توزیع‎های احتمالی گسسته

توزیع‎های احتمالی گسسته

مقدمه

در حالی که اغلب تعیین توزیع احتمالی برای یک متغیر تصادفی معین مفید است، بسیاری مواقع در استنباط آماری و تصمیم‎گیری توابع احتمالی متغیرها دارای یک فرم هستند. در چنین مواردی استفاده از نظریه توابع احتمالی شرح داده شده در فصل پنجم برای به دست آوردن نتایج کلی در مورد توزیع احتمالی مثل میانگین و واریانس بهتر است از به دست آوردن این مشخصه‎ها در هر حالت ویژه. زیراکسل کننده خواهد بود که در هر مورد جدید با استفاده از توزیع احتمالی یا چگالی، فرایند تعیین مشخصه‎ها مثل میانگین و واریانس را انجام دهیم. خوشبختانه به اندازة کافی همانندی بین انواع معین از آزمایشهای منحصر به فرد معلوم وجود دارد، به طوری که به دست آوردن یک فرمول که نشان دهندة ویژگی عمومی این آزمایش‎ها باشد را ممکن می‎سازد.

در این فصل بعضی از توزیع‎های احتمالی متغیرهای تصادفی گسسته مثل توزیع‎ةای دو جمله‎ای، فوق هندسی و پواسن را مطالعه خواهیم نمود و خواص آنها را بررسی می‎کنیم این توزیع‎ها از مهمترین توزیع‎های گسسته در آمار هستند که کاربرد زیادی دارند. توزیع‎های احتمالی متغیرهای پیوسته با تأکید بر توزیع نرمال که کاملاً شناخته شده است و در آمار استفادة زیادی از آن می‎شود در فصل هفتم بحث خواهد شد.

آزمایش دو جمله‎ای

بسیاری از آزمایشگاه هستند که دارای یک ویژگی عمومی بوده و آن عبارت است از اینکه نتایج آنها به یکی از دو پیشامد دسته‎بندی می‎شوند. برای مثال، «آزمایش دسته بندی یک متقاضی شغل که مرد یا زن است» دارای دو نتیجه می‎‏باشد، آزمایش پرتاب یک سکه که نتیجة آن پیشامد شیرآمدن و خط آمدن می‎باشد. تولد یک نوزاد که نتیجة آن پسر و یا دختر می‎باشد. آزمایش انتخاب یک کالای تولیدی که نتیجة آن تنها به یکی از دو صورت سالم و یا ناقص اتفاق می‎افتد.

در حقیقت این امکان همیشه وجود دارد که نتایج رخدادهایی که در زندگی روزمره اتفاق می‎افتد را به صورت دو نتیجه «موفقیت» و یا «عدم موفقیت» شرح دهیم. امتحانهایی که تنها منتج به دو نتیجه می‎شوند، نقش بسیار مهمی در یکی از توزیع‎های احتمالی گسسته که کاربرد زیادی در عمل دارد یعنی «توزیع دو جمله‎ای» ایفا می‎کنند.

قبل از این که توزیع دو جمله‎ای را معرفی کنیم، آزمایش دو جمله‎ای را شرح می‎دهیم با توجه به مثالهای بالا و مثالهایی مثل مصاحبه با یک رأی دهنده که جواب آن موافق کاندیدای مورد نظر است و یا نیست. پرتاب موشک که نتیجة آن به هدف خوردن و یا به هدف نخوردن است، ملاحظه می‎شود که صرف نظر از بعضی از تفاوتها همة آنها دارای یک مشخصة ویژه آزمایش دو جمله‎ای می‎باشند.

تعریف:

یک آزمایش دو جمله‎ای دارای فرضیات زیر است.

1-آزمایش دو جمله‎ای مرکب از n امتحان یکسان ساده است.

2-هر امتحان منتج به یکی از دو نتیجه می‎شود. یک نتیجه را موفقیت و با S نشان داده و نتیجة دیگر را عدم موفقیت و با F نشان می‎دهیم.

3-احتمال موفقیت در یک امتحان ساده مساوی P است، که از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت باقی می‎ماند احتمال عدم موفقیت مساوی q=1-P است.

4-امتحان‎ها از هم مستقل می‎باشند.

5-علاقمند به X، تعداد موفقیتهای هستیم که در nبار آزمایش ساده مشاهده می‎شود. امتحانهای ساده‎ای که در این شرایط صدق می‎کنند به آزمایش‎های «برتولی» معروفند. در عمل فرضهای بیان شده در یک آزمایش دو جمله‎ای تنها در حالتهای محدودی وجود دارند، اما مادامی که هر آزمایش روی آزمایش دیگر اثر ناچیزی داشته باشد می‎توان نظریة دو جمله‎ای را بکار برد.

برای مثال، احتمال این که یک رای‎دهنده موافق کاندیدای معینی در یک انتخاب سیاسی رأی به دهد تقریباً از یک امتحان به امتحان دیگر ثابت می‎ماند. مادامی که جامعة رای دهندگان در مقایسه با نمونه نسبتاً بزرگ باشد. اگر پنجاه درصد جامعه 1000 نفری از رای دهندگان کاندیدای A را ترجیح به دهند، آن گاه احتمال موافق بودن اولین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی  خواهد بود. احتمال موافق بودن دومین مصاحبه شونده به کاندیدای A مساوی  یا  خواهد بود که بستگی دارد به اینکه آیا اولین مصاحبه شونده موافق بوده یا مخالف آن. هر دو عدد نزدیک به   هستند، در عمل برای سومین، چهارمین و nامین انتخاب هم همین طور است در صورتی که n                           خیلی بزرگ باشد. اما اگر تعداد جامعه 10 و تعداد موافق کاندیداA، 5 نفر باشند، آن گاه احتمالی این که اولین رای دهنده موافق A باشد مساوی   و دومین مساوی   یا   بستگی به این که اولی موافق یا مخالف بوده است خواهد بود. بنابراین برای جوامع کوچک، احتمال موافق بودن از یک رأی دهنده به رأی دهنده دیگر (از یک امتحان به امتحان دیگر) به طور محسوس تغییر می‎کند و نتیجتاً آزمایش دو جمله‎ای نخواهد بود.

توزیع احتمالی دو جمله‎ای

توزیع دو جمله‎ای بوسیلة مقادیر n و p که پارامترهای توزیع هستند توصیف می‎شود. پارامتر هر توزیع عبارت است از یک مشخصة جامعه. در توزیع دو جمله‎ای پارامتر n عبارت است «تعداد امتحانها» و p عبارت از احتمال موفقیت در هر امتحان ساده می‎باشد. برای هر n وp داده شده با توجه به فرضیات آزمایش دو جمله‎ای می‎توان احتمال هر تعداد موفقیت را حساب کرد و نیز می‎توان دیگر مشخصه‎های توزیع مثل میانگین و واریانس را هم به دست آورد.

برای نشان دادن این که چگونه توزیع احتمالی دو جمله‎ای حاصل می‎شود،‌فرایند تولید را در نظر بگیرید که یک وسیلة همانندی تولید می‎کند که به دو صورت سالم و یا ناقص دسته‎بندی می‎شود. وقتی که فرایند به طور درست کار نکند، احتمال ثابت 10/0=p وجود دارد که کالا ناقص تولید شود. تعداد ناقص‎ها هر مقداری از 0 تا تعداد آزمودنی (n) می‎تواند باشد. برای مثال، ممکن است سئوال شود، «احتمال این که در یک نمونة تصادفی چهارتایی یک نتیجة ناقص باشد چقدر است؟ یا احتمال این که دو یا بیشتر در یک نمونة تصادفی چهارتایی ناقص وجود داشته باشد چقدر است؟ کلمة تصادفی معادل مستقل بودن در تعریف آزمون دو جمله‎ای است.

برای محاسبة احتمالات در آزمایش دو جمله‎ای می‎توانیم از قوانین ضرب احتمال استفاده کنیم. مانند

(یک رویداد) p(تعداد رویدادهای مربوط)=(پیشامد)p

در یک مسئله دو جمله‎ای، علاقمند به محاسبة احتمال دقیقاً x موفقیت در n  تکرار امتحان برنولی هستیم، که هر امتحان دارای احتمال موفقی p است. به این معنی که ما x موفقیت و n-x عدم موفقیت داریم. برای محاسبه چنین احتمالهایی، لازم است که احتمال یک رویداد از این وع را پیدا کنیم، آن گاه آن را در تعداد ممکن چنین رویدادهایی ضرب کنیم. چون فرقی ندارد کدام رویداد را ابتدا بررسی کنیم، فرضی کنید به طور اختیاری این رویداد را بررسی کنیم که در آن x موفقیت ابتدا رخ دهد، ادامه پیدا کند یا n-x (عدم موفقیت). فرض کنید موفقیت S= و عدم موفقیت F= باشد، بنابراین این رویداد ویژه به صورت زیر مرتب نمود.

SS…S  FF…F

n-x عدم موفقیت        x موفقیت

برای تعیین احتمال توأم چنین دنبالة ویژه‎ای از موفقیت‎ها و عدم موفقیت‎ها، توجه کنید که امتحانها فرض می‎شوند که از هم مستقل هستند. چون احتمال یک موفقیت p(S)=p و p(F)=q است، بنابراین داریم.

P(SS…S  FF…F)=p(S)p(S)…p(S)p(F)p(F)…p(F)

=(p)(p)…(P)(q)(q)..(q)

می‎توان نشان داد که  نشان دهندة احتمال هر دنباله‎ای است که در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت وجود دارد. بنابراین کافی است بدانیم چند رخ داد متفاوتی وجود دارد که در آن x موفقیت و n-x عدم موفقیت داشته باشیم. جواب عبارت است از تعداد ترکیب‎های x از n می‎دانیم این تعداد عبارت از

بنابراین حاصلضرب  در  احتمال x موفقیت در n امتحان را با احتمال ثابت موفقیت (p) به صورت زیر به دست می‎دهد.

(6-1) (x موفقیت در n امتحان)p

این توزیع را توزیع دو جمله‎ای گویند. اگر متغیر تصادفی X دارای توزیع دو جمله‎ای با پارامترهای n و p باشد معمولاً آن را به صورت زیر می‎نویسند.

مثال 6-1 اگر کسر ناقصی تولید یک کالا مساوی 1/0=p باشد، در یک نمونة تصادفی چهارتایی از این کالاها توزیع احتمالی تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.

حل: یک کالای انتخاب دو صورت خواهد داشت یا سالم است و یا ناقص. احتمال این که یک کالای انتخاب ناقص باشد مساوی 1/0=p کالاهای انتخابی از همدیگر مستقل هستند بنابراین تعداد کالاهای خراب در نمونه دارای توزیع دو جمله‎ای است. بنابراین توزیع احتمالی تعداد کالاهای خراب طبق جدول 6-1 خواهد بود.

جدول 6-1: توزیع دو جمله با 4=n و 1/0=p

جمع	4	3	2	1	0	Xتعداد کالاهای خراب
1	0001/0	0036/0	0486/0	2916/0	6561/0	P(x)

که در آن احتمال این که دقیقاً (1=x) کالای خراب در نمونة چهارتایی (4=n) وقتی که 1/0=p باشد، داشته باشیم به صورت زیر حساب می‎شود

با استفاده از جدول 6-1 به سادگی می‎توان احتمال این که تعداد خراب‎ها کمتر یا مساوی 2 باشد را حساب کرد.

مثال 6-2 به منظور عیب یابی در تولید یک نوع کالا که به مقدار زیاد توسط ماشین در کارخانه تولید می‎شود، با استفاده از طرح نمونه‎گیری، کالای تولیدی بازرسی می‎شود. ده قلم کالا به طور تصادفی انتخاب و مورد آزمایش قرار می‎گیرند. چنانچه دو یا بیشتر کالای ناقص مشاهده شود، کالای تولیدی رد می‎شود. اگر کل کالای تولیدی دقیقاً 5 درصد ناقص داشته باشد، احتمال این که کالا پذیرفته شود چقدر است؟ احتمال این که کالا رد شود چقدر است؟

حل: با توجه به شرایط یک آزمایش دو جمله‎ای، مشاهده می‎شود که تعداد کالاهای ناقص در نمونه، x دارای توزیع دو جمله‎ای زیر است.

در صورتی کالا پذیرفته می‎شود که در نمونه یا خراب مشاهده نشود و یا یکی مشاهده شود بنابراین

آن گاه، احتمال رد کالا عبارت خواهد بود از

مثال 6-3 یک واکسن جدید جلوگیری از سرماخوردگی برای تعیین اثر جلوگیری آن در سرماخوردگی عمومی مورد آزمایش قرار گرفته است. برای این کار به ده نفر واکسن تزریق کرده و بعد از مدت یکسال مشاهده شده که هشت نفر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کرده‎اند.

فرض کنید وقتی که واکسن استفاده نشود، احتمال اینکه یک نفر بدون سرماخوردگی زمستان را سپری کند مساوی 5/0 باشد. احتمال اینکه هشت نفر یا بیشتر زمستان را بدون سرماخوردگی سپری کنند بشرطی که واکسن در افزایش مقاومت بدن در برابر سرماخوردگی موثر نباشد چقدر است؟

حل: فرض کنید در صورتی که واکسن مؤثر نباشد، احتمال اینکه یک نفر زمستان را بدون سرماخوردگی طی کند مساوی 5/0=p است. توزیع احتمالی برای x، تعداد سرما نخوره‎ها عبارت است از:

مثالهای 6-1، 6-2 و 6-3 موارد استفادة توزیع دو جمله‎ای و محاسبة احتمال x موفقیت در n امتحان را با توجه به تعریف آزمایش دو جمله‎ای روشن می‎ساند.

البته نکتة مهم این است که برای هر عمل فیزیکی بایستی دقیقاً مشخصه‎های آزمایش دو جمله‎ای بخش 6-2 برای تعیین اینکه آیا مدل آزمایش دو جمله‎ای برای عمل مورد نظر معتبر است تطبیق داده شود.

توجه می‎کنید که مثالهای فوق مسائلی احتمالی بودند تا آماری. احتمال موفقیت در یک امتحان ساده معلوم است و ما می‎خواهیم در n امتحان احتمال پیشامدهای عددی معینی را حساب کنیم. حال روش را بر عکس در نظر می‎گیریم، به این معنی که فرض می‎کنیم یک نمونه از جامعه داریم و می‎خواهیم راجع به p استنباط بکنیم. شکل فیزیکی مثالهای 6-2 و 6-3 در صورتی که هدف نهایی استنباط آماری باشد وضعیت عملی خوبی به دست می‎دهد از این دو مسئله در بخش‎های آتی در استنباط آماری استفاده خواهیم کرد.

تمرین 6-1 اطلاعات قبلی نشان می‎دهد که 30درصد تمام بیمارانی که در یک کلینیک پذیرش می‎شوند نمی‎توانند هزینة خود را پرداخت کنند. فرض کنید 4=n بیمار جدید نشان دهندة یک نمونة جدید از جامعة بیمارانی باشند که توسط کلینیک تحت مداوا قرار می‎گیرند. احتمال اینکه

الف) هیچکدام از بیماران هزینه را پرداخت نکنند.

ب) یک نفر از بیماران هزینه را پرداخت نکند.

ج) تمام بیماران هزینه را پرداخت کنند.

احتمال اینکه تیراندازی در هر شلیک تیر به هدف بزند مساوی 8/0 است. او چهار تیر به هدف شلیک می‎کند، پیدا کنید.

الف) دقیقاً دو تیر به هدف بزند.

ب)لااقل یک تیر به هدف بزند.

ج)چهار تیر به هدف اصابت نماید.

6-3 یک روش جدید جراحی 80درصد با موفقیت انجام می‎شود. اگر عمل جراحی پنج مرتبه انجام شود و فرض کنیم که عملاً از یکدیگر مستقل باشند پیدا کنید.

الف) احتمال اینکه هر پنج عمل با موفقیت انجام شوند چقدر است؟

ب) احتمالی اینکه کمتر از دو عمل به موفقیت بیانجامد چقدر است؟

ج) فقط چهار عمل با موفقیت انجام شود چقدر است؟

6-4 به تمرین 6-3 مراجعه نمائید، اگر کمتر از دو عمل با موفقیت همراه بودند در بارة تیم عمل جراحی چه نظری داشتید؟

6-5 به تمرین 6-3 مراجعه کنید، اگر x تعداد موفقیت‎ها در عمل‎های جراحی باشد، توزیع احتمالی آن را رسم نمائید.

6-4-میانگین و واریانس توزیع دو جمله‎ای

می‎دانیم که توزیع دو جمله‎ای بوسیلة پارامترهای n و P مشخص می‎‏شوند. از طرفی هر توزیعی دارای مشخصه‎هایی است مثل میانگین و واریانس. بنابراین ممکن است در توزیع دو جمله‎ای، میانگین و واریانس را نیز بر حسب n وp بدست آورد.

می‎توان با استفاده از قضایای مربوط به جمع و با استفاده از مهارت در جابجایی جبری، میانگین و واریانس متغیر تصادفی x که دارای توزیع دو جمله‎ای با پارامتر pو n است را مستقیماً حساب نمود در اینجا سعی می‎کنیم این ویژگی‎های توزیع را با استفاده از مثالهای ساده حساب کرده و آن گاه در حالت کلی تعمیم دهیم. برای n=1، توزیع احتمالی x عبارت از

1	0	X
P	Q	P(x)

با توجه به تعریف امید ریاضی، داریم

و برای 2=n، توزیع احتمالی عبارت است از

2	1	0	X
2p	Pq2	2q	P(x)

برای 3=n با توجه به توزیع احتمالی x داریم

می‎توان حدس زد که نتیجه در حالت کلی نیز برقرار است. در واقع می‎توان با استفاده از قضایای ریاضی نشان داد که امید رضای x در توزیع دو جمله‎ای با n امتحان با پارامتر p، برابر است با

به همین طریق می‎توان واریانس x را برای 2و1=n امتحان به دست آورد. برای 1=n

برای 2=n

با جایگذاری q=1-p، خواهیم داشت

به سادگی می‎توان نشان داد که برای 3=n، واریانس مساوی pq3 است. در حالت کلی برای n امتحان و با پارامتر p، می‎توان استنباط نمود که واریانس و انحراف معیار برابر است با

و

مثال 6-4 در یک فرایند تولید که کالای همانندی تولید می‎شود، 10% کالاهای تولیدی ناقص هستند در انتخاب 20 نمونه تصادفی کالا از این فرایند، میانگین و واریانس و انحراف معیار تعداد کالاهای ناقص را حساب کنید.

حل: فرض می‎کنیم مقدار کالاهای ناقص در نمونه باشد =x

واضح است که

بنابراین،

تمرین

6-6 به تمرین 6-1 مراجعه نمائید، می‎دانیم که 30 درصد بیماران پذیرش شده قادر به پرداخت هزینة بیمارستان نیستند. اگر در طول زمان یکسال 2000 نفر در بیمارستان معالجه گردند حساب کنید.

الف) میانگین افرادی که قادر به پرداخت صورتحساب بیمارستان نیستند چیست؟

ب) واریانس و انحراف معیار این تعداد را حساب کنید.

6-7 یک آزمون دارای 15 سوال است که هر سوال دارای چهار جواب احتمالی بوده که فقط یکی از آنها درست است. شخصی به طور شانسی علامت می‎زند، مطلوبست محاسبة

الف) میانگین تعداد جوابهای درست

ب) احتمال اینکه به 8 تا 10 سوال جواب درست به دهد چقدر است؟

6-8اگر متغیر تصادفی x دارای توزیع دو جمله‎ای با میانگین 5/2 و واریانس 25/1 باشد را محاسبه کنید.

6-9 فرض کنید کاندیدای سیاسی دارای دقیقاً 50درصد آرای عمومی باشد.

الف) اگر 10000رأی را به عنوان نمونه تصادفی از جامعة رای دهندگان در نظر بگیریم، امید ریاضی x، تعداد رأی دهندگان به کاندیدای مورد نظر چقدر است؟

ب) انحراف معیار x را پیدا کنید.

ج) فرض کنید 4700=x باشد، آیا این مقدار x با احتمال مورد نظر قابل قبول است؟ نتیجة مشاهده را چگونه می‎توان شرح داد؟

 محاسبة احتمال در توزیع دو جمله‎ای

با استفاده از جدول

محاسبة احتمالهای دو جمله‎ای وقتی nبزرگ باشد کار خسته کننده‎ای است. جداول بسیاری برای توزیع دو جمله‎ای تهیه شده و نشان بر اهمیت کاربردی این توزیع دارد.

یکی از این جدولها در ضمیمه «جدول 1» آمده است. در این جدول مجموع احتمالهای دو جملهی از 0=x تا a=x برای اندازه‎های مختلف nو p آمده است. برای نشان دادن چگونگی استفاده از جدول فرض کنید در توزیع دو جمله‎ای با 10=n و4/0=p بخواهیم جمع احتمالهای از 0=x تا 5=x را حساب کنیم. می‎دانیم این احتمال برابر است با

که در آن

834/0 مشاهده می‎شود بنابراین داریم،

و نتیجتاً

مثال 6-5 فرش کنید (4/0و20)x»B باشد، احتمالهای زیر را با استفاده از جدول حساب کنید.

الف)

ب)

حل: الف)

ب)

با استفاده از بستة نرم افزار MINITAB می‎توان هم احتمال تجمعی و اهم احتمال انفرادی را به دست آورد. احتمالهای دو جمله‎ای انفرادی مربوط به مقدار x برای هر ترکیب n و p را می‎توان با دستور PDF و ادامره با (;) (سمیکلن) و آن گاه با زیر دستور BINOMIAL N P یافت. واضح است که N اندازة نمونه و p احتمال موفقیت در هر آزمایش است. احتمالهای تجمعی دو جمله‎ای را می‎توان با استفاده از دستور CDF، ادامه با (;)  و آن گاه زیر دستور BINOMIAL N P مشاهده نمود. خروجی MINITAB برای هر دو دستور PDFو CDF وقتی 10=n و 5/0=p باشد در جدول 6-2 داده شده است. دستور PDF، احتمال انفرادی p(x=k) و دستور CDF احتمالهای p(x£k) را به دست می‎دهند.

جدول 6-2 احتمالهای دو جمله‎ای خروجی MINITAB برای 10=n و 5/0=p

خروجی MINITAB ممکن است تمام احتمالهای مقادیر برای ترکیبات مختلف را به دست ندهد. زیرا دارای کنترل خارجی است در صورتی که باشد و یا معادل آن  با در نظر گرفتن دقت لازم، محاسبه متوقف می‎شود.

مثال 6-6 میانگین و انحراف معیار متغیر تصادفی که دارای توزیع احتمالی دو جمله‎ای با 10=n و 0/5=p را حساب کنید. احتمال اینکه x در فاصلة بیفتد چقدر است؟

حل: میانگین و انحراف معیار برابر است با

بنابراین فاصلة  برابر است با

یا فاصله از 8/1 تا 2/8 شامل 2و3و… 8 است. بنابراین

نتیجة حاص تقریباً با قانون تجربی مطابقت دارد.

کاربردهای توزیع دو جمله‎ای

کنترل کیفیت

یکی از مشخصات کلی تولید انبوه این است که تمامی اقلامی که از خط تولید بیرون می‎آیند با استانداردهای تعیین شده مطابقت نمی‎کنند. این اقلام را اقلام «ناقص» می‎نامند. در واحد کنترل کیفیت سعی می‎شود عواملی را که باعث تولید کالای ناقص می‎شوند را شناسایی نمایند. حتی با بازرسی مداوم و کامل نیز ممکن است کالای ناقص تولید شود. بنابراین کالای تولیدی یا ناقص (موفقیت) و یا سالم می‎باشد و اقلام متوالی که از خط تولید به دست می‎آیند، مانند آزمایش‎های دو جمله‎ای عمل می‎کنند. در صورتی که احتمال تولید کالای معیوب خیلی کم باشد، گفته می‎شود که فرایند تولید «در حالت کنترل آماری» است.

دانستن اینکه آیا فرآیند تولید در کنترل آماری است مهم است و با بازرسی منظم و کامل می‎توان بامر اینکه آیا روند تولید در کنترل آماری است واقف شد. اما بازرسی کامل مشکلاتی دارد که همیشه انجام آن مقدور نیست. به عنوان مثال هزینه و وقت زیادی باید صرف نمود که از نظر اقتصادی مقرون به صرفه نیست و مشکل دیگر اینکه اصولاً برخی از آزمایشها ماهیت تخریبی دارند. مثلاً آزمایش کردن یک لامپ فلاش عکاسی برای تعیین مقدار نور تولیدی، باعث سوختن لامپ شده و اگر همة لامپ‎ها به این روش آزمایش شوند، تولید کننده لامپی برای فروش نخواهد داشت.

نوع دیگر بازرسی که نسبت به بازرسی کامل ارزان و نیز وقت گیر نمی‎باشد، عبارت است از بکارگیری یک. «طرح نمونه‎گیری» که در آن یک نمونه تصادفی به اندازة n از تولید انبوه انتخاب و هرکدام از کالاها را بازرسی نموده و تعداد x ناقص ثبت می‎گردد. اگر x کمتر یا مساوی یک عدد قبولی معین a باشد، تولید انبوه پذیرفته می‎شود. اگر x از a  بیشتر باشد، کل تولید رد می‎شود. فرض کنید که یک تولید کننده طرح نمونه‎گیری با 10=n و 1=a را بکار می‎برد. اگر تولید انبوه 5درصد ناقصی داشته باشد، احتمال پذیرش کالا چقدر است؟ رد چقدر؟ فرض کنید اقلام متوالی انتخاب شده مستقل باشند.

حل: فرض کنید x تعداد ناقص‎های مشاهده شده باشد. با توجه به شرایط آزمایش دو جمله‎ای، واضح است که x دارای توزیع دو جمله‎ای با 10=n و 05/0=pاست. و

ملاحظه می‎شود که این طرح نمونه‎گیری روشی است کاملاً کاربردی و استنباطی در مورد کل جامعة اقلام تولیدی (تولید انبوه). اگر تولید انبوه رد شود چنین استنباط می‎شود که کسر ناقص p، بیش از اندازة بزرگ است. اگر تولید انبوه کالا پذیرفته شود چنین استنباط می‎شود که، p کوچک است و فرایند تولید قابل قبول است.

توجه نمائید که از نظر کاربردی عملی، p احتمال ناقص بودن کالا در تولید انبوه معمولاً‌ معلوم نیست. می‎توان این کسر ناقصی را در حالتی که فرایند تولید به مدت طولانی در حالت کنترل آماری است به دست آورد. البته برای مقادیر مختلف کسر ناقصی p، می‎توان احتمال پذیرش را به صورت یک نمودار به نام منحنی پذیرش کالا و یا منحنی مشخصه عمل کنندة طرح نمونه‎گیری نشان داد. یک نمونه از منحنی ویژه پذیرش در شکل (6-1) نشان داده شده است. یک طرح رضایت بخش نمونه‎گیری پذیرش انبوه کالا آن است که احتمال پذیرش توده کالا با درصد خرابی کم زیاد بوده و احتمال پذیرش تولید انبوه با درصد خرابی زیاد کم باشد. احتمال پذیرش همیشه با افزایش درصد خرابی کاهش می‎یابد، نتیجه‎ای که با شهود ما مطابقت دارد.

مثال 6-7 احتمال پذیرش انبوه کالا را برای طرح نمونه‎گیری با اندازة نمونه 5=n و عدد قبولی 0=a و درصد خرابیهای 1/0=p، 3/0=p و 5/0=p حساب کنید. منحنی ویژه پذیرش طرح نمونه‎گیری را رسم نمائید.

حل: تولید انبوه پذیرفته می‎شود اگر 5=n کالا نمونه گرفته شود و 0=a کالا ناقص مشاهده شود.

منحنی پذیرش را می‎توان با استفاده از سه نقطه به دست آمده در محاسبات بالا رسم نمود. به علاوه می‎دانیم که احتمال پذیرش وقتی که 0=p است مساوی 1 و مساوی صفر است اگر 1=p می‎باشد. منحنی طرح پذیرش کالا در شکل (6-1) رسم شده است.

پذیرش نمونه‎ای که به طریق معقولی عمل می‎کند، یک مثال از استنباط آماری است زیرا روش دلالت بر تصمیم مربوط به کسر ناقصی p در تولید انبوه دارد. اگر تولید انبوه را پذیرفتید، این دلالت بر این دارد که کسر ناقصی p نسبتاً مقدار پذیرفتنی گوچکی است. اگر رد بکنید، واضح است که فکر می‎کنید p خیلی بزرگ است. نتیجتاً، روش پذیرش تولید انبوه به روش نمونه‎ای عبارت است از یک روش تصمیم‎گیری مربوط به کسر ناقصی در کل تولید.

شکل 6-1: منحنی طرح پذیرش کالا 5=n و 0=a

اندازة آزمایش:

از تجربیات گذشته معلوم شده است که به طور متوسط تقریباً 20درصد جوانانی که در آزمایش معینی مورد استفاده قرار می‎گیرند بیش از پایان آزمایش می‎میرند. اگر بخواهیم با احتمال حداقل 98/0 با حداقل 5 حیوان آزمایش را کامل کنیم با چند حیوان باید شروع کنیم؟

حل: اگر B تعداد حیوانات زنده باقیمانده را مشابه تعداد موفقیتها در n تکرار آزمایش دو جمله‎ای با احتمال 8/0=p بدانیم، می‎خواهیم کوچکترین nی را طوری بیابیم که 98/0=(5B³)p باشد. ابتدا با 7=n آزمایش را شروع می‎کنیم. احتمال اینکه 5 یا بیشتر موفقیت در 7=n آزمایش دو جمله‎ای با 8/0=p داشته باشیم چقدر است؟

خواهیم داشت:

بنابراین هفت حیوان کافی نیست. محاسبات مشابهی نشان می‎دهند که احمتال زنده ماندن 5 یا بیش از 5 حیوان بازای 8=n برابر است با 9437/0 است و همین احتمال اگر 9=n حیوان مورد آزمایش قرار گیرند برابر است با 98/0 در نتیجه 9 حیوان کوچکترین حیوانی است که نتیجة مطلوب را تأمین می‎کند.

تمرین

6-10 در یک طرح نمونه‎گیری با اندازة نمونه 10=n و عدد قبولی 1=a بین خریدار و فروشنده توافق می‎شود. احتمال اینکه خریدار مقدار زیادی کالا را با درصد خرابیهای زیر بخرد چقدر است؟

الف) 1/0=p                 ب)3/0=p     ج)5/0=p

د)0=p            ه)1=p

6-11 منحنی ویژه پذیرش را برای طرح نمونه‎گیری تمرین 6-10 رسم نمائید.

6-12 فرض کنید که یک خط تولیدی مدتی در حالت کنترل است و در این مدت مشاهده شده که متوسط فراوانی معیوب‎ها 5درصد است. چنانچه هر روز 10 قلم کالا از تولید روزانه مورد بررسی قرار گیرد و فرض شود که تولید در حالت کنترل است، احتمال اینکه در نمونه روزانه 3 یا بیشتر کالای معیوب مشاهده شود چقدر است؟

6-13 از تجربیات گذشته معلوم شده که به طور متوسط 20 درصد دانشجویان یک رشتة تحصیلی موفق به پایان بردندوره نمی‎شوند. اگر بخواهیم با احتمال حداقل 95/0 با حداقل 10 دانشجو دورة را به پایان برسانیم، چند دانشجو در هر دوره بایستی گزینش نمائیم.

6-6آزمون فرض

بحث در بارة نظریه آزمون‎های فرض در این جا ممکن است کمی زود باشد. اما به لحاظ اینکه معرفی این مطلب موارد استفاده توزیع دو جمله‎ای را در تصمیم‎گیریهای آماری بیان می‎کند و بهعلاوه این بحث مقدماتی از آزمونهای فرض که گاهی اوقات فهم آن مشکل است، باعث می‎گردد که در یک دورة زمانی فکر دانشجو بتدریج درگیری آن بشود، لذا بهتر است معرفی گردد.

توابع

در ریاضیات ، تابعرابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه‌ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می‌کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. مفاهیم تابع ، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند.

تعریف تابع

در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولیدکند. برای مثال با فرض y=x² باورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 راخواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.

به عنوان مثال تابع f(x)=x² بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند X

در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند.

ا این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.

فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.

تاریخچه تابع

نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ لایب نیتر مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط لئونارد اویلر در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه دارد.

چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه‌ها در قرن 19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوان خروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند.

ورودی تابع

ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z

تعریف روی مجموعه‌ها

یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:

این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است

·         این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.

تعریف ساخت یافته تابع

بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy می‌باشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند.

خواص توابع

توابع می‌توانند:

·         زوج یا فرد باشند.

·         پیوسته یا ناپیوسته باشند.

·         حقیقی یا مختلط باشند.

·         اسکالر یا برداری باشند.

توابع چند متغیره

یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر و و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام در آن وجود دارد.

با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد.

تابع

در ریاضیات ، تابعرابطه‌ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه‌ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می‌کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه‌های ریاضی به حساب می‌آید. مفاهیم تابع ، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه‌ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می‌شوند.

تعریف تابع

در ریاضیات تابع عملکردی است که برای هر ورودی داده شده یک خروجی منحصر بفرد تولید می‌کند معکوس این مطلب را در تعریف تابع بکار نمی‌برند یعنی در واقع یک تابع می‌تواند برای چند ورودی متمایز خروجیهای یکسان را نیز تولیدکند. برای مثال با فرض y=x² باورودیهای 5- و 5 خروجی یکسان 25 راخواهیم داشت. در بیان ریاضی تابع رابطه‌ای است که در آن عنصر اول به عنوان ورودی و عنصر دوم به عنوان خروجی تابع جفت شده است.

به عنوان مثال تابع f(x)=x² بیان می‌کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند X

در واقع در ریاضیات رابطه را مجموعه جفتهای مراتب معرفی می‌کنند.

ا این شرط که هرگاه دو زوج با مولفه‌های اول یکسان در این رابطه موجود باشند آنگاه مولفه‌های دوم آنها نیز یکسان باشد. همچنین در این تعریف خروجی تابع را به عنوان مقدار تابع در آن نقطه می‌نامند. مفهوم تابع اساسی اکثر شاخه‌های ریاضی و علوم محاسباتی می‌باشد. همچنین در حالت کلی لزومی ندارد که ما بتوانیم فرم صریح یک تابع را به صورت جبری آلوگرافیکی و یا هر صورت دیگر نشان دهیم.

فقط کافیست این مطلب را بدانیم که برای هر ورودی تنها یک خروجی ایجاد می‌شود در چنین حالتی تابع را می‌توان به عنوان یک جعبه سیاه در نظر گرفت که برای هر ورودی یک خروجی تولید می‌کند. همچنین لزومی ندارد که ورودی یک تابع ، عدد و یا مجموعه باشد. یعنی ورودی تابع را می‌توان هر چیزی دلخواه در نظر گرفت البته با توجه به تعریف تابع و این مطلبی است که ریاضیدانان در همه جا از آن بهره می‌برند.

تاریخچه تابع

نظریه مدرن توابع ریاضی بوسیله ریاضیدان بزرگ لایب نیتر مطرح شد همچنین نمایش تابع بوسیله نمادهای (y=f(x توسط لئونارد اویلر در قرن 18 اختراع گردید، ولی نظریه ابتدایی توابع به عنوان عملکرهایی که برای هر ورودی یک خروجی تولید کند توسط جوزف فوریه بیان شد. برای مثال در آن زمان فوریه ثابت کرد که هر تابع ریاضی سری فوریه دارد.

چیزی که ریاضیدانان ما قبل اوبه چنین موردی دست نیافته بودند، البته موضوع مهمی که قابل ذکر است آنست که نظریه توابع تا قبل از بوجود آمدن نظریه مجموعه‌ها در قرن 19 پایه و اساس محکمی نداشت. بیان یک تابع اغلب برای مبتدی‌ها با کمی ابهام همراه است، مثلا برای توابع کلمه x را به عنوان ورودی و y را به عنوان خروجی در نظر می‌گیرند ولی در بعضی جاها y,x را عوض می‌کنند.

ورودی تابع

ورودی یک تابع را اغلب بوسیله x نمایش می‌دهند. ولی زمانی که ورودی تابع اعداد صحیح باشد. آنرا با x اگر زمان باشد آنرا با t ، و اگر عدد مختلط باشد آنرا با z نمایش می‌دهند. البته اینها مباحثی هستند که ریاضیدانان برای فهم اینکه تابع بر چه نوع اشیایی اثر می‌کند بکار می‌رود. واژه قدیمی آرگومان قبلا به جای ورودی بکار می‌رفت. همچنین خروجی یک تابع را اغلب با y نمایش می‌دهند در بیشتر موارد به جای f(x) , y گفته می‌شود. به جای خروجی تابع نیز کلمه مقدار تابع بکار می‌رود. خروجی تابع اغلب با y نمایش داده می‌شود. ولی به عنوان مثال زمانی که ورودی تابع اعداد مختلط باشد، خروجی آنرا با "W" نمایش می‌دهیم. (W = f(z

تعریف روی مجموعه‌ها

یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه‌ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط می‌کند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی‌تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع ، مثالهایی در زیر ذکر می‌کنیم:

این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است

·         این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد.

تعریف ساخت یافته تابع

بطور ساخت یافته یک تابع از مجموعه x به مجموعه y بصورت f:x→y نوشته می‌شود و به صورت سه تایی مرتب ( (x,y,G(f) نمایش داده می‌شود. بطوری که (G(f زیر مجموعه‌ای از حاصلضرب کارتزین xy می‌باشد. با این شرط که به ازای هر x در X یک Y متعلق به Y نسبت داد شود. با این شرط زوج مرتب (x,y) را در داخل (G(f می‌پذیریم. در این حالت نیز X را به عنوان دامنه f و y را به عنوان برد fو (G(f را به عنوان نمودار و یا گراف تابع F در نظر می‌گیرند.

خواص توابع

توابع می‌توانند:

·         زوج یا فرد باشند.

·         پیوسته یا ناپیوسته باشند.

·         حقیقی یا مختلط باشند.

·         اسکالر یا برداری باشند.

توابع چند متغیره

یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می‌کنند. از توابع چند متغیره می‌توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر و و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام در آن وجود دارد.

با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد.

توابع مثلثاتی

ارتفاع مثلث

ALTITUDE OF A  Triangle

هر ارتفاع مثلث، پاره خطی است که یک سر آن یک رأس مثلث، و سر دیگر آن، پای عمودی است که از آن رأس بر ضلع مقابل به آن رأس فرود می‎آید؛ مانند ارتفاع  هر مثلث، سه ارتفاع دارد، ،  و  که در یک نقطة مانند  به نام مرکز ارتفاعی مثلث همرسند. اندازة ارتفاعهای ،  و  را بترتیب با ،  و  نشان می‎دهند.

اصل نامساوی مثلثی

Axiom Triangle Inequality

هر گاه A، B و C سه نقطة دلخواه باشند، آن گاه . تساوی، وقتی برقرار است که سه نقطه روی یک خط راست، و نقطة B بین دو نقطة A و C باشد.

انتقال) توابع مثلثاتی

Axiom Triangle Inequality

برای محاسبة مقادیر نسبتهای مثلثاتی در ربعهای دوم، سوم و چهارم می‎توان از رابطه‎‏های زیر استفاده کرد:

توابع کسینوس و سینوس دوره‎ای، با دورة ْ360 هستند:

تابع تانژانت دوره‎ای، با دورة ْ180است:

همچنین از تبدیلهای زیر نیز می‎توان استفاده کرد:

اندازة زاویه

Measure of an angle

نسبت آن زاویه است، به زاویه‎ای که به عنوان واحد زاویه اختیار شده است.

اندازة شعاع کرة محاطی چهار وجهی منتظم

¬ چهار وجهی منتظم

اندازة شعاع کرة محیطی چهار وجهی منتظم

¬ چهار وجهی منتظم

اندازة مساحت مثلث

Area of a Triangle

برابر است با نصف حاصلضرب اندازة هر ضلع مثلث در اندازة ارتفاع نظیر آن ضلع. اگر مساحت مثلث ABC را با S نمایش دهیم، داریم:

با توجه به این که  است، داریم:

برای محاسبة مساحت مثلث از دستور  که در آن  و به دستور هرون Heron مرسوم است، نیز استفاده می‎کنند.

اندازة نیمسازهای زاویه‎های برونی مثلث

Measure of external angle bisectors of triangle

تصفیه: در هر مثلث، مربع اندازة نیمساز هر زاویة برونی، برابر است با حاصلضرب اندازه‎های دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید می‎آورد، منهای حاصلضرب اندازه‎های دو ضلع آن زاویه.

یعنی اگر در مثلث ABC AD¢نیمساز زاویة برونی A باشد داریم:

اگر اندازة نیمسازهای زاویه‎ای برونی A، B و C از مثلث ABC را بترتیب با ، d¢_a و d¢_b و d¢_c محیط مثلث را با ‍P2 نشان دهیم، داریم:

 

 

 

اندازة نیمسازهای زاویه‎های برونی مثلث

Measure of internal angle bisectors of triangle

قضیه: در هر مثلث، مربع اندازة نیمساز هر زاویة درونی برابر است با حاصلضرب اندازة دو ضلع آن زاویه، منهای حاصلضرب دو پاره خطی که آن نیمساز بر ضلع سوم پدید می‎آورد. یعنی اگر AD نیمساز زاویة درونی A از مثلث ABC باشد، داریم:

اگر اندازة نیمسازهای زاویه‎های درونی A، B و C از مثلث ABC به ضلعهای BC=a ,AC=b و AB=c را بترتیب d_a، d_b و d_c بنامیم، داریم:

تابع تانژانت

Tangent function

این تابع به صورت ‎tgx = yمی‎باشد. دورة تناوب آن p است. کافی است نمودار تابع را در فاصلة  رسم کنیم. برای رسم نمودار در فاصلة  منحنی را در امتداد xها به اندازة p در سمت راست xها انتقال می‎دهیم؛ چون  می‎باشد، منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارند و در  دارای مجانب است.

تابع سینوس

Sine function

این تابع به صورت y=sin x می‎باشد. دورة تناوب آن 2p است. کافی است نمودار تابع را در فاصلة  رسم کنیم و برای رسم منحنی در فاصلة  منحنی را در امتداد xها به اندازة 2p در سمت راست xها انتقال می‎دهیم. و برای رسم منحنی در فاصلة   منحنی را به اندازة 2p در سمت چپ xها انتقال می‎دهیم. تابع روی  در  ماکزیمم نسبی و در  می‎نیمم نسبی و در x=p دارای عطف می‎باشد.

تابع کتانژانت

Cotangent function

این تابع به صورت y=cotg x می‎باشد. دورة تناوب آن p است. کافی است نمودار را در فاصلة  رسم کنیم. برای رسم نمودار در فاصلة  منحنی را در امتداد xها به اندازة p در سمت راست xها انتقال می‎دهیم؛ چون  می‎‏باشد. منحنی تابع اکسترمم نسبی ندارد و در  و  دارای مجانب و در  عطف دارد.

تابع کسینوس

Cosine function

این تابع به صورت y=socx می‎باشد. دورة تناوب آن 2p است. کافی است نمودار را در فاصله  رسم نماییم و برای رسم منحنی در فاصلة  منحنی را به اندازة  در سمت چپ xها انتقال می‎دهیم.

تابع روی  در  می‎نیمم نسبی و در  و  دارای عطف می‎باشد.

تابع مثلثاتی

Trigonometric function

تابعهایی که ضابطة آنها به کمک نسبتهای مثلثاتی تعریف شده باشد.

هر یک از تابعهای زیر مثلثاتی است:

توابع مثلثاتی

()

توابع f(x)= sin x و g(x)=cos x و h(x) tgx و j(x)=cotg x یا ترکیبی از آنها را توابع مثلثاتی نامند. مثلاً  تابع مثلثاتی می‎باشد.

مثال 1: دامنة تابع گنگ مثلثاتی  روی  کدام است؟

مثال 2: برد تابع  برابر است با:

مثال 3: برد تابع  کدام است؟

 

مثال 4: مطلوب است نمودار  در یک دورة تناوب

توابع معکوس مثلثاتی

Inverse trigonometric functions

1.تابع با ضابطة  در فاصله  یک به یک بوده و دارای معکوسی به صورت یاو نمودار آن و مشتق آن  می‎باشد.

2.تابع با ضابطة  به ازاء ، تابع یک به یک بوده، معکوس آن وجود داشته به صورت  یا  و نمودار آن و مشتق آن به صورت  می‎باشد.

3. تابع با ضابطة  به ازاء  تابع یک به یک بوده و معکوس آن به صورت  یا x=tg y و نمودار آن و مشتق آن  می‎باشد.

4. تابع با ضابطة y=cotg x به ازاء  یک به یک بوده و معکوس آن به صورت  یا  و نمودار آن و مشتق آن  می‎باشد.

حالتهای تشابه دو مثلث

1.اگر دو زاویه از یک مثلث، با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند.

2.اگر یک زاویه از یک مثلث، با یک زاویه از مثلث دیگر برابر، و ضلعهای مجاور به این زاویه در دو مثلث نظیر به نظیر متناسب باشند.

3.اگر سه ضلع از یک مثلث، با سه ضلع نظیر آنها از مثلث دیگر متناسب باشند.

حالتهای همنهشتی دو مثلث

States of congruent triangles

دو مثلث در یکی از سه حالت زیر همنهشت خواهند بود:

حالت اول. هر گاه دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلثی، با دو زاویه و ضلع بین آنها از مثلث دیگر، نظیر به نظیر مساوی باشند.

به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و و و این دو مثلث همنهشتند.

حالت دوم. اگر دو ضلع و زاویة بین آنها از مثلثی، با دو ضلع و زاویة بین آنها از مثلثی دیگر، نظیر به نظیر برابر باشند.

به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و AC=DF,AB=DE,DEF و  این دو مثلث همنهشتند.

حالت سوم. هرگاه سه ضلع از مثلثی، نظیر به نظیر با سع ضلع از مثلثی دیگر، مساوی باشند.

به عنوان مثال، اگر در دو مثلث ABC و BC=EF,AB=DE,DEF و AC=DF باشد، دو مثلث ABC و DEF همنهشتند.

حد توابع سادة مثلثاتی

 حد و  حد

 حد  حد ()

این حدود نشان می‎دهند تابع  و  در هر نقطه پیوسته و تابع f(x)=tg x روی فاصلة () پیوسته و تابع f(x)=cotg x روی فاصله () پیوسته است.

مثال: مطلوب است () حد، با استفاده از قضایای حدود داریم:

حد

خطهای همرس در مثلث

Concurrent lines in a triangle

1.سه عمود منصف ضلعها،

2.سه نیمساز زاویه‎های درونی،

3.نیمسازهای دو زاویة برونی با نیمساز زاویة درونی سوم،

4.سه ارتفاع،

5.سه میانه.

دایره‎های محاطی برونی مثلث

Excircles

دایره‎هایی هستند که بر یک ضلع و امتداد دو ضلع دیگر مثلث مماسند. مرکز این دایره‎ها، نقطه‎های برخورد نیمسازهای دو زاویه خارجی و نمیساز زاویة درونی سوم است. هر مثلث سه دایرة محاطی برونی دارد. شکل صفحه بعد، دایرة محاطی برونی مثلث، مماس بر ضلع BC را نشان می‎دهد.

دایرة مثلثاتی

Reigonometric circle

دایره‎ای به شعاع واحد است که روی آن نقطه‎ای به عنوان مبدأ و جهتی به عنوان جهت مثبت حرکت، اختیار شده باشد. در حالت عمومی، انتهای سمت راست قطر افقی را به عنوان مبدأ حرکت (نقطة A) و خلاف جهت حرکت عقربه‎های ساعت را جهت مثبت اختیار می‎کنند.

دایرة محاطی داخلی مثلث

Inscribed circle

دایره‎‏ای است که بر ضلعهای مثلث مماس است. مرکز این دایره، محل برخورد نمیسازهای زاویه‎ای داخلی مثلث است.

دایرة محیطی مثلث

Circumscribed circle

دایره‎ای است که بر سه رأس مثلث می‎گذرد. مرکز آن، نقطة بر خورد عمود منصفهای ضلعهای مثلث است.

دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک

Classic trigonometric systems

برای حل دستگاه‎های مثلثاتی چند مجهولی، هیچ‎گونه قاعدة کلی که در حل تمام دستگاه‎ها بتوان از آن استفاده کرد، وجود ندارد. ولی در این مورد، برای حل دستگاه‎های چند مجهولی مثلثاتی، می‎توان دستگاه‎های دو معادلة دو مجهولی را به سه نوع کلاسیک دسته‎بندی کرد و طریقه حل هر یک را در حالت کلی بیان کرد.

1-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع اول:

برای حل این نوع دستگاه‎ها از اتحادهای تبدیل حاصل جمع به حاصل ضرب استفاده می‎کنیم. برای مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنیم:

بنابر این،‌دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‎شود:

2-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع دوم:

برای حل این نوع دستگاه‎ها،‌ از اتحادهای تبدیل حاصلضرب به حاصل جمع استفاده می‎کنیم. برا مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنی:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‎شود:

از جمع معادله‎های این دستگاه، نتیجه می‎شود:

3-دستگاه‎های مثلثاتی کلاسیک نوع سوم:

برای حل این نوع دستگاه‎های مثلثاتی، در دو طرف معادلة دوم دستگاه، به وسیلة ترکیب نسبت در صورت و تفضیل نسبت در مخرج، آن را به صورت کسری که در صورت و مخرج آن، مجموع و تفاضل دو نسبت مثلثاتی همنام است، تبدیل می‎کنیم و پس از تبدیل صورت و مخرج کسر به حاصل ضرب، با استفااده از  مقدار  را تعیین نموده و از آن جا مقادیر x و y از حل یک دستگاه ساده به دست می‎آیند.

برای مثال، دستگاه زیر را حل می‎کنیم:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة صفحة بعد تحویل می‎شود:

مثالی دیگر:

بنابراین، دستگاه کلاسیک، به دستگاه سادة زیر تحویل می‎شود:

تاریخچه ی ریاضی

لگاریتم:

همچنانکه امروزه می دانیم قدرت لگاریتم به عنوان یک ابزار محاسباتی در این حقیقت نهفته است که ضرب و تقسیم به کمک آن به اعمال ساده تر جمع و تفریق تحویل می شوند.

نشانه ای از این ایده در فرمول  که در زمان نپر کاملاً شناخته شده بوده پیدا شد و کاملاً محتمل است که خط فکری نپر با این فرمول شروع شده است چه در غیر این صورت تعیین محدود کردن لگاریتمها به لگاریتم سینوس زوایا توسط وی مشکل است. نپر حداقل به مدت 20 سال بر روی نظریة خودکار کار کرد و منشاء اندیشة هر چه باشد، تعریف نهایی او از لگاریتم چنین است پاره خطی مانند AB و نیمه خطی مانند DE، به صورتی که در شکل 1 نشان داده شده در نظر بگیرید.

فرض کنید که نقاط F,C همزمان بترتیب از نقاط B,A در امتداد این خطوط با سرعت ادامة واحدی شروع به حرکت نمایند. فرض کنید C با سرعتی که از نظر عدد برابر با فاصلة CB است حرکت کند و سرعت حرکت F یکنواخت باشد در این صورت نپر DF را به عنوان لگاریتم CB تعریف می کند یعنی، با قراردادن CB=y , DF=x.

 

شکل 1

X=Naplogy

برای احتراز از مزاحمت کسرها نپر طول AB را به  اختیار کرد زیرا بهترین جداول سینوسی که در دسترس وی بود تا هفت رقم اعشار بسط پیدا می کردند. از تعریف نپر و از طریق استفاده از معلوماتی که در دسترس نپر نبود چنین نتیجه می شود که

لذا این بیان مکرر گفته شده که لگاریتمهای نپری لگاریتم های طبیعی هستند در واقع بی اساس است. مشاهده می شود که لگاریتم نپری با افزایش عدد، کاهش می یابد. بر خلاف آنچه در مورد لگاریتم های طبیعی اتفاق می افتد بعلاوه آشکار می شود که، در دوره های مساوی متوالی از زمان، y مطابق یک تصاعد هندسی کاهش پیدا می کند در حالی که x مطابق یک تصاعد حسابی افزایش می یابد.

بنابراین، اصل بینانی دستگاه لگاریتم ها یعنی ارتباط بن یک تصاعد هندسی و یک تصاعد حسابی را داریم حال، برای مثال نتیجه می شود که اگر آنگاه:

Naploga –Naplogb=Naplogc-Naplgd

که یکی از نتایج متعددی است که به وسیله ی نپر برقرار شده است.

نپر بحث خود درباری لگاریتم ها را رد 1413 در رساله ای تحت عنوان شرح قانون شگف انگیز لگاریتم ها منتشر کرد. این اثر حاوی جدولی است که لگاریتم سینوس زوایا را برای دقیقه های متوالی یک کمان می دهد رساله شرح علاقه فوری و گسترده ای را بر انگیخت و در سال بعد از انتشار آن هنری بریگز (1561-1631) استاده هندسه در کالج گرشام در لندن و بعداً استاد در آکسفورد به ادینبورو سفر کرد تا مراتب احترام خود را به مخترع کبیر لگاریتم ها ادامه کند. در ضمن این ملاقات بود که نپر و بریگنیر به این توافق رسیدند که جداوال در چنان تبدیل که لگاریتم 1 ماه و لگاریتم 10 هر توان مناسبی از 10 می شود مفیدتر خواهد بود بدین ترتیب لگاریتم امروزی بریگزی یا متعارفی تکوین یافت این گونه لگاریتم ها، که اساساً لگاریتم های در مبنای 10 می باشند کارآیی برتر خود را در محاسبات عددی مرهون این حقیقت هستند که دستگاه شمار مانیز در مبنای 10 است. برای دستگاه شماری که پایه دیگری مانند  b داشته باشد، البته، به منظور محاسبات عددی مناسبتر خواهد بود که جداول لگاریتم نیز در مبنای b باشند.

بریگز همه ی توان خود را در راه ساختن جدولی بر پایة طرح جدید وقف کرد و در 1624 حساب لگاریتم خود را که شامل یک جدول 14 رقمی از اعداد از 1 تا 20000 و از 90000 تا 100000 بود منتشر کرد. مشکاف از 20000 تا 50000 بعداً به کمک آدریان ولاک (1600-1666) کتاب فروش و ناشر هلندی پر شد در 1620 ادمونه گانته (1581-1626) یکی از همکاران بریگز، یک جدول هفت رقمی از لگاریتم های متعارفی سینوس و تانژانت زوایا برای فواصل قوسی یک دقیقه منتشر نمود. گانته بود که واژه های کسینوس و کتانژانت را ابداع کرد، مهندسان وی را به خاطر «زنجیر گانته» شناختند.

بریگز و ولاک چهار جدول بنیادی لگاریتم ها را منتشر نمودند که تنها در همین اواخر وقتی، در بین 1924 و 1949 جداوال جامع 20 رقمی در انگلستان به عنوان جزئی از جشن سیصدمین سال کشف لگاریتم محاسبه شد کنار گذاشته شدند.

کلمة لگاریتم به معنی «عدد نسبت» است و توسط نپر، بعد از آنکه بدواً از اصطلاح عدد ساختگی استفاده کرد اتخاذ گردید. بریگز کلمه ی مانیتس را که کلمه لاتینی از ریشه اتروسکی است، معمول کرد که در اصل به معنی «جمع» یا «پارسنگ» بوده و در ولاک به کار افت عجیب است که در جدول اولیة لگاریتم های متعارفی رسم این بود که مانیتس را نیز مانند مفسر چاپ کنند، و از قرن هجدهم به بعد هم بود که رسم فعلی چاپ، مانتیسها به تنهایی، متداول گردید.

اختراع شگفت انگیز پز بگرمی در سرتاسر اروپا مورد استقبال واقع شد. در نجوم بویژه زبان برای چنان اکتشافی بسیار آماده بود بنابه اظهار لاپلاس، اختراع لگاریتم ها «با کوتاه کردن زحمات، عمر منجمین را دو برابر کرد» بونانتوراکاوالیری تلاش زیادی برای متداول نمودن لگاریتم ها در ایتالیا به عمل آورد. خدمت مشابهی را یوهان کپکر در آلمان و ادموند وینگبیت درفرانسه انجام دادند. وینگیبت، که سالها زیادی را در فرانسه گذارند به صورت برجسته ترین نویسنده انگلیسی کتابهای درسی در حساب مقدماتی درآمد.

تنها رقیب نپر در پیشقدمی در اختراع لگاریتم یوبت بورگی (1552-1632) ابزار ساز سویسی بود بورگی جدولی از لگاریتم های را مستقل از نپر به تصور درآورده و آنرا ساخت و نتایج کارهای خود را در 1620 شش سال بعد از اینکه نپر کشف خود را به جهانیان اعلام کرده بود منتشر نمود. گر چه هر دوی آنان ایدة لگاریتم را مدتها قبل از انتشار در ذهن پروانده بود عموماً اعتقاد بر این است که این ایده اول بار به ذهن نپر راه یافته بود. روش نپر هندسی بود در حالی که روش بورگی جبری بود امروزه لگاریتم به عنوان یک نما تلقی می شود مثلاً اگر  را لگاریتم b گوییم. از این تعریف، قوانین لگاریتم بلافاصله پیش از به کاربردن نماهات. در سال 1971 نیکاراکوئه یک سری تمبر پستی در اکرام از «ده تا از مهمترین فرمولهای ریاضی» دنیا منتشر نمود. طرح هر تمبر یک فرمول ویژه تاریخی همراه با یک تصویر است  در پشت آن گفتار کوتاهی به زبان اسپانیایی در رابطه با اهمیت این فرمول آمده است. یکی از تمبرها به کشف لگاریتم به دت نپر اختصاص داده شده است. برای دانشمندان «ریاضیدانان باید اسباب خوشحالی باشد که فرمولهای خود را در این گونه مورد بزرگداشت ببیند. زیرا این فرمولها سهمی بس بیشتر از کارهای شاهان و فرماندهان نظامی در پیشرفت بشریت داشته اند و تمبرهایی پستی اغلب سیمای اینان را در بر دارد.

سالها بود که محاسبه لگارتیم در دروس ریاضی اواخر دبیرستان یا اوایل کالج درس داده می شود و همچنین طی سالها خط کش محاسبه لگاریتمی که در قالب چرمی زیبایی از کمر آویخته می شد. نشان تشخیص دانشجویان مهندسی دانشگاه ها بود. با این حال، امروزه با ظهور ماشین حسابهای جیبی کوچک جالب و با قیمت های رو به کاهش، کسی استفاده از جدول لگاریتم یا خط کش محاسبه را در محاسبات عاقلانه نخواهد داشت. تدریس لگاریتمی به عنوان یک ریشه محاسبه از مدارس رفت بر می بندد، سازندگان مشهور خط کش ها محاسبه دقیق به قطع تولید پرداخته اند و کتابها دستیهای جداول ریاضی مهم و فکر کنار گذاشتن جداول لگاریتمی اند.

محصولات اختراع برزگ نیز بدل به اشیایی در خود موزه ها شده اند مع هذا، تابع لگاریتمی به این دلیل ساده که تغییرات لگاریتمی و نمایی مرز اجزاء حیاتی طبیعت و آنالیز است هرگز از بین نخواهد رفت در نتیجه مطالعه خواص توابع لگاریتمی و معکوس آن تابع نمایی همواره بخش مهمی از آموز ریاضی باقی خواهند ماند.

معادله های مسئله ای

الف: با استفاده از قواهد آشنای نماها، خواص مفید زیرین را برای لگاریتم ها ثابت کنید:

ب: نشان دهید که

1-  (با این فرمول می توانیم لگاریتم در پایة b را، وقتی که یک جدول لگاریتم در مبنای a در اختیار داشته باشیم، حساب کنیم.

ج: از گرفتن جذر 10، سپس چذر نتیجة بدست آمده ادامة این عمل به همین مقیاس، می توان جدول زیر را ساخت:

با این جدول می توانیم لگاریتم های طبیعی هر عدد بین 1 و 10 و بدین ترتیب با جرح و تعدیل مفسر لگاریتم هر عدد مثبت دلخواه را حساب کنیم. مثلاً فرض کنید N عدد دلخواهی بین 1 و 10 باشد. N را به بزرگترین عدد موجود در جدول که از N بزرگتر نیست، تقسیم کنید فرض کنید که مقسوم علیه و خارج قسمت N₁ باشد. در این صورت  باید به همین سوال عمل کنید و فرآیند را ادامه دهید تا

بدست آید. فرض کنید که عمل را زمانی متوقف کنیم که N_n را، کسری با پیکرهای معنی دار فقط از رقم ششم اعشاری به بعد باشد در این صورت تا پنج پیکر اعشاری داریم:

 

این شیوه به روش ریشه ها برای محاسبة لگاریتم ها موسوم است

را با این شیوه حساب می کنند.

حسابان و مفاهیم وابسته به آن

مقدمه: دیده ایم که ریاضیات جدید و دامنه دار زیادی در تحقیقات ریاضی در قرن فهدم گشوده شدند که این دوره را به صورت دورة پرباری در بسط ریاضیات درآورده اند. بی چون و چرا مهمترین دستاورد ریاضی این دوره ابلاغ حسابان در اواخر قرن توسط آیزک نیوتون و گوتفرید ویلهم لایبنتیز بود. با این ابداع ریاضیات خلاق به طور کلی به درجة پیشرفته ای می رسد و تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساً با آن پایان می یابد. فصل حاضر به رح کوتاهی از مبادی و بسط مفاهیم حسابان اختصاص می یابد، مفاهیمی که چنان کاربرد وسیعی دارندو چنان تاثیری بر دنیای جدید داشته اند که شاید گفتنش درست باشد که بدون آگاهی از آنها انسان بزحمت می تواند ادعای داشتن تحصیلات درست حسابی را داشته باشد. جالب توجه است که بر خلاف ترتیب متداول در ارائه مطاب در دروس مقدماتی دانشگاهی فعلی، که با مشتقگیری شر وع و بعدا به انتگرال گیری می پردازیم مفاهیم حساب انتگرال از لحاظ تاریخی قبل از مفاهیم حساب دیفرانسیل به وجود آمده اند. مفهوم انتگرال گیری ابتدا در نقشی که در یک فرآیند مجموعیابی در رابطه با یافتن بعضی مساحات، اجحام، و طول قوسها داشت، پدیدار شد بعدها، مشتقگیری در رابطه به مسائل مربوط به مماس به منحنیها و سوالاتی دربارة ماکزیمم و مینیمومم توابع به وجود آمد. و حتی خیلی بعد از آن بود که ارتباط انتگرال گیری با مشتقگیری به عنوان اعمال معکوس یکدیگر مورد توجه قرار گرفت.

گر چه قسمت عمده گفتار ما به قرن هفدهم مربوط می شود لازم است جهت آغاز مطلب به یونان باستان و قرن پنجم پیش از میلاد بازگردیم.

پارادوکس های زنون

آیا باید پذیرفت که کمیتی بینهایت بار تقسیم پذیر است یا اینکه این کمیت از عدة بسیار زیادی اجزای اتمی تقسیم ناپذیر تشیکل شده است؟ فرض اول به نظر بسیاری منطقی تر جلوه می کند اما مفید بودن فرض دوم پیدایش کشفیات بسیاری موجب می شودکه نامعقول بودن ظارهی آن تا حدی از بین می رود. شواهدی در دست است که در یونان باستان، مکاتب استدلال ریاضی بر مبنای هر یک از دو فرض بالا به وجود آمده است.

برخی از اشکالهای منطقی که با هر یک از دو فرض پیش می آیند به طور شگفت انگیزی در قرن پنجم ق . م به کمک چهار پارادوکس که توسط فیلسوف الیایی زنون (حدود 450 ق. م) ابداع شدند آشکار شدند این پارادوکسها که تاثیر شگرفی در ریاضیات داشتند بیان می کنند که خواه فرض کنیم که کمیتی بی نهایت بار تقسیم پذیر است یا از عدة بسیار زیادی اجزای اتمی ساخته شده است حرکت غیر ممکن است ما ماهیت این پارادوکسها را با دو  پارادوکس زیر روشن می کنیم

دیکتومی: اگر پاره خط مستقیمی بی نهایت بار تقسیم پذیر باشد آنگاه حرکت غیر ممکن است زیرا برای پیمودن طول پاره خط ابتدا لازم است که به نقطه وسط پاره خط برسیم و برای این کار لازم است تا غیر النهایه نتیجه می شود که حرکت را حتی نمی توان شروع کرد.

تیر: اگر زمان متشکل از لحظه های زیر تقسیم ناپذیر باشد آنگاه یک تیر در حال حرکت همیشه در یک جاست، زیرا در هر لحظه تیر در یک وضعیت ثابت است. چون این مطلب در مورد هر لحظه درست است نتیجه می شود که تیر اصلاً حرکت نمی کند.

توجیه های زیادی از پارادوکسهای زنون به عمل آمده است و نشان دادن این امر مشکل نیست که این پارادوکسها با این باورهای شهودی که مجموع تعداد بینهایتی از کمیت های مثبت، کمیتی بسیار بزرگ است حتی اگر هر یک از کمیت ها فوق العاده کوچک باشد  و اینکه مجموع عده ای که از کمیت های متناهی یا نامتناهی با بعد صفر است  درتضاد قرار دارند. انگیزه ی واقعی این پارادوکسها هر چه که باشد اثر آنها حذف بینهایت کوچک از هندسة برهانی یونانی بود.

روش افضای ائودوکسوس

اولین مسائلی که در تاریخ حسابان پیش می آیند، به محاسبه مساحتها احجام و طول قوسها مربوط اند و در مطالعه ی آنها به شواهدی از دو فرض قابل قسمت بدون کمیت ها که در بالا به آن اشاره کردیم، بر می خوریم. یکی از قدیمی ترین کارهای مهم در زمینه مسئله تربیع دایره کار آنتیفیون سوفسطایی (حدود 430 ق . م) است که یکی از معاصرترین سقرط بود. گفته اند که آنتیفون این فکر را قوت بخشیده است که با موالیا دو برابر کردن عدة اضلاع یک چند ضلعی چون می توان مربعی از نظر مساحت ساخت برابر با چند ضلعی مفروض ساخت در این صورت ساختن مربعی برابر با یک دایره مسیر نخواهد بود. این استدلال به دلیل اینکه اصل تقسیم پذیر بودن نامحدود کمیتها را نقص می کرد و اینکه به موجب اصل فوق در فرآیند آنتیفیون همة مساحت دایره به کار می رود بلافاصله مورد انتقاد قرار گرفت با این حال اظهار جسورانة آنییفیون نقطه روش افتای مشهور یونانیون را در بر داشت.

روش افنا معمولاً به ائودوکسوس (حدود 370 ق . م) منسوب می شود و شاید بتوان آن را پاسخ مکتب افلاطونی به پارادوکسهای زنون مصوب کرد. درا ین روش تقسیم پذیر بودن نامتناهی کمیتها پذیرفته می شود. پایة آن گزارة زیر است اگر از کمیت دلخواهی کمیتی تا کمتر از نصف آن کسر شود از باقیمانده قسمت دیگری که از نصف آن کمتر نیست برداشته شود و این عمل به همین قیاس ادامه یابد در نهایت کمیتی باقی می ماند که از هر کمیت مفروض از همان جنس کمتر خواهد بود می خواهیم روش اخنا را برای اثبات اینکه اگر  مساحت دو دایره به قطرهای  باشند آنگاه:

به کار بریم

ابتدا، به کمک گزارة اساسی فوق نشان می دهیم که تفاضل بین مساحت یک دایره و یک چند ضلعی معانی را می توان تا هر اندازه مورد نظر کوچک کرد فرض کنید AB در شکل 2 ضلعی از یک چند ضلعی منتظم محاطی باشد و فرض کنید M نقطه وسط قوس AB باشد چون مساحت مثلث AMB نصف مساحت مستطیل ARSB و بنابراین بزرگ تر نصف مساحت نقطة دایرة AMB است. نتیجه می شود که با دو برابر کردن تعداد اضلاع به قدر کافی می توانیم تفاضل مساحات بین دایره و چند ضلعی را از مساحت هر اندازه کوچک کوچکتر نماییم حال به قضیه فوق باز می گردیم و فرض می کنیم که به جای تساوی داشته باشیم

شکل 2

در این صورت می توانیم در دایرة اول چند ضلعی منتظمی معاط کنیم که تفاوت مساحت آن  با  به قدری کوچک باشد که

فرض کنید  چند ضلعی منتظمی متشابه با  ولی محاط در دایره دوم باشد در این صورت بنابر قضیه معروف دربارة چند ضلعیها متشابه:

نتیجه می شود که  یا  که غیر ممکن است، چون مساحت یک چند ضلعی منتظم نمی تواند بیشتر از مساحت دایره محیطی آن باش به طور مشابه می توانیم نشان دهیم که

غیر ممکن است در نتیجه به موجب این مراحل برهان خلف مضاعف، قضیه ثابت می شود بنابراین اگر A مساحت و d قطر یک دایره باشد داریم  که در آن k (که در واقع  است) مقداری است ثابت که برای کلیه دایره ها یکی است.

ارشمیدس مدعی بود که دموکریتوس (حدود 21 ق .م) گفته است حجم هرمی که قاعده آن چند ضلعی دلخواهی باشد یک سوم حجم منشوری با همان قاعده و ارتفاع است. در بازة دموکریتوس اطلاع کمی در دست است اما معلوم نیست که او توانسته باشد برهان دقیقی برای این قضیه ارائه نماید. چون هر منشور را می توان به صورت مجموع منشورهای که قاعدة همة آنها مثلت باشد قطعه قطعه کرد. و منشوری از این نوع را می توان به نوبة خود به سه هرم مثلث القاعده تقطیع کرد که دو به دو قاعده های معادل و ارتفاع های یکسان داشته باشند نتیجه می شود که گره مسئلة دموکرتیوس نشان دادن این امر است که دو هرم با ارتفاع های مساوی و قاعده های

معادل مجموعه‌ها برابر دارند برهانی برای آن را بعداً ائودوکسوس با استفاده از روش افنا داده است. در این قسمت دموکریتوس چگونه می توانسته به این نتیجة اخیر دست یافته باشد؟ پلوتارکلیدی در اختیار ما می گذارد ولی مواجه شدن دموکریتوس را با یک مطئله بغرنج وقتی که یک مخروط را متشکل از بی نهایت مقطع عرضی مستوی به موازات قاعده تلقی کرده نقل می گند اگر دو مقطع «مجاور» مساحت های مختلف داشته باشند جسم یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» به یک اندازه باشند یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» مساحت های مختلف داشته باشند جسم یک استوانه خواهد بود نه یک مخروط از طرف دیگر اگر دو مقطع «مجاور» به یک اندازه باشند سطح جسم مفروض به یک سلسله از پله های کوچک تقسیم خواهد شد که مطمئناً چنین چیزی در بین نیست در اینجا فرض راجع به تقسیم پذیر بودن کمیتها داریم که نت به دو فرض که قبلاً بررسی شده اند تا حدی جنبة بنیادی دارد زیرا در اینجا فرض می کنیم که حجم مخروط بینهایت بار تقسیم پذیر یعنی قابل تقسیم به بی نهایت مقطع اتمی مستوی است، اما این فرض را هم می کنیم که این مقاطع قابل شمارش اند بدین معنی که اگر یکی از آنها را در نظر بگیریم مقطعی دیگر در کنار آن قرار دارد دموکرتیوس احتمالاً چنین استدلالی کرده است که اگر دو هرم با قاعده های معادل در ارتفاعهای برابر را صفحات موازی با قاعده قطع کنند و این صفحات ارتفاعها را به یک نسبت قطع نمایندو در این صورت مقاطع مناظر تشکیل شده معادل هستند بنابراین هرم ها شامل تعدادی نامتناهی ولی متساوی از مقاطع متناظر تشیکل شده معادل هستند و بنابراین باید حجمهای برابر داشته باشند این می تواند موردی از روش تقسیم ناپذیرهای کاوالیری باشد.

اما از مردم باستان ارشمیدس بود که زیباترین کاربردهای روش افنا را عمل کرد و همه بود که به انتگرال گیری واقعی از همه نزدیکر شد به عنوان یکی از قدیمی ترین مثالها تربیع وی از یک قطعة سهمه را در نظر بگیرید. فرض کیند E,D,C نقاطی واقع به قطعة سهموی باشند (نگاه کنید به شکل 3) که از رسم NE,MP,LC به موازات از خواص هندسی سهمی ارشمیدس نشان می‌دهد که

که کاربردهای مکرر این ایده نتیجه می شود که مساحت قطعة سهموی توسط

که کاربردهای مکرر این ایده نتیجه می شود که مساحت قطعه سهموی توسط

داده می شود.

شکل 3

ما در اینجا گار با گرفتن حد مجموع یک تصاعد هندسی مختصر کرده ایم ارشمیدس ابزار برهان خلف مضاعف مربوط به روش افنا را به خدمت می گیرد.

ارشمیدس در مالعه اش از بعضی مساحتها و احجام به معادلهای عده ای از انتگرالهای معین که در کتابهای حسابان مقدماتی دیده می شود دست یافت.

روش تعادل ارشمیدس

روش افنا روش بسیار دقیق ولی بی باری است به عبارت دیگر وقیت فرمول را بداینم روش افنا می تواند بسیار وسیلة زیبایی برای اثبات آن باشد ولی این روش قابلیتی درکشف اولیه نتیجه ندارد و ازا ین احاظ روش افا بسیار شبیه به فرآیند استقراء ریاضی است سپس ارشمیدس فرمولهایی را که با آن همه خوبی به روش افنا ثابت کرده چگونه کشف کرده است؟

پرسش بلا استفاده سرانجام در 1906 با کشف نسخه ای از مقالة روش ارشمیدس که از مدتها پیش مفقود و خطاب به اراتستن نوشته شده بود توسط هالیبرگ در قسطنطنیه پاسخ داده شد.

این دست نوشته بر روی یک پالیمت سست قرار داشت. یعنی در قرن دهم بر روی کاغذپارچه ای نوشته شده بود سپس بعدها در قرن سیزدهم شسته شده و مجدداً برای نوشتن یک متن مذهبی مورد استفاده قرار گرفته بود خوشبختانه قسمت اعظم متن اولیه از زیر نوشته ی بعدی قابل احیا بود. ایدة اصلی روش ارشمیدس چنین است برای یافتن مساحت یا حجم مطلوب آن را از راه بریدن به صورت تعداد زیادی نورهای باریک مستوی موازی یا لایه های موازی باریک در اورید و این قطعه ها را (به طرز ذهنی) در یک طرف هرم مفروض چنان آویزان کنید که با شکلی که گنجایش و مرکز هندسی آن معلوم باشد در حالت تعادل قرار گیرد برای روشن کردن این روش آنها را برای یافتن فرمول حجم کرده به کار می بریم

فرض کنید r شعاع کره باشد کره را طوری قرار دهید که قطر اصلی آن در امتداد محور افقی x ها قرار گیرد و قطب شمال n در مبدا باشد (نگاه کنید به شکل 3) استوانه و مخروط دوار حاصل از دوران مستطیل NABS در مثلث NCB در طول محور xها را بسازید حال رزمه قاچ های عمودی باریک (فرض کنید که این قاچ ها استوانه های همواری هستند) به فاصلة x از N و ضخامت ببرید. حجم های این قاچ ها تقریباً عبارتند از:

: کره

 استوانه

: مخروط

قاچ های کره در مخروط را در نقطة آویزان می کنیم مجموع گشتاورهای آلفا در حول N عبارت است از

ملاحظه می کنیم که این مجموع چهار برابر گشتاور قاچ بریده شده از استوانه است وقتی که این قاچ در همانجا که هست بماند با افزودن تعداد زیادی از این قاچ ها بر هم رابطة زیر را به دست می آوریم:

[حجم استوانه]r4= [حجم مخروط + حجم کره]r2

حجم کره] r2

حجم کره

در روش گفته شده است که این طریقة ارشمیدس در کشف فرمول حجم کره بوده است ولی شعور ریاضی او به او اجازه نمی دهد که چنین روشی را به عنوان یک برهان بپذیرد و از این رو برهان دقیقی را به کم روش افنا تدارک دیده است در روش تعادل ثمر بخش بودن این فرک سست بنیاد را که یک کمیت ترکیبی از عدة زیادی اجزای اتمی تلقی شود مشاهده می کنیم نیازی به گفتن نیست که با روش امروزی حد گیری، روش تعادل ارشمیدس را می توان به صورت کاملاً دقیقی که اساسا همان انتگرال گیری امروزی است در آورد.

مقدمات انتگرال گیری در اروپای غربی

نظریة انتگرال گیری بعد از دستاوردهای قابل ملاحظه ارشمیدس تا دوران جدی چندان دنبال نشد. در حدود 1450 بود که آثار ارشمیدس از طریق ترجمة نسخه ای از نوشته هایش که در قرن نهم صورت گرفته بود و در قسطنطنیه پیدا شد به اروپای غربی رسید این ترجمه را گیومونتانوس مورد تجدید نظر قرار داد و در 1540 به چاپ رسانید چند سال بعد ترجمه ی دومی از آن منتشر شد اما تنها در اوایل قرن هفدهم است که می بینیم اندیشه های قابل مقایسه با روشهای ارشمیدس را به کار می برد مهندس فلاندری سلمیون – استوین و ریاضیدانان ایتالیایی اوکا والیریو بودند. استرین در کار خود در هیدروستانیک از چنین روشی استفاده نکرد که طی آن نیروی فشار مایع بر یک سد مستطیلی  را از راه تقسیم به نوارهای افقی باریک و سپس چرخاندن این نوارها در حول لبه های پائینی و بالایی تا آنکه اینها به موازات یک صفحة افقی درآیند پیدا کرد. این اساساً روشی است که آن را امروزه در کتابهای درسی مقدماتی در حسابان به کار می بریم.

از اولین اروپائیان جدید که ایدة بینهایت کوچک ها را در ارتباط با انتگرال گیری به کار برد باید علی الخصوص یادی از یوهان کپلر کرد. کپلر می بایست به یک روش انتگرال گیری متوسط تا مساحات مطروحه در قانون دوم حرکت سیاره ای و نیز احجام مورد بررسی در رساله اش مراجع به گنجایش بشکه های شراب پیدا کند اما کپلر نظریه دیگر هم عصران خود چندان حوصله ای برای دقت زیاد در روش افنا نداشت و بدنبال صرفه جویی در وقت و زحمت شیوه هایی را که ارشمیدس صرفاً رهگشا می نپراشت بسادگی قبلو کرد. مثلاً کپلر محیط دایره را به صورت یک چند ضلعی منظم در نظر می گرفت که دارای بینهایت ضلع است اگر هر یک از این اضلاع باید مثلثی اختیار شوند که راس آن در مرکز دایره است در این صورت مساحت دایره به تعداد بینهایتی از مثلثهای باریک تقسیم شده است که همه ارتفاع برابر با شعاع دایره دارند. چون مساحت هر یک از این مثلث های باریک برابر با نصف حاصلضرب محیط آن در شعاع آن می شود همچنین حجم یک کره متشکل از تعداد بی نهایتی از مخروط های باریکی گرفته شد که همة آنها راسی در مرکز کره دارناد نتیجه می شود که حجم کره برابر یک سوم حاصلضرب سطح جانبی آن در شعاعض می شود یا اینکه این روشها از دیدگاه دقت ریاضی قابل ایرادند و مهندسین چنین روشهایی اتمی را مرتباً در پدراختن مسائل ریاضی به کار می برند و بررسی دقیق حد را به عهدة ریاضیدانان حرفه ای می گذارد. هندسه دانان اغلب به مفاهیم مناسب نقاط متوالی و منحنیها و سطوح متوالی در خانواده های یک پارامتری از چنین نقاط منحنیها و سطوح متوسط می شوند.

روش تقسیم ناپذیری کاوالیری

بوناونتورا کاوالیری در 1598 در میلان به دنیا آمد در سنین پایین یک یسوعا شد زیر نظر گالیله درس خواند و از سال 1629 تا زمان مرگش در 1647 در دانشگاه بولونا استاد ریا      ضیات بود وی یکی از موثرترین ریاضیدانان عصر خود بود و آثار چندی در زمینه های ریاضیات اپتیک و نجوم نگاشت رواج به موقع لگاریتم در ایتالیا عمدتاً مدیون اوست. اما بزرگترین سهم او رساله ای است هندسة تقسیم ناپذیرها که به صورت اولیه خود در 1635 منتشر شد و به روش تقسیم ناپذیرها اختصاص داده شده بود گر چه می توان رد این روش را در کارهای دموکرتیس (حدود 410 ق . م) و ارشمیدس 0212-287 ق . م) پس گرفت ولی بسیار متحمل است که تلاشهای کپلر در در یافتن برخی مساحتها و احجام بود که محرک کاوالیری شد.

رسالة کاوالیری مطول است و به وضوح نوشته شده است و دانستن اینکه منظور او از تقسیم ناپذیر دقیقاً چیست مشکل است. به نظر می رسد که یک تقسیم ناپذیر در یک قطعه ی مستوی مفروض وتری از آن قطعه باشد که و یک تقسیم ناپذیر در یک جسم صلب مفروض یک مقطع مستوی آن جسم است یک قطعه مستدی متشکل از مجموعة بینهایتی از وترهای و یک جسم صلب متشکل از مجموعة بینهایتی از مقطع مستوی موازی تلقی می شود بر این مبنا کاوالیری استدلال می کند که اگر هر یک از اعضای مجموعة وترهای موازی قعطة مستوی مفروض را در امتداد محورض بلغزانیم به طوری که دو سر وترها همچنان یک مرز پیوسته با بپیمایند در این صورت مساحت قطعة مستوی جدیدی که بدین ترتیب تشکیل می شود با مساحت قطعة مستوی اصلی برابر است لغزاندن مشابه مقاطع متسوی یک جسم مفروض جسم صلب دیگری به دست می دهد کخ حجم آن با حجم اصلی برابر است این نتایج وقتی اندکی تعمیم داده شوند اصول مرسوم به اصول کاوالیری را به دست می دهند:

1 – اگر در قطعة مستوی بین یک جفت خط موازی قرار گیرند و اگر دو مقطع جدا شده توسط آنها بر روی خطی به موازات خطوط در بردارنده جدا می شود طولهای برابر داشته باشن آنگاه مساحتهای قطعه های مستوی برابرند.

2 – اگر در جسم صلب بین یک جفت صحفة موازی قرار گیرند و اگر دو مقطع جدا شده توسط آنها بر روی هر صحفه به موازات صفحات در بردارند مساحتهای برابر داشته باشند آنگاه حجم دو جسم صلب با هم برابرند.

اصول کاوالیری ابزار ارزنده ای در محاسبات مساحتها و حجم هاست و پایة شهودی انها را می توان به آسانی به کمک حساب نوین انتگرال تحقیق کرد با پذیرش اینکه این اصول از لحاظ شهودی روشن اند می توان مسائل را در مساحی که معمولاً نیاز به فنون پیشرفته حسابان دارند، حل کرد.

استفاده از اصول کاوالیری را ابتدا با به کار گرفتن آنها در حالت مسطحه در یافتن مساحت یک بیضی با نیم قطرهای b,a و سپس در حالت فضایی دریافتن حجم کره ای به شعاع r تشریح می کنیم.

بیضی و دایرة     

را که دستگاه مختصات متعامدی مطابق شکل 4 رسم شده اند در نظر گیریدو با حل هر یک از دو معادلة فوق بر حسب y معادلات زیر را بدست می آوریم:

از این روابط نتیجه می شود که نسبت عرض های نظیر بیضی و دایره برابر a/b است بنابراین نتیجه می شود که وترهای قائم بیضی و دایره نیز به همین نسبت هستند نتیجه می گیریم که اصل اول کاوالیری مساحتهای بیضی و دایره به همین نسبت هستند نتیجه می گیریم که

شکل 4

(مساحت دایره) = مساحت بیضی

این روش اساساً روشی بود که کپلر آن را در یافتن مساحت بیضی با نیم قطرهای b,a به کار گرفت.

حال فرمول آشنای حجم کره به شعاع r را به دست می آوریم در شکل 5 نیم کره ای به شعاع r در طرف چپ و استوانه ای به شعاع r و ارتفاع r در سمت راست قرار دارد که مخروطی به قاعدة بالایی استوانه و به راس مرکز قاعدة پایینی استوانه از آن برداشته شده است. نیم کره و استوانه تو کنده در روی یک صفحة مشترک قرار گرفته اند حال هر دو جسم را با صحفه ای به موازات صحفه قاعده و به فاصلة h از آن قطع می کنیم این صحفه یکی از اجسام را در یک مقطع مستیر و دیگری را در یک مقطع تاجی یا حلوقی شکل قطع می‌کند.

بنابر هندسه مقدماتی به آسانی نشان می دهیم که هر یک از این دو مقطع مساحتی برابر با  دارد. بنابراین کاوالیری نتیجه می شود که دو جسم حجم برابر دارند بنابراین حجم v یک کره چنین است

(حجم مخروط – حجم استوانه) 2= V

پذیرفتن و استفاده دائم از اصل کاوالیری استخراج بسیاری از فرمولهایی را که در هندسة فضایی دبیرستان می آیند ساده می کند این روش از سوی عده ای از مولفان کتب درسی قبول و به دلایل آموزشی از آن طرفداری شده است مثلا برای استخراج فرمول آشنای حجم چهار وجهی  قسمت متشکل ابتدا آن است که نشان دهیم در هر دو چهار وجهی که قاعده های آنها معادل و ارتفاعهای وارده بر این قاعده ها برابر باشند حجم هایشان برابرند.

دشواری ذاتی موجود در اینجا در تمام بررسیهای هندسة فضایی از اصول اقلیدس به بعد منعکس شده است.

شکل5

تصویر مبهمی که کاوالیری از تصمیم از تقسیم ناپذیرها به عنوان نوعی اجزای اتمی یک جسم داشت نصب و زیادی برانگیخت و انتقاد های جدی از سوی برخی محصلین این رشته بخصوص پل گوایرین سویسی را متوجه کاوالیدی کرد. کاوالیری بر این امید واهی که این ایرادات را مرتفع نماید، مطالعة خود را طرحریزی مجددی کرد. ریاضیدان فرانسوی روبروال با توانایی این روش را مورد بحث قار داد و مدعی شد که این مفهوم را مستقلاً خود ابداع کرده است روش تقسیم ناپذیرها، یا روندی بسیار شبیه به آن را طور موثری توریچلی فرما، پاسکال، سن – ونسان: برو و دیگران به کار برده اند در ضم کار این مردان نتایجی حاصل شده است که با انتگرالگیری عبارتی نظیر  هم ارز هستند.

آغاز مشتق‌گیری

می توان گفت که ریشته مشتق‌گیری در مسئله رسم مماس بر منحنی ها و پیدا کردن مقادیر ماکزیمم و مینمم توابع است گر چه این مسائل به یونانیان عهد باستان باز می گردد گفتن این مطلب موجه به نظر می رسد که فرما به طور قطع در سال 1629 با اندیشه های خود به پیشواز روش مشتقگیری رفته است.

کپلر ملاحظه کرده بود که نمو یک تابع در همسایگی یک مقدار ماکزیمم را مینمم معمولی به طور صرفنظر کردنی کوچک می شود فرما این حقیقت را به روندی برای تعیین این ماکزیمم یا مینیمم برگردانید این روش را با اختصار بررسی می کنیم اگر f(x) یک ماکزیمم یا مینیمم معمولی در x داشته باش و e مقدار بسیار کوچکی باشد آنگاه مقدار f(x-e) تقریباً برابر با f(x) است بنابراین من باب آزمایش قرار می دهیم f(x-e)=f(x) و سپس برابری را با گرفتن مقدار صفر برای e برقرار می کنیم در این صورت ریشه های معالة حاصل آن مقادیری از x را که به ازای آنها f(x) دارایی یک ماکزیمم و مینممم است به ما می دهد.

روش بالا را با در نظر گرفتن اولیه مثال فرما – تقسیم کمیتی به دو قسمت به طوری که حاصلضرب آنها ماکزیمم شود تشریح می کنیم فرما از نماد گذاری ویت استفاده کرد که در آن مقادیر ثابت با حروف بزرگ بی صدا و متغیرها با حروف بزرگ مصوت نشان داده می شوند. به تبع این نماد گذاری کمیت مفروض را با B و قسمت های مورد نظر را با B-A ,A نشان می دهیم با تشکیل

(A-E)[B-(A-E)]

و برابر قرار دادن آن با A(B-A) داریم:

A(B-A)=(A-E)(B-A+E)

بعد از تقسیم بر E به دست می آوریم:

حال با قراردادن0 E= رابطه A=B2 را به دست می آوریم و بنابراین تقسیم مطلوب را می یابیم. گر چه منطق عرضه داشت فرما چندان رضایتبخش نیست دیده می شود که روش او معادل با نوشتن

یعنی قرار دادن مشتق f(x) برابر صفر با صفر است این روش متداول برای یافتن ماکزیمم یا مینمم معمولی تابع مانند f(x) است، و گاهی در کتابهای مقدماتی کنونی فرما نامیده می شود.

تابع فرما نمی توانست که صفر شدن مشتق f(x) تنها یک شرط لازم رند کافی برای یک ماکزیمم یا مینمم معمولی است. همچنین روش فرما تمایزی بین مقدار ماکزیمم یا مینمم نمی گذارد فرما همچنین یک روش کلی برای یافتن مماس این نقطه یعنی نقطه ای از یک منحنی که مختصات درکارتی آن معلوم باشد ابداع کرد ایدة او یافتن تحت مماس این نقطه یعنی نقطه ای بر   روی محور xها بین پای عمود رسم شده است از نقطه تماس بر محور x ها و محل تلاقی خط مماس با محور xهاست در این روش از این ایده استفاده می شود که مماس حدی قاطعی است که دو نقطة تلاقی آن با منحنی بر هم منطبق می‌شوند. با استفاده از نمادگذاری نوین این روش به صورت زیر است. فرض کنید که معادلة منحنی (نگاه کنید به شکل 6)  باشد فرض کنید که مطلوب تعیین تحت مماس a بر منحنی در نقطة (x,y) باشد ازروی مثلث های متشابه به آسانی مختصات یک نقطة مجاور به نقطة تماس را به صورت  پیدا می کنیم چنین تلقی می شود که این نقطه نیز من باب آزمایش به منحنی قرار دارد که از آن نتیجه می شود

این تساوی سپس با گذاشتن مقدار صفر به جای e تصحیح می شود سپس معادلة حاصل از نسبت به تحت مماس a بر حسب مختصات y,x نقطه تماس حل می کنیم البته این کار معادل است با قرار دادن

شکل 6

که یک فرمول کلی است که بعداً در آثار اسلوزه ظاهر شد. بدین طریق فرما مماسهای بر بیضی سیکلوئید، سیسوئید، کونکوئید، کوادرتیکس و فولیوم دکارت را پیدا کرد. این روش را با یافتن تحت مماس در یک نقطة کلی برفرلیوم دکارت

روشن می کنیم در اینجا داریم

حال، با تقسیم بر e و سپس قراردادن e=0 به دست می آوریم

والیس وبرو

از اساتید بلافصل قبل از ایزاک نیوتون در انگلیس جان والیس و آیزک برو بودند جان والیس که در 1616 به دنیا آمد یکی از تواناترین و خلاق ترین ریاضیدانان عصر خود بود وی از نویسندگان کثرالتالیف و متبحر در چند زمینه بود و گفته اند که او یکی از اولین کسانی بود که دستگاهی برای تعلیم ناشنوایان ابداع کرد.

در 1649 وی به استادی ساویلی هندسه در آکسفورد منصوب شد. منصبی که وی به مدت 54 سال تا زمان مرگش در 1703 عهده دار آن بود کار او در آنالیز تاثیر زیادی در آماده کردن زمینه برای معاصر بزرگش آیزک نیوتون داشته است. والیس یکی از اولین کسانی بود که مقاطع مخروطی به عنوان منحنیهای درجة دوم و نه مقطعهائی از یک مخروط مورد بحث قرار داد. در 1656 کتاب حساب بینهایت کوچک های او (که به اوترک اهدا شده بود) منتشر شد. کتابی که علیرغم برخی معایب منطقی به عنوان رسالة استانده ای برای چندین سال باقی ماند و در این اثر روشهای دکارت و کاوالیری به صورت منظمی درآمده و بسط یافته و چندین نتیجه قابل توجه از حالتهای خاص استنتاج شده اند مثلاً ادعا می شود که فرمول

که به صورت امروزی نوشته شده در آن m یک عدد صحیح مثبت است حتی وقتی که m کسری یا منفی ولی مخالف 1- باشد برقرار است والیس اولین کسی بود که اهمیت توانایی صفر منفی و کسری به طور کامل توضیح داد و نماد امروزی  را برای بینهایت معرفی کرد. والیس با پیدا کردن عبارتی برای مساحت مربعی از دایرة  که  است در صدد تعیین  برآمد این کار معادل با محاسبة مقدار طاست که والیس به علت آشنا نبودن با قضیة در جمله ای کلی مستقیماً قادر به انجام آن نبود وی   و غیره را محاسبه کرد و دنبالة  را بدست آورد وی سپس مسئله پیدا کردن قاعده ای را که به ازای که والیس آن را می خواست با روندی طولانی و پیچیده وی سرانجام به عبارت حاصلضربی برای  رسید ریاضیدانان عصر او اغلب به فرآیندهای درون یابی برای محاسبه کمیتهایی که متسقیما قادر به محاسبه آن بودند متوسل می شوند.

والیس کارهای دیگری هم در ریاضیات انجام داد وی ریاضیدانی بود که به حل سوالات حریف آزمانی پاسکال دربارة سیکلوئید از همه نزدیکتر شد می‌توان تا حدی استدلال کرد که وی معادلی برای فرمول

دربارة طول عنصری از قوس منحنی به دست آورد اثری وی تحت عنوان رساله ای در جبر تاریخچه و کاربرد آن که در اسل 1673 نوشته شده ولی در 1685 به زبان انگلیسی و در 1693 به زبان لاتین منتشر شده بود اولین تلاش جدی در تاریخ ریاضی در انگلستان تلقی می شود در این اثرات که به اولین کوشش برای ارائه تعبد نموداری ریشه های مختلط یک معادلة حقیقی بر می‌خوریم والیس بخشهایی از آثار عده ای از ریاضیدانان بزرگ یونان را ویرایش کرد و دربارة موضوعات فیزیکی گوناگون مطالبی نوشت وی یکی از بنیانگذاران انجمن سلطنتی بود و چندین سالی به عنوان کارشناس رمز در دستگاه حکومتی کار کرد.

در حالی که کار عمدة والیس در بسط حسابان در نظریه انتگرالگیری است شاید مهمترین کار اساسی آیزک بود در ارتباط با نظریه مشتقگیری باشد.

آیزک برو در 1630 چشم به جهان گشود به روایتی تصحیلات ابتدایی به قدرای بازیگوش بوده است که گویا پدرش دعایی کرده است که اگر خداوند می خواهد یکی از فرزندان او را بگیرد وی با طیب خاطر حاضر است آیزک را ببخشد بر و تحصیلات خود را در کمبریج به اتمام رسانید و در ریاضیات یونانی یکی از بهترین فضلای عصر خود شد وی مردی با تواناییهای عملی جذابی از قدرت جسمی شجاعت بذله گویی و وظیفه شناس مخروط او گفته شده است او اولین کسی بود که کرس نوکالس را در کمبریج تصاحب کرد و با علو طبع در سال 1669 به نفع شاگرد عالیمقامش ایزک نیوتون از این منصب کناره گرفت. برو از اولین کسانی بوده که استعدادهای فوق العاده نیوتون را تشخیص و مورد تایید قرار داد او در 1677 در کمبریج در گذشت.

مهمترین اثر ریاضی برو دروس نورشناسی و هندسة اوست که در سال کناره گیری از کرسی اش در کمبریج منتشر شد. در پیشگفتار این رساله مراتب سپاسگذاری خود را از نیوتن به خاطر برخی مطالب کتاب احتمالاً قسمتهایی که به نور شناسی مربوط است اعلام می دارد در این کتاب است که به رهباینت بسیار نزدیکی به فرآیند نوین مشتقگیری بر می خوریم که در آن از به اصطلاح مثلث دیفرانسیل که در کتابهای درسی امروزی با آن مواجه می‌شویم استفاده شده است فرض کنید یافتن مماس در نقطه ای مانند p به منفی مفروض که در شکل 8 نشان داده شده است مورد نظر باشد فرض کنید Qیک نقطه مجاور بر منفی باشد در این صورت مثلث های PQR , PTM با تقریب خیلی نزدیکی متشابه اند و برو استدلال می کند که وقتی مثلث خیلی کوچک بی نهایت کوچک می شود داریم

قرار می دهیم Rp=a , QR=e در این صورت اگر y,x مختصات p باشند مختصات y-a , x-e=Q خواهد شد با قرار دادن این مقادیر در معادلة محنی و صرفنظر کردن توانهای دوم و بالاتر a,e نسبت a/e را پیدا می کنیم در این صورت داریم:

و خط مماس تعیین می شود برو این روش رسم مماسها را در مورد منحنیهای زیر بکار برده است. الف:  (منفی کاپا) ب:  (حالت خاص منحنی لامه) ج:  (فولیوم دکارت) که برو آن را (منفی بادامی نامید) د:  هـ :  (یک منفی تانژانتی)

به عنوان مثال در این روش را در مورد منحنی ب به کار می بریم:

در اینجا داریم  

یا

با صرفنظر کردن از توانهای دوم و بالاتر a,e و استفاده از این حقیقت که  این رابطه به صورت

ساده می شود که از آن  بدست می آید.

شکل 8

البته نسبت a/e همان dy/dx امروزی است در روش برو را که در آن جای سوال است می توان به آسانی با استفاده از نظریة حدود به صورت تحقیقی درآمده برو را عموماً اولین کسی می دانند که معکوس هم بودن اعمال مشتقگیری و انتگرال گیری را به طور کامل تشخیص داده است، گرچه شواهد ضعیفی حکم بر خلاف آن دارند این کشف مهم همان به اصطلاح قضیه اساسی حسابلان است و ظاهراً در کتاب دروس برو بیان ثابت شده است. گر چه برو قسمت عمدة اواخر عمرش را وقف الاهیات کرد. در 1675 ویرایش (و شرحی) از چهار مقالة اول مقاطع مخروطی و آثار باقیمانده ارشمیدس و نئولوسیس را متشر کرد. در این مرحل از بسط حساب دیفرانسیل و انتگرال انتگرالهای متعددی محاسبه شدند حجم بسیاری از اجسام مساحات اشکال و طول قوس های زیادی بدست آمدند. یک فرآیند مشتق گیری به مرحلة کمال رسید و مماسهای منحنی های متعددی رسم شوند مفهوم حد وارد اذهان شد و قضیه اساسی تشخیص داده شد پس دیگر چه مانده بود که باید انجام می‌شد؟ هنوز کار ایجاد یک نماد گرایی کلی با مجموعة منظمی از قواعد صوری تحلیلی و نیز بسط مجددی از مبانی این موضوع باقی مانده بود دقیقاً اینها یعنی ابداع یک حسابان مناسب و عملی بود که توسط نیوتن و لایبنتیز که مستقل از هم کار می کردند تدارک دیده شد. بسط مجدد مفاهیم اساسی بر مبنای دقیق و قابل قبولی باید در انتظار کاربرد فعالانه این موضوع می ماند و این کار توسط آنالیزدان بزرگ فرانسوی اوگوستن لوئی کوشی (1789-1857) و جانشنیان وی در قرن نوزدهم انجام پذیرفت.