توابع مثلثاتی

ارتفاع مثلث

ALTITUDE OF A  Triangle

هر ارتفاع مثلث، پاره خطی است که یک سر آن یک رأس مثلث، و سر دیگر آن، پای عمودی است که از آن رأس بر ضلع مقابل به آن رأس فرود می‎آید؛ مانند ارتفاع  هر مثلث، سه ارتفاع دارد، ،  و  که در یک نقطة مانند  به نام مرکز ارتفاعی مثلث همرسند. اندازة ارتفاعهای ،  و  را بترتیب با ،  و  نشان می‎دهند.

اصل نامساوی مثلثی

Axiom Triangle Inequality

هر گاه A، B و C سه نقطة دلخواه باشند، آن گاه . تساوی، وقتی برقرار است که سه نقطه روی یک خط راست، و نقطة B بین دو نقطة A و C باشد.

انتقال) توابع مثلثاتی

Axiom Triangle Inequality

برای محاسبة مقادیر نسبتهای مثلثاتی در ربعهای دوم، سوم و چهارم می‎توان از رابطه‎‏های زیر استفاده کرد:

توابع کسینوس و سینوس دوره‎ای، با دورة ْ360 هستند:

تابع تانژانت دوره‎ای، با دورة ْ180است:

همچنین از تبدیلهای زیر نیز می‎توان استفاده کرد:

اندازة زاویه

Measure of an angle

نسبت آن زاویه است، به زاویه‎ای که به عنوان واحد زاویه اختیار شده است.

اندازة شعاع کرة محاطی چهار وجهی منتظم

¬ چهار وجهی منتظم

اندازة شعاع کرة محیطی چهار وجهی منتظم

¬ چهار وجهی منتظم

اندازة مساحت مثلث

Area of a Triangle

برابر است با نصف حاصلضرب اندازة هر ضلع مثلث در اندازة ارتفاع نظیر آن ضلع. اگر مساحت مثلث ABC را با S نمایش دهیم، داریم:

با توجه به این که  است، داریم:

برای محاسبة مساحت مثلث از دستور  که در آن  و به دستور هرون Heron مرسوم است، نیز استفاده می‎کنند.

اندازة نیمسازهای زاویه‎های برونی مثلث

Measure of external angle bisectors of triangle

تصفیه: در هر مثلث، مربع اندازة نیمساز هر زاویة برونی، برابر است با حاصلضرب اندازه‎های دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید می‎آورد، منهای حاصلضرب اندازه‎های دو ضلع آن زاویه.

یعنی اگر در مثلث ABC AD¢نیمساز زاویة برونی A باشد داریم:

اگر اندازة نیمسازهای زاویه‎ای برونی A، B و C از مثلث ABC را بترتیب با ، d¢_a و d¢_b و d¢_c محیط مثلث را با ‍P2 نشان دهیم، داریم:

 

 

 

اندازة نیمسازهای زاویه‎های برونی مثلث

Measure of internal angle bisectors of triangle

قضیه: در هر مثلث، مربع اندازة نیمساز هر زاویة درونی برابر است با حاصلضرب اندازة دو ضلع آن زاویه، منهای حاصلضرب دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید می‎آورد. یعنی اگر AD نیمساز زاویة درونی A از مثلث ABC باشد، داریم:

اگر اندازة نیمسازهای زاویه‎های درونی A، B و C از مثلث ABC به ضلعهای BC=a ,AC=b و AB=c را بترتیب d_a، d_b و d_c بنامیم، داریم:

تابع تانژانت

Tangent function

این تابع به صورت ‎tgx = yمی‎باشد. دورة تناوب آن p است. کافی است نمودار تابع را در فاصلة  رسم کنیم. برای رسم نمودار در فاصلة  منحنی را در امتداد xها به اندازة p در سمت راست xها انتقال می‎دهیم؛ چون  می‎باشد، منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارند و در  دارای مجانب است.

تابع سینوس

Sine function

این تابع به صورت y=sin x می‎باشد. دورة تناوب آن 2p است. کافی است نمودار تابع را در فاصلة  رسم کنیم و برای رسم منحنی در فاصلة  منحنی را در امتداد xها به اندازة 2p در سمت راست xها انتقال می‎دهیم. و برای رسم منحنی در فاصلة   منحنی را به اندازة 2p در سمت چپ xها انتقال می‎دهیم. تابع روی  در  ماکزیمم نسبی و در  می‎نیمم نسبی و در x=p دارای عطف می‎باشد.

تابع کتانژانت

Cotangent function

این تابع به صورت y=cotg x می‎باشد. دورة تناوب آن p است. کافی است نمودار را در فاصلة  رسم کنیم. برای رسم نمودار در فاصلة  منحنی را در امتداد xها به اندازة p در سمت راست xها انتقال می‎دهیم؛ چون  می‎‏باشد. منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارد و در  و  دارای مجانب و در  عطف دارد.

تابع کسینوس

Cosine function

این تابع به صورت y=socx می‎باشد. دورة تناوب آن 2p است. کافی است نمودار را در فاصله  رسم نماییم و برای رسم منحنی در فاصلة  منحنی را به اندازة  در سمت چپ xها انتقال می‎دهیم.

تابع روی  در  می‎نیمم نسبی و در  و  دارای عطف می‎باشد.

تابع مثلثاتی

Trigonometric function

تابعهایی که ضابطة آنها به کمک نسبتهای مثلثاتی تعریف شده باشد.

هر یک از تابعهای زیر مثلثاتی است:

توابع مثلثاتی

()

توابع f(x)= sin x و g(x)=cos x و h(x) tgx و j(x)=cotg x یا ترکیبی از آنها را توابع مثلثاتی نامند. مثلاً  تابع مثلثاتی می‎باشد.

مثال 1: دامنة تابع گنگ مثلثاتی  روی  کدام است؟

مثال 2: برد تابع  برابر است با:

مثال 3: برد تابع  کدام است؟

 

مثال 4: مطلوب است نمودار  در یک دورة تناوب

توابع معکوس مثلثاتی

Inverse trigonometric functions

1.تابع با ضابطة  در فاصله  یک به یک بوده و دارای معکوسی به صورت یاو نمودار آن و مشتق آن  می‎باشد.

2.تابع با ضابطة  به ازاء ، تابع یک به یک بوده، معکوس آن وجود داشته به صورت  یا  و نمودار آن و مشتق آن به صورت  می‎باشد.

3. تابع با ضابطة  به ازاء  تابع یک به یک بوده و معکوس آن به صورت  یا x=tg y و نمودار آن و مشتق آن  می‎باشد.

4. تابع با ضابطة y=cotg x به ازاء  یک به یک بوده و معکوس آن به صورت  یا  و نمودار آن و مشتق آن  می‎باشد.

حالتهای تشابه دو مثلث

1.اگر دو زاویه از یک مثلث، با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند.

2.اگر یک زاویه از یک مثلث، با یک زاویه از مثلث دیگر برابر، و ضلعهای مجاور به این زاویه در دو مثلث نظیر به نظیر متناسب باشند.

3.اگر سه ضلع از یک مثلث، با سه ضلع نظیر آنها از مثلث دیگر متناسب باشند.

حالتهای همنهشتی دو مثلث

States of congruent triangles

دو مثلث در یکی از سه حالت زیر همنهشت خواهند بود:

حالت اول. هر گاه دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی، با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلث دیگر، نظیر به نظیر مساوی باشند.

به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و و و این دو مثلث همنهشتند.

حالت دوم. اگر دو ضلع و زاویة بین آنها از مثلثی، با دو ضلع و زاویة بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند.

به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و AC=DF,AB=DE,DEF و  این دو مثلث همنهشتند.

حالت سوم. هرگاه سه ضلع از مثلثی، نظیر به نظیر با سع ضلع از مثلثی دیگر، مساوی باشند.

به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و BC=EF,AB=DE,DEF و AC=DF باشد، دو مثلث ABC و DEF همنهشتند.

حد توابع سادة مثلثاتی

 حد و  حد

 حد  حد ()

این حدود نشان می‎دهند تابع  و  در هر نقطه پیوسته و تابع f(x)=tg x روی فاصلة () پیوسته و تابع f(x)=cotg x روی فاصله () پیوسته است.

مثال: مطلوب است () حد، با استفاده از قضایای حدود داریم:

حد

خطهای همرس در مثلث

Concurrent lines in a triangle

1.سه عمود منصف ضلعها،

2.سه نیمساز زاویه‎های درونی،

3.نیمسازهای دو زاویة برونی با نیمساز زاویة درونی سوم،

4.سه ارتفاع،

5.سه میانه.

دایره‎های محاطی برونی مثلث

Excircles

دایره‎هایی هستند که بر یک ضلع و امتداد دو ضلع دیگر مثلث مماسند. مرکز این دایره‎ها، نقطه‎های برخورد نیمسازهای دو زاویه خارجی و نمیساز زاویة درونی سوم است. هر مثلث سه دایرة محاطی برونی دارد. شکل صفحه بعد، دایرة محاطی برونی مثلث، مماس بر ضلع BC را نشان می‎دهد.

دایرة مثلثاتی

Reigonometric circle

دایره‎ای به شعاع واحد است که روی آن نقطه‎ای به عنوان مبدأ و جهتی به عنوان جهت مثبت حرکت، اختیار شده باشد. در حالت عمومی، انتهای سمت راست قطر افقی را به عنوان مبدأ حرکت (نقطة A) و خلاف جهت حرکت عقربه‎های ساعت را جهت مثبت اختیار می‎کنند.

دایرة محاطی داخلی مثلث

Inscribed circle

دایره‎‏ای است که بر ضلعهای مثلث مماس است. مرکز این دایره، محل برخورد نمیسازهای زاویه‎ای داخلی مثلث است.

دایرة محیطی مثلث

Circumscribed circle

دایره‎ای است که بر سه رأس مثلث می‎گذرد. مرکز آن، نقطة بر خورد عمود منصفهای ضلعهای مثلث است.

دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک

Classic trigonometric systems

برای حل دستگاه‎های مثلثاتی چند مجهولی، هیچ‎گونه قاعدة کلی که در حل تمام دستگاه‎ها بتوان از آن استفاده کرد، وجود ندارد. ولی در این مورد، برای حل دستگاه‎های چند مجهولی مثلثاتی، می‎توان دستگاه‎های دو معادلة دو مجهولی را به سه نوع کلاسیک دسته‎بندی کرد و طریقه حل هر یک را در حالت کلی بیان کرد.

1-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع اول:

برای حل این نوع دستگاه‎ها از اتحادهای تبدیل حاصل جمع به حاصل ضرب استفاده می‎کنیم. برای مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنیم:

بنابر این،‌دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‎شود:

2-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع دوم:

برای حل این نوع دستگاه‎ها،‌ از اتحادهای تبدیل حاصلضرب به حاصل جمع استفاده می‎کنیم. برا مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنی:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‎شود:

از جمع معادله‎های این دستگاه، نتیجه می‎شود:

3-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع سوم:

برای حل این نوع دستگاه‎های مثلثاتی، در دو طرف معادلة دوم دستگاه، به وسیلة ترکیب نسبت در صورت و تفضیل نسبت در مخرج، آن را به صورت کسری که در صورت و مخرج آن، مجموع و تفاضل دو نسبت مثلثاتی همنام است، تبدیل می‎کنیم و پس از تبدیل صورت و مخرج کسر به حاصل ضرب، با استفااده از  مقدار  را تعیین نموده و از آن جا مقادیر x و y از حل یک دستگاه ساده به دست می‎آیند.

برای مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنیم:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة صفحة بعد تحویل می‎شود:

مثالی دیگر:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‎شود: