مقاله سرا
این وبلاگ حاوی مقاله های بسیار کاربردی میباشد امیدواریم نهایت استفاده از آنها را ببریدمقاله سرا
این وبلاگ حاوی مقاله های بسیار کاربردی میباشد امیدواریم نهایت استفاده از آنها را ببریدخرپا
روش تبدیل به درجه :
عدد = مقدارش = shift t که حاصل به توان 1 می رسد و بعد مقدارش = cos
مطلوبست محاسبه نیروهای داخلی بر حسب خرپای شکل زیر :
 |
کششی 
کششی
سازه های متقارن :
1 – از لحاظ شکل هندسی و شرایط تکیه گاهی 2 – از لحاظ بارهای خارجی
|
با استفاده از روش مفصل ها نیروی داخلی مرکب از اعضای داخلی زیر را محاسبه کنید؟
تذکر 2 : هرگاه در گره ای دو عضو غیر //// و بدون بار خارجی متصل باشند. نیرو داخلی هر دو عضو صفر است.
سازه متقارن :
1 – تقارن هندسی
2 – تقارن بارگذاری
خرپا می توانند به لحاظ شکل ظاهری می توانند به شکل منوبل زیر باشد.
الف ) خرپای ساده : به خرپایی گفته می شود که از مجاورت مثلث بر ساخته که گوه ها فقط در رئوس آنهاست تشکیل یافته است.
ب ) خرپای مرکب : خرپایست که از اتصال جثه خرپای ساده به یکدیگر تشکیل شده و در آن حداقل یک مثلث وجود دارد. که گوه در راس آن قرار گرفته باشد.
ج ) خرپای مختلط : خرپایی است که هیچ یک از تعاریف فوق برای آن صدق نکند.
روش حل خرپاها
برای حل خرپاها از سه روش استفاده می گردد که عبارتند از :
1 – روش مفصل یا گره
2 – روش مقطع یا برش
3 – روش نیروی مجهول
که از روش 1 و 2 و 3 یا به عبارتی از هر سه روش برای حل خرپای ساده و مرکب می توان استفاده نمود. ولی فقط از نیروی مجهول جهت خرپای مختلط استفاده می نمایند.
روش مفصل یا گره :
در این روش به کمک نوشتن معادلات تعامل برای سبک تک گره ها ( در خرپای صفحه ای ) برای هر گره دو معادله تعادل وجود دارد. نیروهای داخلی را پس از آنکه واکنش های تکیه گاهی را می گردیم بدست خواهیم آورد. در این روش بایستی از گره ها این محاسبه را شروع نماییم که بیش از عضو مجهول به آن متصل شده باشد. این روش به صورت متوالی و پیاپی انجام می گیرد.
تذکر 1 : هر گاه در گره ای سه عضو بدون بار خارجی متصل باشند که دو عضو آن در یک امتداد قرار گرفته باشند نیروی داخلی عضو سوم حتما صفر است.
خرپا
دستگاهی ساختمانی مکانیکی متشکل از اجزاء با نیروی فقط محوری که از اتصالات مفصلی و لولایی این اجزا تشکیل یافته است. اجزاء خرپا فقط نیروی محوری تحمل می کند و این اجزا از نیروی کشی و لنگر خمشی صرف نظر می گردد. معمولا از خرپاها جهت پوشش دهانه های وسیع و همچنین ساخت دکل ها استفاده می گردد. نسبت به تیرها نسبتا اقتصادی می باشد. خرپاها به دو صورت دیده می شود . الف ) خرپا صفحه ای ب ) خرپا فضایی که ما در این درس به تشریح و حل خرپاهای صفحه ای و خرپاهای فضایی راه حل شان مانند خرپاهای فضایی بوده . ما بسیار پیچیده تر می باشد. به همین علت برای حل آنها از نرم افزارهای تخصصی Sep ( برنامه آنالیز سازه ) و etbs استفاده می گردد.
خرپا صفحه ای : که کلیه اجزای سازه ای و بارای آن در یک صفحه قرار داشته باشد. حال آنکه در خرپای فضایی عضوها در امتداد مختلف و در فرم سه بعدی هستند و نیروها و بارهای وارد نیز در جاهای مختلف داده می شود. در خرپاها نیز مانند سایر سازه ای مکانیکی می بایستی در ابتدا معین یا نامعینی دستگاه معین گردد. سپس به محاسبه واکنش های تکیه گاهی نیروهای داخلی در صورت معین بودن پرداخته شود. جهت بررسی معینی یا نامعینی یک سازه خرپا باید به روش زیر اقدام نمود.
تعداد واکنش های تکیه گاهی
r=4
تعداد اجزا m=11
تعداد مجهولات m+r=15
14=7×2=j2 معادلات تعادل در نتیجه j=r تعداد گره ها
دستگاه معین :
4=1+3 مجهولات
4=1+3 معادلات
فرمول 1
نمایش مولفه ها ، 
نمایش تصویری مختصات یا نمایش مختصاتی 
فرمول 2
برای محاسبه کردن
مقدار 
فرمول 3
این فرمول برای بدست آوردن اندازه فرمول استفاده می شود
فرمول 4
مثال برای فرمول 4
مثال : نقاط 
و 
است. مطلوب است محاسبه بردار AB.
فرمول 5
مطلوب است محاسبه
بردار 
در صورتی که اندازه R ( واحد R=4 ) و زوایایی که
با محور x
و y می سازد 30 و
60 درجه می باشد.
 |
مطلوب است محاسبه بردار که
مقدار آن در واحد و در راستای نیم ساز ربع اول و سوم می باشد ؟ 
فرمول 6
در فضا 
مثال : مطلوب است
محاسبه بردار R
به اندازه 6 واحد که به موازات نیمساز می باشد ؟
|
|
بردار یکه هر بردار :
برداری است هم جهت و هم راستا با بردار اصلی اما مقدارش ( اندازه اش ) واحد است. از تقسیم هر بردار بر اندازه اش بردار یکه آن بردار محاسبه می شود.
فرمول کلی 7
مثال : 
فرمول 8
مثال : 
فرمول 9
مثال : بردارن در فضا موجود است که زوایایی که با محور x و z می سازد به ترتیب 30 و 60 درجه می باشد. مطلوبست محاسبه زوایایی که این بردار با محور y می سازد؟
از طریق فرمول 8 بدست می آید.
مثال 
را بدست آورید.
توزیعهای احتمالی گسسته
توزیعهای احتمالی گسسته
مقدمه
در حالی که اغلب تعیین توزیع احتمالی برای یک متغیر تصادفی معین مفید است، بسیاری مواقع در استنباط آماری و تصمیمگیری توابع احتمالی متغیرها دارای یک فرم هستند. در چنین مواردی استفاده از نظریه توابع احتمالی شرح داده شده در فصل پنجم برای به دست آوردن نتایج کلی در مورد توزیع احتمالی مثل میانگین و واریانس بهتر است از به دست آوردن این مشخصهها در هر حالت ویژه. زیراکسل کننده خواهد بود که در هر مورد جدید با استفاده از توزیع احتمالی یا چگالی، فرایند تعیین مشخصهها مثل میانگین و واریانس را انجام دهیم. خوشبختانه به اندازة کافی همانندی بین انواع معین از آزمایشهای منحصر به فرد معلوم وجود دارد، به طوری که به دست آوردن یک فرمول که نشان دهندة ویژگی عمومی این آزمایشها باشد را ممکن میسازد.
در این فصل بعضی از توزیعهای احتمالی متغیرهای تصادفی گسسته مثل توزیعةای دو جملهای، فوق هندسی و پواسن را مطالعه خواهیم نمود و خواص آنها را بررسی می‌کنیم این توزیعها از مهمترین توزیعهای گسسته در آمار هستند که کاربرد زیادی دارند. توزیعهای احتمالی متغیرهای پیوسته با تأکید بر توزیع نرمال که کاملاً شناخته شده است و در آمار استفادة زیادی از آن می‌شود در فصل هفتم بحث خواهد شد.
آزمایش دو جملهای
بسیاری از آزمایشگاه هستند که دارای یک ویژگی عمومی بوده و آن عبارت است از اینکه نتایج آنها به یکی از دو پیشامد دستهبندی می‌شوند. برای مثال، «آزمایش دسته بندی یک متقاضی شغل که مرد یا زن است» دارای دو نتیجه میباشد، آزمایش پرتاب یک سکه که نتیجة آن پیشامد شیرآمدن و خط آمدن میباشد. تولد یک نوزاد که نتیجة آن پسر و یا دختر میباشد. آزمایش انتخاب یک کالای تولیدی که نتیجة آن تنها به یکی از دو صورت سالم و یا ناقص اتفاق میافتد.
در حقیقت این امکان همیشه وجود دارد که نتایج رخدادهایی که در زندگی روزمره اتفاق میافتد را به صورت دو نتیجه «موفقیت» و یا «عدم موفقیت» شرح دهیم. امتحانهایی که تنها منتج به دو نتیجه می‌شوند، نقش بسیار مهمی در یکی از توزیعهای احتمالی گسسته که کاربرد زیادی در عمل دارد یعنی «توزیع دو جملهای» ایفا می‌کنند.
قبل از این که توزیع دو جملهای را معرفی کنیم، آزمایش دو جملهای را شرح می‌دهیم با توجه به مثالهای بالا و مثالهایی مثل مصاحبه با یک رأی دهنده که جواب آن موافق کاندیدای مورد نظر است و یا نیست. پرتاب موشک که نتیجة آن به هدف خوردن و یا به هدف نخوردن است، ملاحظه می‌شود که صرف نظر از بعضی از تفاوتها همة آنها دارای یک مشخصة ویژه آزمایش دو جملهای میباشند.
تعریف:
یک آزمایش دو جملهای دارای فرضیات زیر است.
1-آزمایش دو جملهای مرکب از n امتحان یکسان ساده است.
2-هر امتحان منتج به یکی از دو نتیجه می‌شود. یک نتیجه را موفقیت و با S نشان داده و نتیجة دیگر را عدم موفقیت و با F نشان می‌دهیم.
3-احتمال موفقیت در یک امتحان ساده مساوی P است، که از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت باقی میماند احتمال عدم موفقیت مساوی q=1-P است.
4-امتحانها از هم مستقل میباشند.
5-علاقمند به X، تعداد موفقیتهای هستیم که در nبار آزمایش ساده مشاهده می‌شود. امتحانهای سادهای که در این شرایط صدق می‌کنند به آزمایشهای «برتولی» معروفند. در عمل فرضهای بیان شده در یک آزمایش دو جملهای تنها در حالتهای محدودی وجود دارند، اما مادامی که هر آزمایش روی آزمایش دیگر اثر ناچیزی داشته باشد می‌توان نظریة دو جملهای را بکار برد.
برای مثال، احتمال این که یک رایدهنده موافق کاندیدای معینی
در یک انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت میماند.
مادامی که جامعة رای دهندگان در مقایسه با نمونه نسبتاً بزرگ باشد. اگر پنجاه درصد
جامعه 1000 نفری از رای دهندگان کاندیدای A را ترجیح به دهند،
آن گاه احتمال موافق بودن اولین مصاحبه شونده به کاندیدای A
مساوی خواهد بود. احتمال موافق بودن دومین مصاحبه
شونده به کاندیدای A مساوی یا 
خواهد بود که بستگی دارد به اینکه آیا اولین
مصاحبه شونده موافق بوده یا مخالف آن. هر دو عدد نزدیک به هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین
انتخاب هم همین طور است در صورتی که n خیلی بزرگ باشد. اما
اگر تعداد جامعه 10 و تعداد موافق کاندیداA، 5 نفر باشند، آن
گاه احتمالی این که اولین رای دهنده موافق A باشد مساوی و
دومین مساوی یا بستگی به این که اولی موافق یا مخالف بوده است
خواهد بود. بنابراین برای جوامع کوچک، احتمال موافق بودن از یک رأی دهنده به رأی
دهنده دیگر (از یک امتحان به امتحان دیگر) به طور محسوس تغییر می‌کند و نتیجتاً
آزمایش دو جملهای نخواهد بود.
توزیع احتمالی دو جملهای
توزیع دو جملهای بوسیلة مقادیر n و p که پارامترهای توزیع هستند توصیف می‌شود. پارامتر هر توزیع عبارت است از یک مشخصة جامعه. در توزیع دو جملهای پارامتر n عبارت است «تعداد امتحانها» و p عبارت از احتمال موفقیت در هر امتحان ساده میباشد. برای هر n وp داده شده با توجه به فرضیات آزمایش دو جملهای می‌توان احتمال هر تعداد موفقیت را حساب کرد و نیز می‌توان دیگر مشخصههای توزیع مثل میانگین و واریانس را هم به دست آورد.
برای نشان دادن این که چگونه توزیع احتمالی دو جملهای حاصل می‌شود،فرایند تولید را در نظر بگیرید که یک وسیلة همانندی تولید می‌کند که به دو صورت سالم و یا ناقص دستهبندی می‌شود. وقتی که فرایند به طور درست کار نکند، احتمال ثابت 10/0=p وجود دارد که کالا ناقص تولید شود. تعداد ناقصها هر مقداری از 0 تا تعداد آزمودنی (n) می‌تواند باشد. برای مثال، ممکن است سئوال شود، «احتمال این که در یک نمونة تصادفی چهارتایی یک نتیجة ناقص باشد چقدر است؟ یا احتمال این که دو یا بیشتر در یک نمونة تصادفی چهارتایی ناقص وجود داشته باشد چقدر است؟ کلمة تصادفی معادل مستقل بودن در تعریف آزمون دو جملهای است.
برای محاسبة احتمالات در آزمایش دو جملهای میتوانیم از قوانین ضرب احتمال استفاده کنیم. مانند
(یک رویداد) p(تعداد رویدادهای مربوط)=(پیشامد)p
در یک مسئله دو جملهای، علاقمند به محاسبة احتمال دقیقاً x موفقیت در n تکرار امتحان برنولی هستیم، که هر امتحان دارای احتمال موفقی p است. به این معنی که ما x موفقیت و n-x عدم موفقیت داریم. برای محاسبه چنین احتمالهایی، لازم است که احتمال یک رویداد از این وع را پیدا کنیم، آن گاه آن را در تعداد ممکن چنین رویدادهایی ضرب کنیم. چون فرقی ندارد کدام رویداد را ابتدا بررسی کنیم، فرضی کنید به طور اختیاری این رویداد را بررسی کنیم که در آن x موفقیت ابتدا رخ دهد، ادامه پیدا کند یا n-x (عدم موفقیت). فرض کنید موفقیت S= و عدم موفقیت F= باشد، بنابراین این رویداد ویژه به صورت زیر مرتب نمود.
SS…S FF…F
n-x عدم موفقیت x موفقیت
برای تعیین احتمال توأم چنین دنبالة ویژهای از موفقیتها و عدم موفقیتها، توجه کنید که امتحانها فرض می‌شوند که از هم مستقل هستند. چون احتمال یک موفقیت p(S)=p و p(F)=q است، بنابراین داریم.
P(SS…S FF…F)=p(S)p(S)…p(S)p(F)p(F)…p(F)
=(p)(p)…(P)(q)(q)..(q)
می‌توان نشان داد که نشان
دهندة احتمال هر دنبالهای است که در آن x موفقیت و n-x
عدم موفقیت وجود دارد. بنابراین کافی است بدانیم چند رخ داد متفاوتی وجود دارد که
در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت داشته
باشیم. جواب عبارت است از تعداد ترکیبهای x از n
میدانیم این تعداد عبارت از
بنابراین حاصلضرب در 
احتمال x موفقیت در n
امتحان را با احتمال ثابت موفقیت (p) به صورت زیر به
دست میدهد.
(6-1) (x موفقیت در n امتحان)p
این توزیع را توزیع دو جملهای گویند. اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جملهای با پارامترهای n و p باشد معمولاً آن را به صورت زیر مینویسند.
مثال 6-1 اگر کسر ناقصی تولید یک کالا مساوی 1/0=p باشد، در یک نمونة تصادفی چهارتایی از این کالاها توزیع احتمالی تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.
حل: یک کالای انتخاب دو صورت خواهد داشت یا سالم است و یا ناقص. احتمال این که یک کالای انتخاب ناقص باشد مساوی 1/0=p کالاهای انتخابی از همدیگر مستقل هستند بنابراین تعداد کالاهای خراب در نمونه دارای توزیع دو جملهای است. بنابراین توزیع احتمالی تعداد کالاهای خراب طبق جدول 6-1 خواهد بود.
جدول 6-1: توزیع دو جمله با 4=n و 1/0=p
|
جمع |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
Xتعداد کالاهای خراب |
|
1 |
0001/0 |
0036/0 |
0486/0 |
2916/0 |
6561/0 |
P(x) |
که در آن احتمال این که دقیقاً (1=x) کالای خراب در نمونة چهارتایی (4=n) وقتی که 1/0=p باشد، داشته باشیم به صورت زیر حساب می‌شود
با استفاده از جدول 6-1 به سادگی می‌توان احتمال این که تعداد خرابها کمتر یا مساوی 2 باشد را حساب کرد.
مثال 6-2 به منظور عیب یابی در تولید یک نوع کالا که به مقدار زیاد توسط ماشین در کارخانه تولید می‌شود، با استفاده از طرح نمونهگیری، کالای تولیدی بازرسی می‌شود. ده قلم کالا به طور تصادفی انتخاب و مورد آزمایش قرار می‌گیرند. چنانچه دو یا بیشتر کالای ناقص مشاهده شود، کالای تولیدی رد می‌شود. اگر کل کالای تولیدی دقیقاً 5 درصد ناقص داشته باشد، احتمال این که کالا پذیرفته شود چقدر است؟ احتمال این که کالا رد شود چقدر است؟
حل: با توجه به شرایط یک آزمایش دو جملهای، مشاهده می‌شود که تعداد کالاهای ناقص در نمونه، x دارای توزیع دو جملهای زیر است.
در صورتی کالا پذیرفته می‌شود که در نمونه یا خراب مشاهده نشود و یا یکی مشاهده شود بنابراین
آن گاه، احتمال رد کالا عبارت خواهد بود از
مثال 6-3 یک واکسن جدید جلوگیری از سرماخوردگی برای تعیین اثر جلوگیری آن در سرماخوردگی عمومی مورد آزمایش قرار گرفته است. برای این کار به ده نفر واکسن تزریق کرده و بعد از مدت یکسال مشاهده شده که هشت نفر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کردهاند.
فرض کنید وقتی که واکسن استفاده نشود، احتمال اینکه یک نفر بدون سرماخوردگی زمستان را سپری کند مساوی 5/0 باشد. احتمال اینکه هشت نفر یا بیشتر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کنند بشرطی که واکسن در افزایش مقاومت بدن در برابر سرماخوردگی موثر نباشد چقدر است؟
حل: فرض کنید در صورتی که واکسن مؤثر نباشد، احتمال اینکه یک نفر زمستان را بدون سرماخوردگی طی کند مساوی 5/0=p است. توزیع احتمالی برای x، تعداد سرما نخورهها عبارت است از:
مثالهای 6-1، 6-2 و 6-3 موارد استفادة توزیع دو جملهای و محاسبة احتمال x موفقیت در n امتحان را با توجه به تعریف آزمایش دو جملهای روشن میساند.
البته نکتة مهم این است که برای هر عمل فیزیکی بایستی دقیقاً مشخصههای آزمایش دو جملهای بخش 6-2 برای تعیین اینکه آیا مدل آزمایش دو جملهای برای عمل مورد نظر معتبر است تطبیق داده شود.
توجه میکنید که مثالهای فوق مسائلی احتمالی بودند تا آماری. احتمال موفقیت در یک امتحان ساده معلوم است و ما میخواهیم در n امتحان احتمال پیشامدهای عددی معینی را حساب کنیم. حال روش را بر عکس در نظر میگیریم، به این معنی که فرض می‌کنیم یک نمونه از جامعه داریم و میخواهیم راجع به p استنباط بکنیم. شکل فیزیکی مثالهای 6-2 و 6-3 در صورتی که هدف نهایی استنباط آماری باشد وضعیت عملی خوبی به دست میدهد از این دو مسئله در بخشهای آتی در استنباط آماری استفاده خواهیم کرد.
تمرین 6-1 اطلاعات قبلی نشان میدهد که 30درصد تمام بیمارانی که در یک کلینیک پذیرش می‌شوند نمیتوانند هزینة خود را پرداخت کنند. فرض کنید 4=n بیمار جدید نشان دهندة یک نمونة جدید از جامعة بیمارانی باشند که توسط کلینیک تحت مداوا قرار می‌گیرند. احتمال اینکه
الف) هیچکدام از بیماران هزینه را پرداخت نکنند.
ب) یک نفر از بیماران هزینه را پرداخت نکند.
ج) تمام بیماران هزینه را پرداخت کنند.
احتمال اینکه تیراندازی در هر شلیک تیر به هدف بزند مساوی 8/0 است. او چهار تیر به هدف شلیک می‌کند، پیدا کنید.
الف) دقیقاً دو تیر به هدف بزند.
ب)لااقل یک تیر به هدف بزند.
ج)چهار تیر به هدف اصابت نماید.
6-3 یک روش جدید جراحی 80درصد با موفقیت انجام می‌شود. اگر عمل جراحی پنج مرتبه انجام شود و فرض کنیم که عملاً از یکدیگر مستقل باشند پیدا کنید.
الف) احتمال اینکه هر پنج عمل با موفقیت انجام شوند چقدر است؟
ب) احتمالی اینکه کمتر از دو عمل به موفقیت بیانجامد چقدر است؟
ج) فقط چهار عمل با موفقیت انجام شود چقدر است؟
6-4 به تمرین 6-3 مراجعه نمائید، اگر کمتر از دو عمل با موفقیت همراه بودند در بارة تیم عمل جراحی چه نظری داشتید؟
6-5 به تمرین 6-3 مراجعه کنید، اگر x تعداد موفقیتها در عملهای جراحی باشد، توزیع احتمالی آن را رسم نمائید.
6-4-میانگین و واریانس توزیع دو جملهای
میدانیم که توزیع دو جملهای بوسیلة پارامترهای n و P مشخص می‌شوند. از طرفی هر توزیعی دارای مشخصههایی است مثل میانگین و واریانس. بنابراین ممکن است در توزیع دو جملهای، میانگین و واریانس را نیز بر حسب n وp بدست آورد.
می‌توان با استفاده از قضایای مربوط به جمع و با استفاده از مهارت در جابجایی جبری، میانگین و واریانس متغیر تصادفی x که دارای توزیع دو جملهای با پارامتر pو n است را مستقیماً حساب نمود در اینجا سعی می‌کنیم این ویژگیهای توزیع را با استفاده از مثالهای ساده حساب کرده و آن گاه در حالت کلی تعمیم دهیم. برای n=1، توزیع احتمالی x عبارت از
|
1 |
0 |
X |
|
P |
Q |
P(x) |
با توجه به تعریف امید ریاضی، داریم
و برای 2=n، توزیع احتمالی عبارت است از
|
2 |
1 |
0 |
X |
|
2p |
Pq2 |
2q |
P(x) |
برای 3=n با توجه به توزیع احتمالی x داریم
می‌توان حدس زد که نتیجه در حالت کلی نیز برقرار است. در واقع می‌توان با استفاده از قضایای ریاضی نشان داد که امید رضای x در توزیع دو جملهای با n امتحان با پارامتر p، برابر است با
به همین طریق می‌توان واریانس x را برای 2و1=n امتحان به دست آورد. برای 1=n
برای 2=n
با جایگذاری q=1-p، خواهیم داشت
به سادگی می‌توان نشان داد که برای 3=n، واریانس مساوی pq3 است. در حالت کلی برای n امتحان و با پارامتر p، می‌توان استنباط نمود که واریانس و انحراف معیار برابر است با
و
مثال 6-4 در یک فرایند تولید که کالای همانندی تولید می‌شود، 10% کالاهای تولیدی ناقص هستند در انتخاب 20 نمونه تصادفی کالا از این فرایند، میانگین و واریانس و انحراف معیار تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.
حل: فرض می‌کنیم مقدار کالاهای ناقص در نمونه باشد =x
واضح است که 
بنابراین،
تمرین
6-6 به تمرین 6-1 مراجعه نمائید، میدانیم که 30 درصد بیماران پذیرش شده قادر به پرداخت هزینة بیمارستان نیستند. اگر در طول زمان یکسال 2000 نفر در بیمارستان معالجه گردند حساب کنید.
الف) میانگین افرادی که قادر به پرداخت صورتحساب بیمارستان نیستند چیست؟
ب) واریانس و انحراف معیار این تعداد را حساب کنید.
6-7 یک آزمون دارای 15 سوال است که هر سوال دارای چهار جواب احتمالی بوده که فقط یکی از آنها درست است. شخصی به طور شانسی علامت میزند، مطلوبست محاسبة
الف) میانگین تعداد جوابهای درست
ب) احتمال اینکه به 8 تا 10 سوال جواب درست به دهد چقدر است؟
6-8اگر متغیر تصادفی x دارای توزیع دو
جملهای با میانگین 5/2 و واریانس 25/1 باشد
را
محاسبه کنید.
6-9 فرض کنید کاندیدای سیاسی دارای دقیقاً 50درصد آرای عمومی باشد.
الف) اگر 10000رأی را به عنوان نمونه تصادفی از جامعة رای دهندگان در نظر بگیریم، امید ریاضی x، تعداد رأی دهندگان به کاندیدای مورد نظر چقدر است؟
ب) انحراف معیار x را پیدا کنید.
ج) فرض کنید 4700=x باشد، آیا این مقدار x با احتمال مورد نظر قابل قبول است؟ نتیجة مشاهده را چگونه می‌توان شرح داد؟
محاسبة احتمال در توزیع دو جملهای
با استفاده از جدول
محاسبة احتمالهای دو جملهای وقتی nبزرگ باشد کار خسته کنندهای است. جداول بسیاری برای توزیع دو جملهای تهیه شده و نشان بر اهمیت کاربردی این توزیع دارد.
یکی از این جدولها در ضمیمه «جدول 1» آمده است. در این جدول مجموع احتمالهای دو جملهی از 0=x تا a=x برای اندازههای مختلف nو p آمده است. برای نشان دادن چگونگی استفاده از جدول فرض کنید در توزیع دو جملهای با 10=n و4/0=p بخواهیم جمع احتمالهای از 0=x تا 5=x را حساب کنیم. میدانیم این احتمال برابر است با
که در آن
834/0 مشاهده می‌شود بنابراین داریم،
و نتیجتاً
مثال 6-5 فرش کنید (4/0و20)x»B باشد، احتمالهای زیر را با استفاده از جدول حساب کنید.
الف)
ب)
حل: الف)
ب)
با استفاده از بستة نرم افزار MINITAB می‌توان هم احتمال تجمعی و اهم احتمال انفرادی را به دست آورد. احتمالهای دو جملهای انفرادی مربوط به مقدار x برای هر ترکیب n و p را می‌توان با دستور PDF و ادامره با (;) (سمیکلن) و آن گاه با زیر دستور BINOMIAL N P یافت. واضح است که N اندازة نمونه و p احتمال موفقیت در هر آزمایش است. احتمالهای تجمعی دو جملهای را می‌توان با استفاده از دستور CDF، ادامه با (;) و آن گاه زیر دستور BINOMIAL N P مشاهده نمود. خروجی MINITAB برای هر دو دستور PDFو CDF وقتی 10=n و 5/0=p باشد در جدول 6-2 داده شده است. دستور PDF، احتمال انفرادی p(x=k) و دستور CDF احتمالهای p(x£k) را به دست می‌دهند.
جدول 6-2 احتمالهای دو جملهای خروجی MINITAB برای 10=n و 5/0=p
خروجی MINITAB ممکن است تمام
احتمالهای مقادیر برای ترکیبات مختلف را به دست ندهد. زیرا دارای کنترل
خارجی است در صورتی که باشد و یا معادل آن با
در نظر گرفتن دقت لازم، محاسبه متوقف می‌شود.
مثال 6-6 میانگین و انحراف معیار متغیر تصادفی که دارای توزیع
احتمالی دو جملهای با 10=n و 0/5=p
را حساب کنید. احتمال اینکه x در فاصلة بیفتد چقدر است؟
حل: میانگین و انحراف معیار برابر است با
بنابراین فاصلة برابر است با
یا فاصله از 8/1 تا 2/8 شامل 2و3و… 8 است. بنابراین
نتیجة حاص تقریباً با قانون تجربی مطابقت دارد.
کاربردهای توزیع دو جملهای
کنترل کیفیت
یکی از مشخصات کلی تولید انبوه این است که تمامی اقلامی که از خط تولید بیرون میآیند با استانداردهای تعیین شده مطابقت نمیکنند. این اقلام را اقلام «ناقص» می‌نامند. در واحد کنترل کیفیت سعی می‌شود عواملی را که باعث تولید کالای ناقص می‌شوند را شناسایی نمایند. حتی با بازرسی مداوم و کامل نیز ممکن است کالای ناقص تولید شود. بنابراین کالای تولیدی یا ناقص (موفقیت) و یا سالم میباشد و اقلام متوالی که از خط تولید به دست میآیند، مانند آزمایشهای دو جملهای عمل می‌کنند. در صورتی که احتمال تولید کالای معیوب خیلی کم باشد، گفته می‌شود که فرایند تولید «در حالت کنترل آماری» است.
دانستن اینکه آیا فرآیند تولید در کنترل آماری است مهم است و با بازرسی منظم و کامل می‌توان بامر اینکه آیا روند تولید در کنترل آماری است واقف شد. اما بازرسی کامل مشکلاتی دارد که همیشه انجام آن مقدور نیست. به عنوان مثال هزینه و وقت زیادی باید صرف نمود که از نظر اقتصادی مقرون به صرفه نیست و مشکل دیگر اینکه اصولاً برخی از آزمایشها ماهیت تخریبی دارند. مثلاً آزمایش کردن یک لامپ فلاش عکاسی برای تعیین مقدار نور تولیدی، باعث سوختن لامپ شده و اگر همة لامپها به این روش آزمایش شوند، تولید کننده لامپی برای فروش نخواهد داشت.
نوع دیگر بازرسی که نسبت به بازرسی کامل ارزان و نیز وقت گیر نمیباشد، عبارت است از بکارگیری یک. «طرح نمونهگیری» که در آن یک نمونه تصادفی به اندازة n از تولید انبوه انتخاب و هرکدام از کالاها را بازرسی نموده و تعداد x ناقص ثبت میگردد. اگر x کمتر یا مساوی یک عدد قبولی معین a باشد، تولید انبوه پذیرفته می‌شود. اگر x از a بیشتر باشد، کل تولید رد می‌شود. فرض کنید که یک تولید کننده طرح نمونهگیری با 10=n و 1=a را بکار میبرد. اگر تولید انبوه 5درصد ناقصی داشته باشد، احتمال پذیرش کالا چقدر است؟ رد چقدر؟ فرض کنید اقلام متوالی انتخاب شده مستقل باشند.
حل: فرض کنید x تعداد ناقصهای مشاهده شده باشد. با توجه به شرایط آزمایش دو جملهای، واضح است که x دارای توزیع دو جملهای با 10=n و 05/0=pاست. و
ملاحظه می‌شود که این طرح نمونهگیری روشی است کاملاً کاربردی و استنباطی در مورد کل جامعة اقلام تولیدی (تولید انبوه). اگر تولید انبوه رد شود چنین استنباط می‌شود که کسر ناقص p، بیش از اندازة بزرگ است. اگر تولید انبوه کالا پذیرفته شود چنین استنباط می‌شود که، p کوچک است و فرایند تولید قابل قبول است.
توجه نمائید که از نظر کاربردی عملی، p احتمال ناقص بودن کالا در تولید انبوه معمولاً معلوم نیست. می‌توان این کسر ناقصی را در حالتی که فرایند تولید به مدت طولانی در حالت کنترل آماری است به دست آورد. البته برای مقادیر مختلف کسر ناقصی p، می‌توان احتمال پذیرش را به صورت یک نمودار به نام منحنی پذیرش کالا و یا منحنی مشخصه عمل کنندة طرح نمونهگیری نشان داد. یک نمونه از منحنی ویژه پذیرش در شکل (6-1) نشان داده شده است. یک طرح رضایت بخش نمونهگیری پذیرش انبوه کالا آن است که احتمال پذیرش توده کالا با درصد خرابی کم زیاد بوده و احتمال پذیرش تولید انبوه با درصد خرابی زیاد کم باشد. احتمال پذیرش همیشه با افزایش درصد خرابی کاهش مییابد، نتیجهای که با شهود ما مطابقت دارد.
مثال 6-7 احتمال پذیرش انبوه کالا را برای طرح نمونهگیری با اندازة نمونه 5=n و عدد قبولی 0=a و درصد خرابیهای 1/0=p، 3/0=p و 5/0=p حساب کنید. منحنی ویژه پذیرش طرح نمونهگیری را رسم نمائید.
حل: تولید انبوه پذیرفته می‌شود اگر 5=n کالا نمونه گرفته شود و 0=a کالا ناقص مشاهده شود.
منحنی پذیرش را می‌توان با استفاده از سه نقطه به دست آمده در محاسبات بالا رسم نمود. به علاوه میدانیم که احتمال پذیرش وقتی که 0=p است مساوی 1 و مساوی صفر است اگر 1=p میباشد. منحنی طرح پذیرش کالا در شکل (6-1) رسم شده است.
پذیرش نمونهای که به طریق معقولی عمل می‌کند، یک مثال از استنباط آماری است زیرا روش دلالت بر تصمیم مربوط به کسر ناقصی p در تولید انبوه دارد. اگر تولید انبوه را پذیرفتید، این دلالت بر این دارد که کسر ناقصی p نسبتاً مقدار پذیرفتنی گوچکی است. اگر رد بکنید، واضح است که فکر میکنید p خیلی بزرگ است. نتیجتاً، روش پذیرش تولید انبوه به روش نمونهای عبارت است از یک روش تصمیمگیری مربوط به کسر ناقصی در کل تولید.
شکل 6-1: منحنی طرح پذیرش کالا 5=n و 0=a
اندازة آزمایش:
از تجربیات گذشته معلوم شده است که به طور متوسط تقریباً 20درصد جوانانی که در آزمایش معینی مورد استفاده قرار می‌گیرند بیش از پایان آزمایش میمیرند. اگر بخواهیم با احتمال حداقل 98/0 با حداقل 5 حیوان آزمایش را کامل کنیم با چند حیوان باید شروع کنیم؟
حل: اگر B تعداد حیوانات زنده باقیمانده را مشابه تعداد موفقیتها در n تکرار آزمایش دو جملهای با احتمال 8/0=p بدانیم، میخواهیم کوچکترین nی را طوری بیابیم که 98/0=(5B³)p باشد. ابتدا با 7=n آزمایش را شروع می‌کنیم. احتمال اینکه 5 یا بیشتر موفقیت در 7=n آزمایش دو جملهای با 8/0=p داشته باشیم چقدر است؟
خواهیم داشت:
بنابراین هفت حیوان کافی نیست. محاسبات مشابهی نشان می‌دهند که احمتال زنده ماندن 5 یا بیش از 5 حیوان بازای 8=n برابر است با 9437/0 است و همین احتمال اگر 9=n حیوان مورد آزمایش قرار گیرند برابر است با 98/0 در نتیجه 9 حیوان کوچکترین حیوانی است که نتیجة مطلوب را تأمین می‌کند.
تمرین
6-10 در یک طرح نمونهگیری با اندازة نمونه 10=n و عدد قبولی 1=a بین خریدار و فروشنده توافق می‌شود. احتمال اینکه خریدار مقدار زیادی کالا را با درصد خرابیهای زیر بخرد چقدر است؟
الف) 1/0=p ب)3/0=p ج)5/0=p
د)0=p ه)1=p
6-11 منحنی ویژه پذیرش را برای طرح نمونهگیری تمرین 6-10 رسم نمائید.
6-12 فرض کنید که یک خط تولیدی مدتی در حالت کنترل است و در این مدت مشاهده شده که متوسط فراوانی معیوبها 5درصد است. چنانچه هر روز 10 قلم کالا از تولید روزانه مورد بررسی قرار گیرد و فرض شود که تولید در حالت کنترل است، احتمال اینکه در نمونه روزانه 3 یا بیشتر کالای معیوب مشاهده شود چقدر است؟
6-13 از تجربیات گذشته معلوم شده که به طور متوسط 20 درصد دانشجویان یک رشتة تحصیلی موفق به پایان بردندوره نمیشوند. اگر بخواهیم با احتمال حداقل 95/0 با حداقل 10 دانشجو دورة را به پایان برسانیم، چند دانشجو در هر دوره بایستی گزینش نمائیم.
6-6آزمون فرض
بحث در بارة نظریه آزمونهای فرض در این جا ممکن است کمی زود باشد. اما به لحاظ اینکه معرفی این مطلب موارد استفاده توزیع دو جملهای را در تصمیمگیریهای آماری بیان می‌کند و بهعلاوه این بحث مقدماتی از آزمونهای فرض که گاهی اوقات فهم آن مشکل است، باعث میگردد که در یک دورة زمانی فکر دانشجو بتدریج درگیری آن بشود، لذا بهتر است معرفی گردد.
توابع
|
در ریاضیات ، تابعرابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه‌ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می‌کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. مفاهیم تابع ، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند. |
تعریف تابع
در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولیدکند. برای مثال با فرض y=x2 باورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 راخواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.
به عنوان مثال تابع f(x)=x2 بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند X
|
|
در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند.
ا این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی میباشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.
فقط
کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود
در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی
یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه
باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف
تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.
تاریخچه تابع
نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ لایب نیتر مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط لئونارد اویلر در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه دارد.
چیزی
که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر
است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه‌ها در قرن
19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی
ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه
x را
به عنوان ورودی و
y را
به عنوان
خروجی
در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها
y,x را عوض می‌کنند.
ورودی تابع
ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z
تعریف روی مجموعه‌ها
یک تابع
رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر
مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو
مجموعه
نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:
|
|
|
|
این رابطه یک
تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع
متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است
· این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.
تعریف ساخت یافته تابع
بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy میباشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند.
خواص توابع
توابع می‌توانند:
· زوج یا فرد باشند.
· پیوسته یا ناپیوسته باشند.
· حقیقی یا مختلط باشند.
· اسکالر یا برداری باشند.
توابع چند متغیره
یک تابع
ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که
یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره
کرد که در آن دو جرم با متغیر
و و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام 
در آن وجود دارد.
با مقدار
دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع
F محاسبه
خواهد شد.
تابع
|
در ریاضیات ، تابعرابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه‌ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می‌کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. مفاهیم تابع ، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند. |
تعریف تابع
در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولیدکند. برای مثال با فرض y=x2 باورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 راخواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.
به عنوان مثال تابع f(x)=x2 بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند X
|
|
در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند.
ا این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی میباشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.
فقط
کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود
در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی
یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه
باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف
تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.
تاریخچه تابع
نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ لایب نیتر مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط لئونارد اویلر در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه دارد.
چیزی
که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر
است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه‌ها در قرن
19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی
ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه
x را
به عنوان ورودی و
y را
به عنوان
خروجی
در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها
y,x را عوض می‌کنند.
ورودی تابع
ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z
تعریف روی مجموعه‌ها
یک تابع
رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر
مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو
مجموعه
نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:
|
|
|
|
این رابطه یک
تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع
متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است
· این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.
تعریف ساخت یافته تابع
بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy میباشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند.
خواص توابع
توابع می‌توانند:
· زوج یا فرد باشند.
· پیوسته یا ناپیوسته باشند.
· حقیقی یا مختلط باشند.
· اسکالر یا برداری باشند.
توابع چند متغیره
یک تابع
ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال 
یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که
یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره
کرد که در آن دو جرم با متغیر
و 
و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام 
در آن وجود دارد.
با مقدار
دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع
F محاسبه
خواهد شد.
توابع مثلثاتی
|
ارتفاع مثلث |
ALTITUDE OF A Triangle |
هر ارتفاع مثلث، پاره خطی است که یک سر آن یک رأس مثلث، و سر دیگر آن، پای
عمودی است که از آن رأس بر ضلع مقابل به آن رأس فرود می‌آید؛ مانند ارتفاع هر مثلث، سه ارتفاع دارد، ، و که در یک نقطة مانند به نام مرکز ارتفاعی مثلث همرسند. اندازة
ارتفاعهای ، و را بترتیب با ، و نشان می‌دهند.
|
اصل نامساوی مثلثی |
Axiom Triangle Inequality |
هر گاه A، B و C سه نقطة دلخواه
باشند، آن گاه . تساوی، وقتی
برقرار است که سه نقطه روی یک خط راست، و نقطة B بین دو نقطة A
و C باشد.
|
انتقال) توابع مثلثاتی |
Axiom Triangle Inequality |
برای محاسبة مقادیر نسبتهای مثلثاتی در ربعهای دوم، سوم و چهارم می‌توان از رابطههای زیر استفاده کرد:
توابع کسینوس و سینوس دورهای، با دورة ْ360 هستند:
تابع تانژانت دورهای، با دورة ْ180است:
همچنین از تبدیلهای زیر نیز می‌توان استفاده کرد:
|
اندازة زاویه |
Measure of an angle |
نسبت آن زاویه است، به زاویهای که به عنوان واحد زاویه اختیار شده است.
اندازة شعاع کرة محاطی چهار وجهی منتظم
¬ چهار وجهی منتظم
اندازة شعاع کرة محیطی چهار وجهی منتظم
¬ چهار وجهی منتظم
|
اندازة مساحت مثلث |
Area of a Triangle |
برابر است با نصف حاصلضرب اندازة هر ضلع مثلث در اندازة ارتفاع نظیر آن ضلع. اگر مساحت مثلث ABC را با S نمایش دهیم، داریم:
با توجه به این که است، داریم:
برای محاسبة مساحت مثلث از دستور که در آن و به دستور هرون Heron مرسوم است، نیز استفاده می‌کنند.
|
اندازة نیمسازهای زاویههای برونی مثلث |
Measure of external angle bisectors of triangle |
تصفیه: در هر مثلث، مربع اندازة نیمساز هر زاویة برونی، برابر است با حاصلضرب اندازههای دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید میآورد، منهای حاصلضرب اندازههای دو ضلع آن زاویه.
یعنی اگر در مثلث ABC AD¢نیمساز زاویة برونی A باشد داریم:
اگر اندازة نیمسازهای زاویهای برونی A، B و C از مثلث ABC را بترتیب با ، d¢a و d¢b و d¢c محیط مثلث را با P2 نشان دهیم، داریم:
|
اندازة نیمسازهای زاویههای برونی مثلث |
Measure of internal angle bisectors of triangle |
قضیه: در هر مثلث، مربع اندازة نیمساز هر زاویة درونی برابر است با حاصلضرب اندازة دو ضلع آن زاویه، منهای حاصلضرب دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید میآورد. یعنی اگر AD نیمساز زاویة درونی A از مثلث ABC باشد، داریم:
اگر اندازة نیمسازهای زاویههای درونی
A، B و C از مثلث ABC به ضلعهای BC=a ,AC=b
و AB=c را بترتیب da، db
و dc بنامیم، داریم:
|
تابع تانژانت |
Tangent function |
این تابع به صورت tgx
= yمیباشد. دورة تناوب آن p است. کافی است نمودار تابع را در فاصلة رسم کنیم. برای رسم نمودار در فاصلة منحنی را در امتداد xها به اندازة p
در سمت راست xها انتقال
می‌دهیم؛ چون میباشد، منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارند و در دارای مجانب است.
|
تابع سینوس |
Sine function |
این تابع به صورت y=sin x
میباشد. دورة تناوب آن 2p
است. کافی است نمودار تابع را در فاصلة رسم کنیم و برای رسم منحنی در فاصلة منحنی را در امتداد xها به اندازة 2p
در سمت راست xها انتقال
می‌دهیم. و برای رسم منحنی در فاصلة منحنی را به اندازة 2p در سمت چپ xها انتقال می‌دهیم. تابع روی در ماکزیمم نسبی و در مینیمم نسبی و در x=p دارای عطف میباشد.
|
تابع کتانژانت |
Cotangent function |
این تابع به صورت y=cotg x
میباشد. دورة تناوب آن p
است. کافی است نمودار را در فاصلة رسم کنیم. برای رسم نمودار در فاصلة منحنی را در امتداد xها به اندازة p
در سمت راست xها انتقال
می‌دهیم؛ چون میباشد. منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارد و در و دارای مجانب و در عطف دارد.
|
تابع کسینوس |
Cosine function |
این تابع به صورت y=socx
میباشد. دورة تناوب آن 2p
است. کافی است نمودار را در فاصله 
رسم نماییم و برای رسم منحنی در فاصلة منحنی را به اندازة در سمت چپ xها انتقال می‌دهیم.
تابع روی در 
مینیمم نسبی و در 
و دارای عطف میباشد.
|
تابع مثلثاتی |
Trigonometric function |
تابعهایی که ضابطة آنها به کمک نسبتهای مثلثاتی تعریف شده باشد.
هر یک از تابعهای زیر مثلثاتی است:
|
توابع مثلثاتی |
() |
توابع f(x)= sin x
و g(x)=cos x و h(x)
tgx و j(x)=cotg x یا ترکیبی از آنها را توابع مثلثاتی نامند. مثلاً تابع مثلثاتی میباشد.
مثال 1: دامنة تابع گنگ مثلثاتی 
روی کدام است؟
مثال 2: برد تابع برابر است با:
مثال 3: برد تابع 
کدام است؟
مثال 4: مطلوب است نمودار 
در یک دورة تناوب
|
توابع معکوس مثلثاتی |
Inverse trigonometric functions |
1.تابع با ضابطة 
در فاصله 
یک به یک بوده و دارای معکوسی به صورت 
یا
و نمودار آن و مشتق آن 
میباشد.
2.تابع با ضابطة 
به ازاء ، تابع یک به یک
بوده، معکوس آن وجود داشته به صورت یا و نمودار آن و مشتق آن به صورت میباشد.
3. تابع با ضابطة به ازاء 
تابع یک به یک بوده و معکوس آن به صورت 
یا x=tg y
و نمودار آن و مشتق آن 
میباشد.
4. تابع با ضابطة y=cotg x
به ازاء 
یک به یک بوده و معکوس آن به صورت 
یا 
و نمودار آن و مشتق آن 
میباشد.
|
حالتهای تشابه دو مثلث |
|
1.اگر دو زاویه از یک مثلث، با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند.
2.اگر یک زاویه از یک مثلث، با یک زاویه از مثلث دیگر برابر، و ضلعهای مجاور به این زاویه در دو مثلث نظیر به نظیر متناسب باشند.
3.اگر سه ضلع از یک مثلث، با سه ضلع نظیر آنها از مثلث دیگر متناسب باشند.
|
حالتهای همنهشتی دو مثلث |
States of congruent triangles |
دو مثلث در یکی از سه حالت زیر همنهشت خواهند بود:
حالت اول. هر گاه دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی، با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلث دیگر، نظیر به نظیر مساوی باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و
و
و
این دو مثلث همنهشتند.
حالت دوم. اگر دو ضلع و زاویة بین آنها از مثلثی، با دو ضلع و زاویة بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و AC=DF,AB=DE,DEF
و 
این دو مثلث همنهشتند.
حالت سوم. هرگاه سه ضلع از مثلثی، نظیر به نظیر با سع ضلع از مثلثی دیگر، مساوی باشند.
به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و BC=EF,AB=DE,DEF و AC=DF باشد، دو مثلث ABC و DEF همنهشتند.
|
حد توابع سادة مثلثاتی |
|
حد و 
حد
حد 
حد 
()
این حدود نشان می‌دهند تابع 
و 
در هر نقطه پیوسته و تابع f(x)=tg x روی فاصلة (
) پیوسته و تابع f(x)=cotg
x روی فاصله (
) پیوسته است.
مثال: مطلوب است (
) حد، با استفاده
از قضایای حدود داریم:
حد
|
خطهای همرس در مثلث |
Concurrent lines in a triangle |
1.سه عمود منصف ضلعها،
2.سه نیمساز زاویههای درونی،
3.نیمسازهای دو زاویة برونی با نیمساز زاویة درونی سوم،
4.سه ارتفاع،
5.سه میانه.
|
دایرههای محاطی برونی مثلث |
Excircles |
دایرههایی هستند که بر یک ضلع و امتداد دو ضلع دیگر مثلث مماسند. مرکز این دایرهها، نقطههای برخورد نیمسازهای دو زاویه خارجی و نمیساز زاویة درونی سوم است. هر مثلث سه دایرة محاطی برونی دارد. شکل صفحه بعد، دایرة محاطی برونی مثلث، مماس بر ضلع BC را نشان میدهد.
|
دایرة مثلثاتی |
Reigonometric circle |
دایرهای به شعاع واحد است که روی آن نقطهای به عنوان مبدأ و جهتی به عنوان جهت مثبت حرکت، اختیار شده باشد. در حالت عمومی، انتهای سمت راست قطر افقی را به عنوان مبدأ حرکت (نقطة A) و خلاف جهت حرکت عقربههای ساعت را جهت مثبت اختیار می‌کنند.
|
دایرة محاطی داخلی مثلث |
Inscribed circle |
دایرهای است که بر ضلعهای مثلث مماس است. مرکز این دایره، محل برخورد نمیسازهای زاویهای داخلی مثلث است.
|
دایرة محیطی مثلث |
Circumscribed circle |
دایرهای است که بر سه رأس مثلث میگذرد. مرکز آن، نقطة بر خورد عمود منصفهای ضلعهای مثلث است.
|
دستگاههای مثلثاتی کلاسیک |
Classic trigonometric systems |
برای حل دستگاههای مثلثاتی چند مجهولی، هیچگونه قاعدة کلی که در حل تمام دستگاهها بتوان از آن استفاده کرد، وجود ندارد. ولی در این مورد، برای حل دستگاههای چند مجهولی مثلثاتی، می‌توان دستگاههای دو معادلة دو مجهولی را به سه نوع کلاسیک دستهبندی کرد و طریقه حل هر یک را در حالت کلی بیان کرد.
1-دستگاههای مثلثاتی کلاسیک نوع اول:
|
|
|
|
|
|
برای حل این نوع دستگاهها از اتحادهای تبدیل حاصل جمع به حاصل ضرب استفاده می‌کنیم. برای مثال، دستگاه زیر را حل می‌کنیم:
بنابر این،دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‌شود:
2-دستگاههای مثلثاتی کلاسیک نوع دوم:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
برای حل این نوع دستگاهها، از اتحادهای تبدیل حاصلضرب به حاصل جمع استفاده می‌کنیم. برا مثال، دستگاه زیر را حل میکنی:
بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‌شود:
از جمع معادلههای این دستگاه، نتیجه می‌شود:
3-دستگاههای مثلثاتی کلاسیک نوع سوم:
|
|
|
|
|
|
برای حل این نوع
دستگاههای مثلثاتی، در دو طرف معادلة دوم دستگاه، به وسیلة ترکیب نسبت در صورت و
تفضیل نسبت در مخرج، آن را به صورت کسری که در صورت و مخرج آن، مجموع و تفاضل دو
نسبت مثلثاتی همنام است، تبدیل می‌کنیم و پس از تبدیل صورت و مخرج کسر به حاصل
ضرب، با استفااده از 
مقدار 
را تعیین نموده و از آن جا مقادیر x و y از حل یک دستگاه
ساده به دست میآیند.
برای مثال، دستگاه زیر را حل می‌کنیم:
بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة صفحة بعد تحویل می‌شود:
مثالی دیگر:
بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‌شود:
