه‌های معادلات مثلثاتی مشکلات معینی به همراه دارد. جواب یک چنین معادله یا دستگاه بصورت مجموع‌ای از مقادیر متغیرها تعریف می‌شود و از این مقادیر معادله یا هر یک از معادلات دستگاه را به یک تساوی عددی تبدیل می‌کنند. در حل معادله یا دستگاه معینی باید همه چنین مجموعه‌ها یافته شوند. بنابراین در حل اینگونه مسائل اگر جواب هر یک از مجهولات دیگر بیان کرده و از این طریق به حذف آن از دستگاه مبادرت کنیم. روش دیگر در حل دستگاههای معادلات مثلثاتی عبارت از تحویل آن به دستگاه معادلات چیزی است که در آن تعدادی توابع مثلثاتی به عنوان مجهولات جدید شرکت می‌کنند. همچون معادلات مثلثاتی یک مجهولی، در مورد دستگاه‌ها نیز می‌توانیم تبدیلات همانندی برای تجزیه یک یا چند معادله دستگاه به معادلات ساده‌ای از نوع1- sin (x+2y)=  tan (x-y)= و غیره انجام می‌دهیم.

مثال1-3-3. دستگاه معادلات زیر را حل کنید:

حل، از معادله اول دستگاه نتیجه میشود که  بوده و دو حالت در اینجا ممکن می‌گردد: اگر sin x=0 باشد آنگاه این معادله به یک اتحاد تبدیل می‌شود و اگر  باشد آنگاه معادله مزبور cos y=0 را موجب می‌شود. در نتیجه دستگاه مطروحه با مجموعه دو دستگاه زیر هم ارز خواهد بود:

و

دستگاه اول فاقد جواب0) (cos 2y+2 بوده در حالیکه دستگاه دوم با دو معادله زیر هم‌ارز است:

}

در نتیجه مجموع همه جوابهای دستگاه اصلی شامل ازواج عددی مانند (x,y) بصورت زیر خواهد بود:

1-4. نمودار توابع اساسی مثلثات.

قبل از هر چیز خاطرنشان می‌سازیم که نمودار تابع f با حوزه تعریف D(f) بصورت مجموعه‌ای از نقاط با مختصات (x,y) بر روی صفحه مختصاتی با شرط y=f(x) تعریف می‌شود. این تعریف همیشه باید در اثبات ویژگی‌های نمودار تابع و ملاحظه اعمال مربوط به رسم نمودارها مورد استناد قرار گیرد.

1. ویژگی‌ها و رسم نمودار تابع f(x)=sin x.

(1)        حوزه تعریف تابع عبارت از D(f)=R و مجموعه مقادیر آن عبارت از E(f)=[-1,1] است.

(2)        تابع sin x یک تابع متناوب است. هر عددی بصورت  و  دوره تناوب این تابع بوده و  دوره تناوب بنیادی آن محسوب می‌شود(به موضوع شماره 1 بخش 1.3 مراجعه کنید.) بنابراین در رسم نمودار این تابع می‌توان آن را را ابتدا در بازه بسته  با طول  رسم کرده و سپس این نمودار را در امتداد محورxها با دوره تناوب  تکرار کنیم، دلیل امر این است که همه نقاطی به شکل:

مقادیری همسان به مقدار نقطه (x,sinx) بر روی منحنی تابع دارند.

(3)        تابع sin x یک تابع فرد بوده و از اینرو نمودار آن نسبت به مبدا متقارن خواهد بود. در حقیقت به ازاء هر نقطه‌ای مانند (x, sin x) بر روی نمودار، نقطه (-x, -sinx)=(-x,sin(-x) که بوسلیه کاربرد تقارن مرکزی نسبت به نقطه (x, sin x) بدست آمده است روی نمودار مزبور واقع خواهد شد. در نتیجه برای رسم نمودار تابع در بازه  کافی است که آن را در بازه  رسم کرده و سپس تقارن مرکزی آن را نسبت به مبدا بنگاریم.

(4)        درباره  نمودار تابع با محور xها دارای دو نقطه مشترک (0,0) و  است. بطور کلی تساوی sin x=0 با  هم ارز محسوب می‌شود.

(5)        تابع sin x در بازه  افزایش و در بازه  کاهش می‌یابد. این امر بدین معنی است که اگر  باشد آنگاه  و اگر  باشد آنگاه:

 sin x₁sin x₂ خواهد بود. از اینرو نتیجه می‌شود که  نقطه ماگزیمم تابع sin x است. حال نمودار تابع sin x را طی مراحل چندگانه رسم می‌کنیم.

								0	(x)
0				1				0	Sin x

روی صفحه مختصاتی نقاطی به شکل (x, sin x) را که در آن x اعدادی از جدول فوق است مشخص کرده و سپس آنها را روی یک خط خمیده بهم وصل می‌کنیم. تقارن مرکزی این بخش از نمودار را نسبت به نقطه o (مبدا) پیدا می‌کنیم. سپس قطعه حاصله (یعنی قطعه قبلی و متقارن آن) از نمودار تابع را با دوره تناوب  روی محور xها تکرار می‌کنیم. بدین ترتیب نمودار تابع sin x حاصل می‌شود. آن را منحنی سینوسی یا منحنی جیب‌نما می‌نامند.

در روش دیگر برای رسم نمودار تابع، محاسبه مقادیر منفرد تابع sin x لازم نمی‌شود. در این روش از دایره مثلثاتی استفاده می‌گردد. برای این منظور بازه  را نصف می‌کنیم. توجه داشته باشید که بعد از مشخص کردن نقطه  روی محور xها همه ترسیمات دیگر بوسیله خط‌کش و پرگار انجام می‌گیرد.

توجه داشته باشید که تابع sinx روی بازه‌ای به شکل: :

از 1 تا -1 کاهش می‌یابد. مقدار بیشینه sinx=1 در نقاط  و  و مقدار کمینه sin x= -1 در نقاط  بدست می‌آید.

2- ویژگی‌ها و نمودار تابع f(x) =cos x.

نمودار تابع cos x با استفاده از اتحاد sin (x+  فرمول تحویل به بهترین روش ممکن رسم می‌شود. از این اتحاد استنباط می‌شود که نمودار تابع sin x از انتقال نمودار تابع cos x به اندازه  روی محورxها به طرف چپ حاصل می‌شود. در به ازاء هر نقطه‌ای مانند x) (x, sin  از نمودار تابع sin x نقطه . روی نمودار تابع cos x قرار دارد . دلیل امر رابطه زیر است:  عکس این نکته نیز درست است: به ازاء هر نقطه‌ای مانند (x,cosx) از نمودار تابع cos x نقطه  روی منحنی تابع sinx قرار دارد. دلیل این موضوع،  است.

3- تابع cos x یک تابع زوج بوده و نمودار آن نسبت به محور عرض‌ها متقارن محسوب می‌شود: اگر نقطه (x,cosx) روی نمودار تابع cosx واقع باشد آنگاه نقطه  نیز روی آن قرار خواهد گرفت.

4- COS X=0 به ازاء  و

5- تابع COS X در هر بازه‌ای به شکل  و از 1 تا -1 کاهش و در هر بازه‌ای به شکل  از -1 تا 1 افزایش می‌یابد. به ازاء  و  مقدار بیشینه 1 را اختیار می‌کند.

2-4. محاسبه حدود.

تئوری حدود در تبیین مفاهیم اساسی پیوستگی و دیفرانسیل‌پذیری یک تابع و یافتن مشتق‌ها و انتگرال‌ها نقش اساسی دارد. ما با مسائلی از قبیل یافتن حدود تابعی برحسب عبارات مثلثاتی در نقاط معینی مواجه می‌شویم.

تعریف. فرض می‌کنیم که تابع f(x) D تعریف شده باشد. نقطه a را طوری انتخاب می‌کنیم که هر همسایگی آن نقاط بیشماری از D(f) را شامل شود. (این نقطه را نقطه انباشتگی یا نقطه حدی مجموعه D(f) نامیده می‌شود.) آنگاه عدد b حد تابع f(x) در نقطه a نامیده می‌شود با این شرط که به ازاء هر عدد مثبت  عدد مثبتی مانند 8 وجود داشته باشد بطوریکه به ازاء هر نقطه‌ای مانند  که در  صادق است نامساوی  برقرار باشد. حد یک تابع را بصورت زیر می‌نویسیم:

 

تعریف. تابع f(x) با شرط lim f(x)= f(a) در نقطه‌ای مانند  پیوسته خوانده می‌شود.

قضیه 1-4. توابع sin x,cos x, tan x, cot x درحوزه‌های تعریف خود پیوسته هستند.

برهان. به عنوان نمونه ثابت می‌کنیم که تابع کسینوس در روی محور اعداد حقیقی پیوسته است. یعنی ثابت می‌کنیم که به ازاء هر  چنین داریم:

در حقیقت داریم:

=

بنابراین با منظور کردن 8= به ازاء هر  رابطه زیر به ازاء

برقرار می‌شود:

پیوستگی سینوس نیز بطریق مشابه ثابت می‌شود. پیوستگی کتانژانت و تانژانت نیز به ویژگی پیوستگی خارج قسمت دو تابع پیوسته مربوط می‌شود.

قضیه2-4:

اثبات. اگر  فرض شود آنگاه نامساوی  متقاعد می‌شود ( به معادله (4.1) نگاه کنید). با تقسیم طرفین این نامعادله بر

 به

وصول مییابیم. با منظور کردن  به اندازه  به  و در نتیجه به  وصول مییابیم. از اینرو داریم:

از آنجا که به ازاء هر  کسینوس تابعی پیوسته است از اینرو ای وجود دارد بطوریکه:

بنابراین به ازاء اعداد  که در نامساوی  صادق هستند داریم:

این رابطه به معنی  است.

مثال4-2-4.محاسبه کنید:

1-cos x=2 sin2

در نتیجه با توجه به ویژگی حد حاصلضرب چنین خواهیم داشت:

3-4. بررسی توابع مثلثاتی به کنک مشتق.

ویژگیهای بنیادی بسیاری از توابع را میتوان بدون کمکگیری از مشتق با موفقیت مورد مطالعه قرار داد. ویژگیهای مشتق یک تابع تبیین مناسبی برای ویژگیهای خود تابع است. با این حال در بسیاری از مسائل، نقاط اکسترمم، بازههای افزایش یا کاهش توابع را نمیتوان با روشهای مقدماتی تعیین کرد. در حل چنین مسائلی باید از مشتقات کمک گرفت. علاوه بر این در رسم برخی از توابع لازم میشود که اطلاعات بیشتری در مورد رفتار آنها داشته باشیم. مثلاً در مورد اینگونه توابع چنین سوالاتی مطرح میشود: آیا نمودار آنها در نقطه معینی بر محور طولها مماس میشود، آیا آن را قطع میکنند، با این محور چه زاویهای میسازند. حل چنین مسائلی فقط با ملاحظه مشتق توابع قابل انجام است. در اینجا ابتدا قواعد یافتن مشتقات توابع بنیادی مثلثات را ارائه میدهیم.

تعریف. مشتق تابع f(x) در نقطه x0  بصورت عبارت زیر تعریف میشود:

تابعی که در نقطه معینی دارای مشتق است در آن نقطه دیفرانسیلپذیر خوانده میشود. فرض کنید DT مجموعهای از نقاط باشد که تابع f در آنها دیفرانسیلپذیر است. با متناظر کردن هر نقطهای مانند هر نقطهای مانند x با عدد  به تابعی وصول مییابیم که در مجموعهD1 تعریف شده است. این تابع مشتق تابع  نامیده میشود و با  به تابعی وصول مییابیم که در مجموعه D1 تعریف شده است. این تابع مشتق تابع  نامیده میشود و با  نشان داده میشود.

مثال 2-3-4. ثابت کنید تابع زیر در نقطه r=0 دیفرانسیل‌پذیر بوده و  است:‌باشد

اثبات: به ازاء عدد مثبت  عددی بصورت  را در نظر می‌گیریم. آنگاه با شرط  0<h< چنین خواهیم داشت:

در نتیجه رابطه زیر برقرار می‌شود:

توجه داشته باشید که در این حالت مماس بر نمودار تابع  در نقطه x=0 بر محور طول‌ها منطبق می‌شود.

قضیه3-4. در حوزه‌های تعریف توابع sin x, cos x,tan x, cot x تساوی‌های زیر برقرارند:

   

   

نامساوی‌های مثلثاتی

1-5. اثبات نامساوی‌هایی که شامل توابع مثلثاتی هستند.

مسائل مربوط به اثبات نامساوی‌های مثلثاتی انواع گوناگونی دارند. در برخی از آنها، اثبات نامساویهایی عددی لازم می‌شود که به ازاء مقداری از تابع مثلثاتی یا به ازاء عبارتی که از مقادیر توابع مثلثاتی ترکیب یافته‌ است متقاعد می‌شوند. در انواع دیگری از این مسائل اثبات نامساوی‌ها به ازاء همه مقادیر شناسه‌های عبارت مثلثاتی و یا به ازاء مقادیر مجازی از شناسه‌ها که در شرط خاصی صدق می‌کنند مطلول می‌شود.

مثال 1-1-5. به ازاء  0<t< نامساوی‌های زیر را اثبات کنید:

Sin t <t <ant

Cos t<

اثبات. دایره مثلثاتی را مورد ملاحظه قرار داده و نقطه p₁ را متناظر به عددt در ناحیه اول دایره مثلثاتی مشخص می‌کنیم. آنگاه رادیان <aop_t=t خواهد بود. نامساوی اول از مقایسه مساحت‌های مثلث oap_t=t قطاع oaep_t، و مثلث oaw_{t بدست}  می‌آید. در مثلث آخر، w_t نقطه‌ای از خط مماس (این مماس در نقطه A بر دایره رسم شده است) که متناظر به نقطه P_T می‌باشد. از مفاهیم هندسی به تساوی‌های زیر می‌رسیم:

فرمول آخر از این نکته استنباط می‌شود که مساحت دایره کاملی به شعاع یک برابر  بوده و می‌تواند به عنوان مساحت قطاع با زاویه مرکزی  رادیان مورد ملاحظه قرار گیرد. بنابراین مساحت قطاعی با زاویه مرکزی t رادیان برابر t/2 خواهد بود.

مثال 2-1-5. نامساوی زیر را ثابت کنید:

Sin 1 >

برای اثبات نامساوی کافی است که  یا  و یا  را تتحقیق کنیم. توجه داریم که همه جوابهای نامعادله  با شرط   وصول می‌یابیم. در نتیجه به همرا نامساوی  نامساوی مفروض در مسئله نیز صحیح خواهد بود. نتیجه می‌شود که به ازاء n>2 نامساوی‌های زیر درست هستند:

توجه داشته باشید که عدد 2 n sin عبارت از محیط n ضلعی منظم محاظ در دایره مثلثاتی است. در حالیکه عدد 2n tan  محیط n ضلعی منتظم محیط بر آن دایره است. (به شکل 38 نگاه کنید که در آن n=5 است.) از قضیه 4.2 نتیجه می‌شود که:

=

این امر تخمین عدد  را با دقت زیاد بوسیله اعدادی به شکل  n tan و  n sin ممکن می‌سازد.

مثال3-1-5. به ازاء 0<t<n/2 نامساوی زیر را ثابت کنید:

اثبات: نامساوی (5,2) را بکار می‌گیریم که موجب نامساوی زیر می‌شود:

طرفین (5,3) را در عددمثبت  ضرب کرده و به نامساوی  یا نامساوی زیر وصول می‌یابیم:

بدلیل  اگر در طرف چپ رابطه (5.4) بجای  مقدار  قرار دهیم،  یعنی  بدست می‌آید.

2-5. حل نامعادلات مثاثاتی.

روش‌های حل نامعادلات ساده مثلثاتی در اکثر موارد مشابه روش‌های حل معادلات متناظر به آنهاست. به عنوان نمونه فرض کنید که حل نامعادله  tan مطلوب باشد. عدد tan t عرض نقطه w_t روی خط مماس است که به نقطه p_t متناظر می‌باشد. بنابراین برای حل این نامعادله بایستی ابتدا همه نقاط را روی دایره مثلثاتی طوری پیدا کنیم که عرض نقاط متناظر به آن بر روی خط مماس بر دایره مساوی یا کوچتر از a باشد. مجموعه چنین نقاطی در شکل 39 نشان داده شده است. در نامعادله مطروحه این مجموعه از دو قسمت تشکیل شده است. یکی از آنها از دوران قسمت دیگر حول نقطه o به اندازه  رادیان بدست می‌آید. از آنجا که تابع tan t با دوره تناوب  یک تابع متناوب است از اینرو کافی است همه جوابهای نامعادله که به بازه معینی به طول  تعلق دارند یافته شود. برای یافتن کوتاهترین جواب ممکنه مناسب این است  که بازه اصلی بطول  را طوری انتخاب کنیم که جوابهای متعلق به آن بازه نیز بنوبه خود یک بازه پیوسته تشکیل دهند. در مورد اخیر مثلاً می‌توان  را به عنوان یک چنین بازه‌ای در نظر گرفت. اگر  باشد آنگاه مجموعه نقاط یافته شده روی دایره نقاط p_t را شامل خواهد بود بطوری که  باشد (نقاط p_t1 و p_t2 را می‌توان مثال زد) بنابراین جوابهای نامعادله  عبارت از اتحاد تعداد نامتناهی بازه به شرح زیر خواهد بود:

نامعادلات ساده مثلثاتی دیگر نیز به روش مشابه حل می‌شوند. برای سهولت فهرست جوابهای نامعادلات مثلثاتی ساده را در ذیل ارائه می‌دهیم:

(1)  اگر  باشد آنگاه داریم:

  اگر  باشد آنگاه x یک عدد حقیقی دلخواه خواهد بود.

(2) اگر  باشد آنگاه داریم:

(3)  a cos x. اگر  باشد آنگاه داریم:

اگر1 aباشد آنگاه x یک عدد حقیقی دلخواه خواهد بود. اگر a<-1 باشد آنگاه هیچ جوابی وجود نخواهد داشت.

(4)  cos x . اگر  باشد آنگاه داریم:

اگر a>1 باشد آنگاه جواب وجود نخواهد داشت. اگر a-1 باشد آنگاه x یک عدد حقیقی دلخواه خواهد بود.

(5)

(6)

(7)cot x

(8)cot x

در اکثر موارد حل نامعادلات مثلثاتی را می‌توان به حل یک یا چند نامعادله مثلثاتی ساده تحویل داد. این کار با استفاده از تبدیلات همانند و با کمک مجهول کمکی انجام می‌گیرد.

مثال 1-2-5. نامعادله زیر را حل کنید:

حل. فرمول نصف زاویه را در مورد سینوس بکار گرفته و نامعادله فوق را به شکل زیر می‌نویسیم:

5(1-cos 2x)+2(1-cos²2x)>8 cos 2x

2 cos²2x+13cos2x-7<0

با منظور کردن y=cos 2x نامعادله درجه دوم 2y²+13y-7<0 بدست می‌آید که جواب آن عبارت از بازه –7<y<1/2 است. بدین ترتیب مسئله مطروحه به حل نامعادله –7<cos2x<1/2 تحویل می‌یابد. نامعادله –7<cos 2x به ازاء مقادیر x متقاعد می‌شود. با حل نامعادله

Cos 2x <1/2به جواب  یعنی  وصول می‌یابیم.