ریاضیدانان مسلمان

ریاضیدانان مسلمان

 

 

ابوالوفا محمد بن یحیی بن اسماعیل بوزجانی

یکی از مفاخر علمی ایران و از بزرگترین ریاضیدانان و منجمان دوره اسلامی است در روز چهارشنبه اول ماه رمضان 328 هجری قمری در شهر بوزجان(تربت جام فعلی) چشم به جهان گشود. وی از همان سنین کودکی به خاطر هوش سرشار، تیز بینی و کنجکاویش مورد توجه خانواده و اقوامش قرار گرفت ابوالوفا علم هندسه و عدد را نزد عموی خود ابوعمر و مغازلی و دایی خود ابوعبدالله محمد بن عنبسه فرا گرفت. دورانی که ابوالوفا در آن می زیست شرایط مناسبی برای رشد او فراهم شد. استفاده از محضر استادان، کتابها و مراکز علمی گوناگون، امکان پر گشودن ذهن را برای او فراهم ساخت وی در دوران حکومت سلسله آل بویه زندگی می کرد. ابوالوفا در سن 20 سالگی به عراق مهاجرت کرد وتا پایان عمر در بغداد زندگی کرد. او به یاری همکارانش در رصد خانه بغداد به رصد پرداخت او یکی از مشهورترین منجمان زمان خود بوده است. وی گاهی در کارهای علمی با شخص معاصر خود ابوریحان بیرونی به وسیله مکاتبه شریک مساعی داشته است. او سنت گذشتگان را مبنی بر تلفیق کار علمی همراه با نگارش شرحهایی بر آثار قدما ادامه داد و شرح هایی بر آثار کسانی چون اقلیدس و دیونانتوس نوشت.

بوزجانی روشهای محاسبه ای را که کارمندان و بارزگانان در کشورهای شرق اسلامی در کارهای روزانه انجام می دادند آنها را به صورت منظم و مدون در آورد.

از کارهای جالب دیگر بوزجانی، حل یک مساله جالب است که در آن از قضیه فیثاغورث استفاده نشده است. تقسیم یک مربع به تعداد معلومی از مربع های کوچک تر یا تشکیل یک مربع بزرگ با تعداد معینی از مربع های کوچک  به وسیله پهلو به پهلو قرارر دادن آنها از کارهای دیگری است که او انجام داده است.

بوزجانی در مجالس علمی زیادی شرکت داشت که  حتی عمر خیام هم در آثار خود از مسائل ریاضی مختلفی یاد می کند که دانشمندانی مانند: ابوسهل کوهی، ابوالوفای بوزجانی و ابو حامد صاغانی در دربار عضد الدوله سخت به آن مشغول بوده اند.

تا کنون در غرب پژوهش های فراوانی درباره آثار بوزجانی انجام شده است. جنجال برانگیز ترین پژوهش مربوط به«سدیو» ریاضی دان و ستاره شناس فرانسوی است. او در این پژوهش ادعا می کند که بوزجانی 9 قرن پیش از«تیکو براهه» منجم دانمارکی در اختلاف سوم حرکت ماه را کشف کرده است» از جمله آثار وی در زمینه ریاضی می توان از:

1- کتاب اعمال هندسی              2- مجسطی  3- کتاب حساب     4- رساله در ترکیب اعدادالوفق در مربعات  5- جواب نامه بوزجانی  به ابوعلی حبوبی در باره محاسبه مساحت مثلث بدون به کاربردن ارتفاع آن    6- المدخل آلی صناعه الاثحاطیقی

7- رساله فی النسبه و التعریفات    8- رساله فی جمع اضلاع المربعات و المکعبات

به طور کلی مهمترین آثاری وی شامل: کتاب فی یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسیه و کتاب المجسطی یا کتاب الکامل است

سرانجام ابوالوفا بوزجانی در سال 388 هجری قمری در بغداد چشم از جهان فرو بست.

ابن سینا

شیخ الرئیس حجه الحق ابوعلی حسین بن عبدالله حسین بن علی بن سینا مشهور به ابن سینا که در سال 370 هجری قمری در افشنه نزدیک بخارا متولد شده و در آنجا به کسب علم پرداخت. از تحصیلات مقدماتی از حمله ادبیات، قرآن، فقه و حساب را نزد پدر آموخت و برای فراگرفتن منطق و هندسه و نجوم نزد ابوعبدالله ناتلی رفت. او از همان کودکی بسیار خارق العاده بود و دانش زمان خود را به سرعت فراگرفت. ابن سینا تا چهارده سالگی پیش تمام استادان بخارا رفت و هرچه آنها می دانستند، فراگرفت. در دوره پادشاهی نوح بن منصور، هفتمین امیر سامانی، بوعلی شانزده سال داشت که پدر و مادرش یکی پس از دیگری با فاصله کمی از دنیا رفته بودند. بوعلی درس طب را نزد ابومنصور نوح قمری می خواند. او در سن شانزده سالگی به طبابت پرداخت. وی پس از درمان کردن نوح بن منصور سامانی به دربار او راه یافت. شهرت طبابت ابن سینا در شهر پیچید و مریض هایی که از معالجه نا امید می شدند نزد او می آمدند و شفا می یافتند و این شهرت روز افزون سبب شد تا آوازه او به گوش سلطان محمود نیز برسد. مامور او را دعوت کرد تا به غزنین برود، اما ابن سینا به دلیل خشونت و تعصب دینی سلطان محمود دعوت او را رد کرد و از خوارزم فرار کرد. در آن زمان به او لقب بوعلی سینا دادند به علت زنده نگه داشتن نام پدر بزرگ (علی) و نام جدش (سینا).

ابن سینا پس از فرار از خوارزم مدتی را  در ترکستان و خراسان به سر برد و سپس وارد گرگان شد و  در آنجا به طبابت پرداخت. سپس به ری رفت و در آنجا مجدالدوله دیلمی را که به بیماری مالیخولیا مبتلا شده بود، درمان کرد. او در همدان مقام وزارت شمس الدوله را به دست آورد و از حمایت علاالدوله کاکویه برخوردار گشت.

در مدت نه سالی که ابن سینا در گنگانج به سر می برد کتابهای زیادی نوشت از جمله رساله ای در مورد فن موسیقی، قصیده ای در منطق، رساله ای درباره نبض کتابی مربوط به فلسفه و رساله ای درباره افسردگی و علل آن. در این مدت ابوریحان بیرونی هم در دربار خوارزم بود. ابن سینا و بیرونی مباحثات زیادی با هم داشتند.

سرانجام ابوعلی سینا در همدان در سال 428 هجری قمری در گذشت. از جمله معرفترین آثار او می توان به دانش نامه علایی که به  زبان فارسی است و همچنین مهم ترین اثر فلسفی او به نام شفا که شامل چهار بخش (منطقی، طبیعیات، ریاضیات و مابعد الطبیعه) است را نام برد. این اثر و کتاب بعدی به نام قانون که دایره المعارف طبی است هر دو به زبان عربی می باشند. از جمله کتاب هایی  که در مورد علم ریاضیات نوشته است کتاب «رساله الی ابوسمل المسیحی فی الزاویه» است. به طور کلی ابن سینا از دانشمندان علوم ریاضی، هندسه، نجوم، منطق، فلسفه و طب بود و وی از جمله دانشمندانی بود که هم در زمان خودش و هم سال ها و قرن ها پس از مرگش مورد احترام همه مردم و حکما بوده است. از جمله امام خمینی (ره) که در مورد ابن سینا در شرح حدیث از امام محمد باقر(ع) به عنوان رئیس فلاسفه اسلام یاد می کند و نیز در کتاب چهل حدیث خود در شرح حدیثی از امام جعفر صادق(ع) از وی به عنوان امام فن و فیلسوف بزرگ اسلام نام برده اند.  

خوارزمی

ابو جعفر محمد بن موسی خوارزمی یکی از دانشمندان بزرگ ایرانی، منجم، ریاضی دان و جغرافیدان در سال 185 هجری قمری در نزدیکی بغداد پا به عرضه وجود نهاد.

او بزرگترین عالم زمان و عصر خویش است و اجدادش اهل خوارزم بودند اما به احتمال زیاد خودش از اهالی قطر بولی منطقه ای نزدیک بغداد بود.

او در زمینه زیاضیات و نجوم مهارت بسزایی داشت. وی در این ریاضی دان دوره اسلامی است که آثارش به دست ما رسیده است.  وی در زمان خلافت مامون عضو دارالحکمه بود که گروهی از دانشمندان بغداد به سرپرستی مامون قرار داشتند و مورد توجه خلیفه وقت بود. او کتاب جبر و مقابله خود را که درباره ریاضیات مقدماتی است و اولین و اولین کتاب جبر است که به عربی نوشته شده آن را به مامون تقدیم کرد.

کتابهای او در زمینه جبر، حساب، نجوم که به زبان عربی نوشته شد هم در کشورهای اسلامی و هم در کشورهای اروپایی تاثیر بسزایی داشت.

کتابهای دیگر اوکه درباره ارقام هنری است بعد از آن که در قرن دوازدهم به زبان لاتینی منتشر شد تاثیر خاص بر روی اروپائیان گذارد و نام خوارزمی مترادف با هر کتابی که درباره حساب جدید بود فراگرفت و از همین جا اصطلاح جدید الگوریتم به فضای قاعده محاسبه رواج یافت.

از جمله کتابهای دیگر او و در زمینه ریاضی می توان مختصر من حساب الجبر و القابله، کتاب الجمع و التفریق و زیج را نام برد. وی سال 233 هجری قمری درگذشت.

محمد بن احمد ابوریحان بیرونی

ریاضی دان، منجم، جغرافیدان و فیلسوف مشهور ایرانی و یکی از دانشمندان و نام جهان است که در سال 362 هجری قمری در ناحیه جنوب دریاچه آرال در بیرون خوارزم به دنیا آمد به همین دلیل به بیرونی معروف شد، او از همان اوان کودکی شروع به آموختن علم و دانش کرد اولین استادش او نصر منصور بود که به پرورش وی همت گماشت، هفده ساله بود که با کمک یک حلقه مدرج ارتفاع نصف النهار خورشید را اندازه گرفت. وی اوایل عمر را در خدمت مامونیان خوارزم و سپس چند سالی را در جرجان در دربار شمس المعالی قابوس ابن وشمگیر گذراند و از حمایت و کمک وی برخوردارشد. و کتاب آثار الباقیه را در آن جا به نام او تالیف کرد. که در این کتاب درباره زبان و تاریخ و سنتهای ملل ایرانی و یهود و مسیحیت قبل از اسلام می باشد. پس از تصرف خوارزم از سوی سلطان محمود غزنوی به غزنه برده شده و از آن پس چند بار در جنگهای محمود در هندوستان همراه وی بود. این بزرگ مرد و دانشمند زبان عربی و فارسی را به خوبی می دانست هر چند که زبان مادرش خوارزمی بود اما نوشته های علمی اش را به زبان عربی می نوشت او همچنین بر اثر معاشرت با علما و حکمای هند به زبان هندی نیز تسلط پیدا کرد تا آنجا که به کمک حکیمهای هندی چند کتاب علمی هندی را به عربی ترجمه کرد و کتابهایی از عربی را به زبان سانسکریت ترجمه کرد پس از آن که اطاعاتش بیشتر شد کتاب التحقیق ما للهند را به رشته تحریر در آورد. از جمله هاطرن بیرونی پزشک مشهور ایرانی شیخ الرئیس ابو علی حسین بن عبدالله بن سینا می باشد. که در همین زمیان بو علی سینا و بیرونی سوال و جواب و بحث تندی درباره ماهیت و نحوه انتقال نور و حرارت با یکدیگر داشته اند. بیرونی در حدود سال 420 کتاب التفهیم لاویل صناعته التنجیم درباره نجوم و هندسه و کتاب دیگر خود را به نام قانون مسعودی که آن را به سلطان مسعود غزنوی تقدیم کرده است که بیشتر در زمینه علوم و نجوم و هندسه می باشد.

وی حقایق را تنها در مکتوبات و نوشته های نمی دانست بلکه مایل به تحقیق و پژوهش به طور مستقیم بود که در وسعت فکر، انتقاد، ریشه یابی علت های حوادث و عشق عمیق به تحقیق مقامی ممتاز دارد. همچون لئونارد و داوینچی و لایب نیتز در حکمت، تاریخ، ریاضیات، نجوم و جغرافیا استاد بوده و به چندین زبان تسلط داشته است. ابوریحان به حرکت وضعی زمین معتقد بوده و با اشاره به قوه ی جاذبه و با استدلال با تصرف علمی حرکت زمین را ثابت کرده است. او تحقیقاتی نیز در درباره انتشار نور داشته است.

ابوریحان بیرونی سرانجام در سن هفتاد سالگی به سال 440 هجری قمری در غزنه در گذشت. تالیفات او به 131 جلد می رسد که بیشتر آنها به زبان عربی است.

خیام نیشابوری

ابوالفتح غیاث الدین عمر بن ابراهیم خیام نیشابوری، حکیم، ریاضی دان، اخترشناس، موسیقی دان، فیلسوف و شاعر بزرگ و مشهور ایرانی (در قرون پنجم و ششم هجری قمری) به سال 427 هجری شمسی برابر 1049 میلادی در شهر نیشابور دیده به جهان گشود. او از کودکی فراگیری علوم مختلف زمان خود را شروع کرد. بنابر روایت ها در کودکدی با خواجه نظام الملک و حسن صباح هشتگردی بوده است و بعضی او را شاگرد بوعلی سینا دانسته اند. خیام مدتی به عراق و خراسان سفر کرد و غالبا به تدریس حکمت و مطالعه علوم ریاضی اشتغال داشته است. در 22 سالگی اثری سترگ با عنوان « رساله فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله » درباره ی معادله های درجه سوم نوشت.

وی نخستین کسی بود که ثابت کرد این معادلات ممکن است دارای دو ریشه باشند و برای حل آنها بکار بردن مقاطع مخروطی را پیشنهاد کرد. ابداعات خیام در این زمینه موفق ترین کاری است که دانشمندان مسلمان انجام داده اند.

درباره نظریه اقلیدس در مورد خطوط متوازی و نظریه نسبت ها شرح کاملی به رشته ی تحریر درآورد درباب هندسه و مثلثات نیز مطالعات و تحقیقات اندشمند و عمیق  انجام داده است. وی به اصفهان رفت و در رصد خانه ی آنجا به کمک بهترین اخترشناسان موفق شد زیج ملکشاهی را تدوین نماید. تقویم را به صحیح ترین شکل اصلاح کرد.

آثاری در موسیقی از وی به جای مانده است که نشانگر تسلط و تبحر اوست. پنج رساله فلسفی و دینی نوشته و بیش از 100 رباعی دارد که غالبا معانی فلسفی دارند. که تعداد این رباعیات را تا 1000 هم گفته اند که البته صحت بسیاری از آنها مورد تردید است.

مجموعه رسایل خیام در ریاضی و حکمت با ترجمه روسی آن در سال1962 میلادی در مسکو به چاپ رسیده است. در عالم ادب نیز رباعی های او شهرت فراوان دارد. این حکیم بزرگ به روایتی در سال 515 یا 517 هجری قمری و بنا به روایت دیگر در سال 510 هجری برابر با 1132 میلادی در نیشابور درگذشت.

خواجه نصیرالدین طوسی

ابوجعفر محمد بن حسن توسی، ملقب به نصیرالدین، ریاضی دان، منجم، فیلسوف و نویسنده معروف قرن هفتم هجری در 597 هجری در توس به دنیا آمد. در دوران کودکی خویش علوم متداول زمان را فراگرفت و همت و استعداد در کسب دانش نشان داد که مایه تحسین و اعجاب همدرسان و استادانش شد. آغاز جوانی او با واقعه مغول مواجه شد و خراسان که زادگاه وی بود عرصه تاخت و تاز چنگیز گشت. در این دوران بود که ناصرالدین، محتشم قهستان، امیر فاضل و دانش دوست اسماعیلیان این دانشمند جوان را به نزدیک خویش فراخواند. خواجه نصرالدین به ناچار دعوت وی را پذیرفت و در پناه او از فرصت استفاده کرد و به مطالعه و تحقیق پرداخت و قسمتی از تالیفات گران بهای خود را در همین زمان تنظیم کرد.

ناصرالدین محتشم قدر مقام خواجه نصیر الدین را می دانست و در اوایل کار در اعزاز و اکرام خواجه می کوشید، اما مدتی بعد به وی بدگمان شد و او را حبس کرد. از این به بعد خواجه نصرالدین توسی در خدمت ناصرالدین محتشم و فرزندش بود. در سال 654 هلاکو که از نوادگان چنگیز بود توانست قلعه الموت را فتح کند و به تصرف خود دربیاورد، چون هلاکوخان از عقل و درایت خواجه نصرالدین آگاه شد و او را به عنوان مشاور خود قرارداد.

خواجه نصرالدین در ابتدا، هلاکو را به تسخیر بغداد و برانداختن اساس خلافت عباسی ترغیب کرد. هلاکو فرمان داد به  خواجه نصیر الدین توسی که در مراغه رصد خانه ای ایجاد کند، زیرا خواجه نصرالدین با سعی و کوشش خود را به تاسیس رصدخانه کرد.

خواجه نصرالدین توسی نیز دانشمندان ریاضی و منجمان را از نواحی مختلف کشورهای اسلامی برای همکاری در این طرح دعوت کرد، همچنین دستور داد که کتابهایی را که در مطالعات ریاضی و نجوم مورد احتیاج بود از تمام شهرهای مهم جمع کردند و به مراغه آورند و در آنجا کتابخانه ای عظیم تاسیس کرد که شماره کتاب های آن را تا چهارصد هزار کتاب نوشته اند.

این مرد بلند همت پیوسته در زندگی خویش دو هدف اساسی دانسته است : یکی مسائل اخلاقی و دیگری مسائل علمی بود. توجه واهتمام خواجه به این دو هدف جنان بود که هیچ گاه حوادث روزگار او را از پیش برد مقاصدش منصرف نساخت. بزرگترین خدمت او این بود که در دوره هلاکو و هنگام استیلای مغول به ترتیب دانشمندان و نگه داری کتب و آثار علمی همت گماشت و عده بسیاری از دانشمندان را در رصدخانه مراغه گردآورد و مجمعی علمی بنیاد نهاد و خود غیر از تدریس به دانشجویان ایرانی و غیر ایرانی، بر شرح و توضیح آثار بزرگان پیشین مشغول گردید. علم و هیئت را عملا آموخت و به علوم نظری و ریاضیات که پایه واساس علوم است، توجه خاصی داشت.

خواجه نصرالدین توسی در اکثر زمینه های علم و فسلفه، تالیفات و رسالاتی از خود به یادگار گذاشت است که بیشتر آنها به زبان عربی است و از معروفترین آن ها به زبان فارسی « اساس الاقتباس » و « اخلاق ناصری » را می توان ذکر کرد.

خواجه نصرالدین توسی سرانجام در سال 672 هجری قمری در کاظمین درگذشت.

دانشمندان بزرگ ریاضی اسلام

مقدمه : ریاضی دانی در میان مسلمین از دیرباز دارای جایگاه ژرف و منزلت والایی بوده است . در زمانی که اروپا در قرون وسطی خرافات ، جهل ، ظلم و تعدی بود و کشیشان متععصب انسانها را از روی توردن به پژوهشی و تحقیق باز می دانستند . علوم متعدد در سرزمین های اسلامی به خصوص ریاضی از اهمیت فوق العاده زیادی برخوردار بود . کثرت دانشمندان علوم ریاضی در جهان اسلام چندان است که به راستی نمی توان در این فرصت اندک حتی به اجمال اسامی آنان را برشمرد ، اما من کوشیده ام تا : آب دریا را اگر نتوان کشید هم به قدر تشنگی باید چشید کوشیده ام تا اندکی از آن همه بسیار را در این تحقیق مختصر گرد آورم . پسران موسی بن شاکر خراسانی یعنی محمد و احمد و حسن که در سطور قبل و در بخش مترجمان اسلامی از آنها نام برده شد در عصر خویش در ریاضیات و نجوم شهرت بسزائی داشتند و تالیف و آثار نفیسی از خود بیادگار گذارند . تاریخ فوت ابوجعفر محمد که بزرگترین برادران بود بسال 873 میلادی 260 هجری میباشد .معروفترین اثر برادران موسی بن شاکر در هندسه و بنام ‹‹ کتاب قسمه الزاویه الی ثلاثه اقسام متساویه ›› بود که در قرن 12 میلادی به وسیله ژرارددوکرمونا به زبان لاتین ترجمه2 و چنین نام داشت . Liber trium fratrum de Geometria کتاب تثلیث الزاویه La Triction de I, Angle و ساختمان مکانیکی خسوف : Des Constructions Mecaniques de Peclipse دیگر از آثار پسران شاکر خراسانی است که مورد استفاده مغرب زمین بوده ا ست . در بین برادران ، ابوجعفر محمد در هندسه و نجوم و المجسطی ، احمد در مکانیک ( علم الحلیل ) و حسن در هندسه تبحر داشته اند .3 از آثار دیگر آنهاست : کتاب فی الالات الحربیه کتاب الشکل المدور و المستطیل ( از حسن ) کتاب حرکه الفلک الاولی ( از محمد ) کتاب الشکل الهندسی ( از محمد ) کتاب الجزء ( از محمد ) کتاب فی اولیه العالم ( از محمد ) کتاب علی مائیه الکلام ( از محمد ) کتاب المخروطات ( از محمد ) محمد بن موسی خوارزمی محمدبن موسی خوارزمی المجوسی ( 780 ـ 850 میلادی 236 ـ 164 هجری ) از مردم خوارزم ( خیوه امروز ) در مشرق بحر خزر و از علمای بزرگ قرون وسطی است که از ایران بدر بار مامون خلیفه عباسی رفت و در خزانه الحکمه به تحقیقات و تتبعات گوناگون خود پرداخت . در قرن نهم میلادی طبق دستور خلیفه ، کتابی بی نظیر در جبر و مقابله بنام : المختصر فی حساب الجبر و المقابله نوشت و ریاضی دان شهیر مسائلی در ریاضیات و هندسه داخل کرد که حاصل تحقیقات او تا کنون متداول و برخی از این مسایل و ابداعات عبارتند از : استعمال جیب بجای وتر و زیاد کردن ظل بر خطوط مثلثاتی . بکار بردن جبر و مقابله در هندسه ـ حل معادلات درجه سوم ـ تحقیقات درعلم مخروطات تحقیقات درعلم مثلث کروی برای حل مثلثات کروی که تا بحال هم معمول است . خوارزمی بسال 813 میلادی ( 198 هجری ) ارقام هندی را در جداول خود بکاربرد . اروپائیان و مترجمان لاتین خوارزمی را Algolismo یا Algoritmus نامند . ترجمه مشهور کتاب جبر خوارزمی به لاتین به نام :de Numero Indorum Algoritmi یعنی ‹‹ الخوارزمی در ارقام هندی ›› می باشد و کلمه آلگوریتم که در دائره المعارف ها خوارزمی را بدان نامند اصلاحی شد بمعنی محاسبه با پایه ده و آن را خورسم یا جورسم 1 به معنی عملیات حسابی به طریق اعشار نیز گویند . کتاب الجبر و مقاله خوارزمی را اغلب مترجمان مشهور قرون وسطی به لاتین ترجمه کردند . ژرارددوکرمونای سابق الذکر متوفی به سال 583 هجری آن را به لاتین ترجمه کرد که تا قرن 16 میلادی دراروپا تدریس می شد . جلد نجومی خوارزمی به وسیله موسی سفاردی ( پیرآلفوس ) به سال 1115 میلادی به لاتین ترجمه شد . کتاب جبر خوارزمی به وسیله ژان لونا De Luni به سال 1130 به لاتین ترجمه گردید. ربرت چستر R . Chester به سال 1145 میلادی آن را نیز به لاتین برگردانید . یوحناالاسبانی ( اشبیلی ) جبر خوارزمی را ترجمه کرد و نام آن به لاتین چنین بود . ‹‹ کتاب خوارزمی در حساب عملی ›› Liber Algorismi di Practica aritmetice رودلف دوبرجس Rodolphe de Bruges در آغاز قرن 12 میلادی کتاب جبر خوارزمی را به لاتین ترجمه کرد . مسلم بن احمد المجریطی به سال 1120 میلادی ـ جبر خوارزمی را ترجمه کرد . لئونارد دوپیزا نیز کتاب جبر و مقابله خوارزمی را به لاتین ترجمه نمود . ادلهارددوباث در همین قرن 12 میلادی مثلثات موسی خوارزمی را به لاتین ترجمه کرد و به مدرسه طلیطله داد . کلمه جبر را اروپائیان از خوارزمی و از این کتاب گرفته اند . خوارزمی در کتاب خود واژه جبر را به معنی : ‹‹ نقل جملات از یک طرف به طرف دیگر ›› و مقابله را ‹‹ جمع جملات متشابه ›› توجیه و تفسیر کرده است یا به بیان دیگر آن را ‹‹ علم حذف و تحویل ›› نام نهاده است . خوارزمی معادلات درجه سوم را حل کرد و امتحان ضرب با عدد 9 را که اینک همه جا معمول می باشد در حدود 1150 سال قبل ضمن سایر مسایل ریاضی در کتاب خود نوشت . خوارزمی به کمک 37 تن از علماء یک فرهنگ جغرافیائی برای مامون تهیه کرد و در 5 رشته از علوم رسالاتی گرانبها دارد . نص و ترجمه انگلیسی جبر خوارزمی به سال 1831 میلادی در لندن و رم به وسیله فردر یک روزن به نام زیر منتشر شد . Frederic Rosen , The Algebra of Mohammad _ ben _ Musa , London 1831 جبر خوارزمی در قرن بیستم در نیویورک عینا چاپ و منتشر شد ـ اصل عربی این کتاب دردست نمی باشد و همان ترجمه های لاتین به منزله اصل تلقی می شود . از تالیفات دیگر خوارزمی است : کتاب الزیح الخوارزمی ـ کتاب تقویم البلدان ( در شرح عقاید بطلمیوس ) کتاب التاریخ ـ جمع بین الحساب و الهندسه و الموسیقی و الفلک که از بهترین ابتکارات 1 اوست . کتاب عمل بالا سطرلاب .2 آلدومیلی Aldo – Mieli در صفحه 154 علم عرب خود در مورد خوارزمی می گوید : ‹‹ خوارزمی از بزرگترین ریاضی دانان اسلام بوده است که نه تنها در اسلام و شرق بلکه در مغرب زمین نیز از مشهورترین می باشد . خوارزمی در ریاضیات عصر جدیدی به وجود آورد وکتب او در حساب و هندسه و جداول مثلثاتی و سطوح الفلکیه مشهور است و بی نظیر . ›› آخرین ترجمه جبر خوارزمی به وسیله مار Marre به سال 1866 در رم منتشر شد که از انواع دیگر جدیدتر است . به سال 1915 کارپیوسکی Karpiuski کتاب جبر خوارزمی را از روی ترجمه لاتین روبرت چستر طبع و منتشر کرد . فرغانی ابوالعباس احمد بن محمد بن کثیر فرغانی معاصر خوارزمی و از مردم ماوراء النهر ایران بود و به سال 246 هجری ( 860 میلادی ) کتابی نوشت که مدت 700 سال در اروپا مرجع محققان بود . فرغانی قطر زمین و قطر سیارات و فواصل آنها را از یکدیگر حساب کرد که با علم امروز و فواصل تعیین شده چندان فرقی ندارد و رساله ای درباره ساعت آفتابی نوشت . ازکتابهای اوست : کتاب الفصول اختیار المجسطی ـ اصول الفلک ـ کتاب عمل الرخامات و از همه معروفتر الکامل فی الاسطرلاب . فرغانی را در مغرب زمین به نام Alfraganus می شناسند و کتاب اختر شناسی او به وسیله ژرارددوکرمونا و یوحنای اشبیلی و یعقوب آناطولی به لاتین ترجمه شد ـ و به سال 1537 میلادی این کتاب طبع و منتشر گردید .1 اصول نجوم فرغانی سه بار به لاتین ترجمه شد . اولی به وسیله ژان دوسویل Seville در قرن 12 سپس چاپ فرار Ferrare به سال 1493 و آخرین چاپ آن به سال 1669 بود .2 نهاوندی احمد بن محمد نهاوندی ـ از منجمان مشهور جندیشاپور بود و در حدود سال 838 میلادی ( 224 هجری ) می زیست . شاپور بن سهل شاپور بن سهل گندیشاپوری طبیب ، متوفی در 254 هجری ( 868 میلادی ) رئیس بیمارستان گندیشاپور و از مسیحیان ایرانی بود ـ شاپور بن سهل بزرگترین دارونامه را به نام کتاب الاقرباذین در 22 باب تالیف کرد ـ علاوه کتابی در مضار و منافع اطعمه نوشت و در داروهای ضد مسمومیت تحقیقاتی فراوان و رسالاتی در انواع ( پادزهر ) دراد ـ کتاب القرباذین او از قرن سوم الی قرن ششم در تمام دکانهای داروفروشان و بیمارستانهای بغداد مورد استفاده بوده است . 1 بروکلمان در کتاب خود به نام تاریخ ادبی عرب 1902 ـ 1898 این کتاب را تشریح کرده است . دینوری ابوحنیفه احمد بن داود دینوری 200 ـ 282 هجری قمری ( 895 ـ 815 میلادی ) صاحب کتاب النبات در زیست شناسی و دارو . دینوری درنجوم و ریاضیات آثاری دارد . از کتب اوست : الجبروالمقابله ـ کتاب البحث فی حساب الهند ـ کتاب الجمع و التفریق ـ زیج ابی حنیفه 2 ـ کتاب علی رضدالاصفهانی ـ کتاب 3الانواء ( درنجوم ) کتاب قبله وازوال . برونوزیلبربرگ به سال 1910 و 11 Bruno Silberberg از کتاب النبات دینوری مجموعه ای گرد آوری کرد به نام : Das Pflanzenbutch des Abu Honifa , Eia Beitrrag ... درقاهره به سال 1930 و 1934 نشریه ای از کتاب النبات به طبع رسید به نام زیر که در آن نام 570 نبات مندرج در کتاب دینوری ذکر شده است . About Hanifa el Dinawari et son ›› Liver des Plants ‹‹ Bull de I Institur d Egypt XVI – 1934 کتاب تاریخ دینوری به نام ‹‹ الاخبار الطوال ›› که درمقدمه نیز به آن اشاره شد . و به سال 1888 ـ 1912 در لیدن منتشر گردید از تالیفات معروف و اصلی ابوحنیفه دینوری می باشد . بدیهی است طبق معمول از ذکر آثار دینوری که خارج از علوم مورد نظر این فهرست است صرف نظر می شود . ابومعشر بلخی ابومعشر جعفر بن محمدبن عمر بلخی متوفی به سال 279 هجری ( 892 میلادی ) در بلخ متولد شد و در بغداد در خدمت مامون خلیفه عباسی میزیست و گویند به دین مسیح درآمد . ابومعشر در مغرب زمین به نام Albumasar مشهور می باشد . کتاب اوبویژه در فرضیات نجومی و جزر و مد از کتب معروف است و آثار و رسالات او را ادلهارددوباث انگلیسی سابق الذکر در نیمه اول قرن 12 میلادی به لاتین ترجمه کرد که Apotelesmata نام دارد و به سال 1577 میلادی در فرانکفورت به چاپ رسید به نام : Abomasaris Apotelesmata , Sive de significatis Frankfurt 1577. القفطی 40 کتاب به او نسبت می دهد و در حال حاضر در حدود 12 کتاب از آثار ابومعشر در کتابخانه های اروپا موجود است ـ از کتب موجود او یکی ترجمه فارسی کتابی است به نام ـ ‹‹ رساله در اتصال کواکب و قرانات و دیگر از کتب معروف او الموالید و کتاب الاصل ـ سرائر الاسرار و المدخل فی علم النجوم میباشد . ابومعشر در بغداد از نظر نجوم حکمی کرد که درست در آمده لکن بامر خلیفه او او را چوب زدند و معروف است همواره می گفت : ‹‹ اصبت فعقوبت ›› یعنی بکیفر پیشگوئی درستی که کرده بودم رسیدم . کتاب زیج هزارات 1 ابومعشر در 72 باب بسیار معروف است . کتب او در علوم مختلفه به ویژه نجوم بسیار زیاد و در الفهرست از آنها نام برده شده است ـ گویند ابومعشر در 47 سالگی علم آموخت و یک صد سال عمر کرد . کتابی از ابومعشر به نام بینونت سیارات ( فاصله زاویه دوستاره ) ـ Liver de P elongation به لاتین ترجمه و به سال 1489 و 1515 چاپ و منتشر شده است . 2 آلدومیلی تاریخ فوت اورا 886 میلادی و مشهور ترین کتاب اورا همان المدخل الی علم احکام النجوم گوید که در فرضیات نجومی و جزر و مد می باشد . اکثر آثار ابومعشر توسط یوحنا اشبیلی به لاتین ترجمه شد و پس اختراع چاپ به طبع رسید از جمله : 1 – Introduction in Astronomiam- Albumasaris Abalachii … Augsburg , 1489 et Venezia 1495 et 1506 2 _ Albumasar de Magnis Conjunctionibus et annorum 1489 – 1515 … که کتب نامبرده در قرن 15 پنج بار تجدید چاپ شد .3 ماهانی ابوعبدالله محمدبن عیسی ماهانی متوفی به سال ( 246 هجری 860 میلادی ) از اهالی ماهان کرمان بود و در ریاضیات و نجوم از جمله علماء به شمار می رفت و در ردیف اولین ریاضی دانهای ایران محسوب است . ماهانی کتابی به نام رساله فی عروش الکواکب در عرض کواکب و سیارات و کتابی در هیئت و رساله ای در اشکال کتاب اول اقلیدس نوشته است که از تالیفات دیگر او مشهور تر است . ماهانی کره زمین را به دو قسمت به نسبت معین تقسیم کرد و معادله ماهانی از قرن 9 میلادی معروف می باشد این منظور با عبارت : X3 + a2b = cx2

پی یردو فرما

پی یردو فرما زندگی پیر فرما (Pierre de Fermat) در سال 1601 در نزدیکی مونتابن (Montauban) فرانسه متولد شد. او فرزند یک تاجر چرم بود و تحصیلات اولیه خود را در منزل گذراند. سپس برای احراز پست قضاوت به تحصیل حقوق پرداخت و بعد ها بعنوان مشاور در پارلمان محلی شهر تولوز (Toulouse) انتخاب شد. او باوجود علاقه بسیاری که به ریاضیات داشت هرگز بصورت رسمی و حرفه ای به این علم نپرداخت اما با این حال بسیاری او را بزرگترین ریاضی دان قرن هفدهم می دانند. او در سن 64 سالگی در شهر کاستر (Caster) در گذشت. قضیه ها فرما برای تفریح به ریاضیات می پرداخت و امروزه بسیاری از اکتشافت او بعنوان مهمترین قضایا در ریاضیات مطرح می باشند. زمینه های مورد علاقه او در ریاضیات بیشتر شامل نظریه اعداد، استفاده از هندسه تحلیلی در مقادیر بینهایت کوچک یا بزرگ و فعالیت در زمینه احتمالات بود.کارش در مورد مماسها الهام بخش نیوتن در طرح حساب دیفرانسیل و انتگرال شد.اصل مینیمم سازی فرما در اپتیک ،نتایج عمیقی در سراسر فیزیک بعد از او داشت.بالاتر از تمام اینها فرما به خاطر کارهایش در نظریه اعداد،در یادها مانده است. از جمله قضایای زیبای او که به قضیه کوچک فرما معرف شده است می توان به این مورد اشاره کرد. اگر p یک عدد اول باشد و a یک عدد طبیعی در آنصورت بر p قابل قسمت خواهد بود. اثبات این قضیه از طریق استقرای ریاضی بسیار ساده است. این قضیه حالت عمومی تر دو قضیه دیگر در ریاضیات هست یکی قضیه ای منسوب به اویلر (Euler) و دیگری قضیه ای معروف به همنهشتی چینی (Chinese Hypothesis). از دیگر قضایایی که او در طول زندگی خود ارائه کرد می توان به موارد زیادی اشاره کرد از جمله : "اگر a و b و c اعداد صحیح باشند و باشد در آنصورت ab نمی تواند مربع یک عدد صحیح باشد." اولین بار برای این قضیه لاگرانژ (Lagrange) راه حلی استادانه ارائه کرد. شاید جنجالی ترین قضیه ای که حتی خود فرما برای آن توضیح یا اثباتی ارائه نکرده است قضیه آخر او باشد که اینگونه است: معادله در دامنه اعداد صحیح برای مقادیر بزگتر از 2 پاسخ ندارد. این معادله ساده و فریبنده سالهای سال برای ریاضیدانان دردسر بزرگی بوده است چرا که فرما در حاشیه یکی از یادداشت های خود نوشته بود : "من برای این قضیه اثبات بسیار حیرت آوری (Marvelous) دارم." اما متاسفانه هرگز در میان نوشته های او اثبات این قضیه پیدا نشد و تاریخ همواره در شک و شبهه مانده است که آیا او این قضیه را اثبات کرده است یا خیر. با وجود آنکه این قضیه تاکنون مورد علاقه بسیاری از ریاضی دانان بوده و بسیاری هم به ظاهر برای آن راه حل ارائه کرده اند اما بنظر می رسد هیچکدام از آنها استدلالهای کاملی نبوده و در نهایت این قضیه بنظر اثبات نشدنی می آید. انتگرال در حساب دیفرانسیل و انتگرال ، از انتگرال یک تابع برای عمومیت دادن به محاسبه مساحت ، حجم ، جرم یک تابع استفاده می شود. فرایند پیدا کردن جواب انتگرال را انتگرال گیری گویند.البته تعاریف متعددی برای انتگرال گیری وجود دارد ولی در هر حال جواب مشابه ای از این تعاریف بدست می آید. انتگرال یک تابع مثبت پیوسته در بازه (a,b) در واقع پیدا کردن مساحت بین خطوط x=0 , x=10 و خم منفی F است . پس انتگرال F بین a و b در واقع مساحت زیر نمودار است. اولین بار لایب نیتس نماد استانداری برای انتگرال معرفی کرد و به عنوان مثال انتگرال f بین a و b رابه صورت نشان می دهند علامت ،انتگرال گیری از تابع f را نشان می دهند ،aو b نقاط ابتدا و انتهای بازه هستند و f تابعی انتگرال پذیر است و dx نمادی برای متغیر انتگرال گیری است. انتگرال یک تابع مساحت زیر نمودار آن تابع است. از لحاظ تاریخی dx یک کمیت بی نهایت کوچک را نشان می دهد. هر چند در تئوریهای جدید، انتگرال گیری بر پایه متفاوتی پایه گذاری شده است به عنوان مثال تابع f را بین x=0 تا x=10 در نظر بگیرید ،مساحت زیر نمودار در واقع مساحت مستطیل خواهدبود که بین x=0 ،x=10 ،y=0 ،y=3 محصور شده است یعنی دارای طول 10 و عرض 3است پس مساحت آن برابر 30 خواهد بود . اگر تابعی دارای انتگرال باشد به آن انتگرال پذیر گویند و تابعی که از انتگرال گیری از یک تابع حاصل می شود تابع اولیه گویند . اگر انتگرال گیری از تابع در یک محدوده خاص باشند به آن انتگرال معین گویند که نتیجه آن یک عدد است ولی اگر محدوده آن مشخص نباشد به آن انتگرال نامعین گویند. محاسبه انتگرال اکثر روش های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده است که بر طبق آن داریم: 1.f تابعی در بازه (a,b) در نظر می گیریم . 2.پاد مشتق f را پیدا می کنیم که تابعی است مانند f که و داریم: 3.قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال را در نظر می گیریم: بنابراین مقدار انتگرال ما برابر خواهد بود. به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم . معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیکهای انتگرالگیری دارد این تکنیکها عبارتند از : • انتگرال گیری بوسیله تغییر متغیر • انتگرال گیری جزء به جزء • انتگرال گیری با تغییر متغیر مثلثاتی • انتگرال گیری بوسیله تجزیه کسرها روش هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می رود همچنین می توان بعضی از انتگرال ها با ترفند هایی حل کرد برای مثال می توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید . محاسبه سطح زیر نمودار بوسیله مستطیل هایی زیر نمودار هر چه قدرعرض مستطیل ها کوچک میشوندمقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست میآید. تقریب انتگرالهای معین انتگرال هایی معین ممکن است با استفاده از روش های انتگرال گیری عددی ،تخمین زده شوند.یکی از عمومی ترین روش ها ،روش مستطیلی نامیده می شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آنها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال رو سیمپسون و روش ذوزنقه ای است. اگر چه روش های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می کند . تعریف های انتگرال از مهم ترین تعاریف در انتگرال می توان از انتگرال ریمان و انتگرال لبسکی(lebesgue) است. انتگرال ریمان بوسیله برنهارد ریمان در سال 1854 ارئه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می داد تعریف دیگر را هنری لبسکی ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال میتوان به انتگرال riemann-stieltjes اشاره کرد. پس به طور خلاصه سه تعریف زیر از مهمترین تعاریف انتگرال میباشند: • انتگرال ریمان • انتگرال لبسکی • انتگرال riemann-stieltjes در ریاضیات، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک تابع مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد. حد تابع در یک نقطه اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم: آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست. منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است تعریف مجرد حد: فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت را به صورت زیر تعریف میکنیم: به ازای هر وجود دارد یک که برای هر x دلخواه اگر آنگاه نتیجه بگیریم: حد توابع در بی نهایت حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند. به عنوان مثال در تابع خواهیم داشت: • f(100) = 1.9802 • f(1000) = 1.9980 • f(10000) = 1.9998 مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم: حد یک دنباله حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود. به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: اگر و تنها اگر برای هر یک عدد طبیعی مانند m باشد که برای هر n>m داشته باشیم باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار . را به عنوان فاصله بین و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند. تابع در ریاضیات، تابع رابطه ای است که رابطه بین اعضای یک مجموعه را با اعضایی از مجموعه ای دیگر (شاید یک عضو از مجموعه) را بیان می کند. نظریه درباره تابع یک پایه اساسی برای خیلی از شاخه های ریاضی به حساب می آید. مفاهیم تابع، نگاشت و تبدیل معمولاً مفاهیم مشابه ای هستند. عملکرد ها معمولاً دو به دو بین اعضای تابع وارد عمل می شوند. تعریف: تابع یک قاعده ای است که ورودیهایی را می گیرد و خروجیهایی را به ما پس می دهد. مثالهایی را ذکر می کنیم. • هر شخص دارای هشت رنگ مورد علاقه دارند (قرمز، نارنجی، زرد، سبز، آبی، بنفش، نیلی، صورتی) رنگ مورد علاقه یک تابع انسانی است. برای مثال علی رنگ قرمز را دوست دارد. در حالی که کیارش رنگ بنفش را دوست دارد.در اینجا، ورودی یک مشخص است ولی خروجی یکی از هشت رنگ است. باید به نکته توجه کرد که چند شخص می توانند یک رنگ را انتخاب کنند. • یک سنگ از طبقات مختلف یک ساختمان رها می شود. این سنگ در 2 ثانیه، 2 طبقه را پائین می رود و در 4 ثانیه، 8 طبقه را پایین می رود. در اینجا، طبقات به عنوان ورودی و تعداد ثانیه ها به عنوان خروجی به حساب می آیند. قاعده تعریف یک تابع می تواند به وسیله یک فرمول، رابطه و یا یک جدول ساده که ورودیها و خروجیها را در برابر هم قرار می دهد، باشد. در توابع، ورودیها به عنوان متغیر تابع و خروجیها به عنوان ارزش تابع شناخته می شوند. یک نمونه از توابع، توابعی است که رابطه متغیر تابع با ارزش تابع به صورت یک فرمول بیان می شود. و ارزش تابع از جایگزین متغیر در فرمول بدست می آید. به عنوان مثال تابع بیان می کند که ارزش تابع برابر است با مربع هر عددی مانند x تعریف روی مجموعه ها یک تابع رابطه‌ای منحصر به فرد است که یک عضو از مجموعه ای را با اعضای مجموعه‌ای دیگر مرتبط میکند. تمام روابط موجود بین دو مجموعه نمی تواند یک تابع باشد برای روشن شدن موضوع، مثالهایی در زیر ذکر می کنیم: • این رابطه یک تابع نیست چون در آن عنصر 3، با دو عنصر ارتباط دارد. که این با تعریف تابع متناقص است چون برای یک عنصر از مجموعه، دو عنصر در مجموعه موجود است • این رابطه یک تابع یک به یک است. چون به ازای هر x یک y وجود دارد خواص توابع توابع می توانند: • زوج یا فرد باشند. • پیوسته یا ناپیوسته باشند. • حقیقی یا مختلط باشند. • اسکالر یا برداری باشند. توابع چند متغیره: یک تابع ممکن است بیشتر از یک متغیر داشته باشد برای مثال یک تابع از f است که دارای سه پارامتر x,y,z است که یک ارزش را برای تابع تولید می کنند. از توابع چند متغیره می توان به قانون جاذبه نیوتن اشاره کرد که در آن دو جرم با متغیر و و نیز یک متغیر برای فاصله هر جرم به نام در آن وجود دارد. با مقدار دهی به سه پارامتر فوق مقدار تابع F محاسبه خواهد شد. اصل درخت(گراف) در نظریه گراف، یک درخت گرافی است که هر دو راس آن بوسیله دقیقاً یک یال به هم متصل شده اند، یک جنگل گرافی است که دو راس آن با بیشتر از یک راس به هم متصل اند. یک جنگل در واقع از اتصال، مجموعه ای از درخت ها به وجود می آید. تعریف ها: یک درخت از شرایط زیر پیروی می کند. • در آن هیچ مدار یا حلقه ای موجود نیست. • درخت یک گراف همبند است. • با حذف یک یال از درخت، دیگر آن گراف یک درخت نخواهد بود. • هر دو راس در یک درحت بوسیله مسیر منحصر به فرد به هم متصل می شوند. اگر یک جنگل با n راس باشد آن گاه از شرایط زیر پیروی می کند: • T یک درخت است. • T مداری ندارد و n-1 یال دارد. • T همبند است و n-1 یال دارد. • هر دو راس T با مسیر منحصر به فرد به هم متصل می شوند. • T مداری ندارد و با افزودن یگ یال جدید دقیقاً یک مدار بوجود می آید. مثال: در شکل درختی با 6 راس و 5 یال وجود دارد مقدار یالها برابر 5 = 1- 6 است. و بین دو راس 2 و 6 دقیقاً یک مسیر وجود دارد که عبارت است از 6-5-4-2 بیشتر بدانیم: درخت مولد گراف مانند G بزرگترین گراف درختی مانند T در G است که با افزودن یک یال از درخت بودن خارج می شود و واضح است اگر یک گراف n راس و m یال داشته باشد آن گاه درخت مولد n-1 یال داشته و باید m >= n-1 باشد. تعداد درخت های مولد متمایز برای گراف کامل با n راس برابر است. این قضیه به قضیه کایلی معروف است. تعداد درخت هایی که با n راس با درجات می توان ساخت برابر مقدار زیر است: اصل لانه کبوتر اصل لانه کبوتر که به نام های «اصل جعبه کفش» یا «اصل کشویی دیر کله» مشهور است، اغلب برای پاسخ دادن به سوالات زیر مفید است: «آیا اشیایی وجود دارند که درخاصیت مشخصی صدق کنند؟» اگر اصل لانه کبوتر به طور موفقیت آمیزی به کار رود، تنها وجود چنین اشیایی را ثابت می کند و چیزی درباره روش یافتن اشیا و یا مشخص کردن تعداد آنها بیان نمی کند. شکل ساده اصل لانه کبوتری n کبوتر در k لانه قرار می گیرند. اگر n>k ،آنگاه تعدادی از لانه ها بیش از یک کبوتر خواهند داشت. برهان دلیل درستی این اصل، اغلب به برهان خلف ثابت می شود. زیرا، اگر اصل برقرار نباشد، آنگاه، هر لانه حداکثر یک کبوتر دارد و در این حالت، حداکثر کبوتر وجود خواهد داشت که با فرض و وجود کبوتر متناقص است. به دلیل بدیهی بودن استدلال به عنوان اصل پذیرفته می شود. دقت کنید که این اصل، اطلاعاتی درباره آن لانه هایی که حداقل دو کبوتر دارند ارائه نمی کند و تنها وجود چنین لانه هایی را تایید می کند. در استفاده از این اصل در حل مسایل، باید تصمیم گرفت که نقش کبوتر ها و لانه ها چگونه تعبیر شوند. مثال ده نفر به اتاقی وارد شده اند که نام کوچک آنها احمد، رضا و مهدی است و نام خانوادگی آنها محمدیان، رسولی و رضایی است. نشان دهید حداقل دو نفر از این ده نفر، نام و نام خانوادگی یکسانی دارند. حل: تنها 9 امکان برای تولید اسامی متمایز وجود دارد. اگر افراد را به عنوان کبوتر اسامی را به منزله لانه کبوتر فرض کنیم، آنگاه بنا بر اصل لانه کبوتر، بعضی از اسامی (لانه ها) به حداقل دو نقر (کبوتر ها) نسبت داده می شوند. حال مثال دیگری ذکر میکنیم: 15 نفر دریک میهمانی شرکت کرده اند. طبق این اصل حداقل دو نفر پیدا می شوند که در یک ماه به دنیا آمده اند. اعداد صحیح اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفراست. این اعداد را با Z نشان میدهند.این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است.شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگیهای اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد. ویژگیهای جبری اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمیتواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد. جمع ضرب بسته بودن a × b یک عدد صحیح است a+b یک عدد صحیح است شرکت پذیری a + (b + c) =(a + b) + c a × (b × c)=(a × b) × c جابجایی a+b = b+a a×b = b×a عضو همانی a+0 = a a×1 = a عضو خنثی a+ (−a) = 0 توزیع پذیری (a×(b + c) = (a × b)+(a × c با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک گروه آبلی را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل گروه نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند. اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام الگوریتم تقسیم در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه: عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقیمانده مینامند. این روش ،اساس محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک میباشد. خواص خوش ترتیبی اعداد صحیح یک مجموعه مرتب است که دارای کران بالا و کران پایین نیست. یک عدد صحیح مثبت است اگر بزرگتر از صفر باشدو منفی است اگر کوچکتر از صفر باشد. صفر عددی تعریف میشود که نه مثبت و نه منفی است. از خوش ترتیب بودن اعداد صحیح می توان نتایج زیر را بدست آورد: 1.اگر و انگاه 2.اگر و آنگاه , و اگر آنگاه اعداد اول تعریف:عدد طبیعی p>1,pرا اول می نامند به شرطی که تنها مقسوم علیه های مثبت آن 1وp باشند. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از 1اول نباشد مرکب است. قضیه 1: تعداد اعداد اول نامتناهی است. برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد . حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ی 1 را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است. (البته شایان ذکر است که این قضیه اثبات های گوناگونی دارد که ما ساده ترین آنها را انتخاب کردیم اگر مایلید می توانید اثبات های دیگر آن را بیاورید.) قضیه 2:قضیه ی اساسی حساب: هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت. قضیه 3: قضیه چپیشف:اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از 2 باشد, حتما" بین n و 2n عدد اولی وجود دارد. بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب م م) تعریف: مقسوم علیه های مشترک میان دو عددa وb، اعدادی هستند که بتوانند هم a و هم b را بشمارند به عبارت ریاضی: اگر c مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b باشد، آنگاه c|a و c|b . مثلا مقسوم علیه های دو عدد 15 و30 را داریم: {15={1,3,5,15} 30={1,2,3,5,6,10,15,30} مقسوم علیه های مشترک میان این دو عدد عبارتند از: مقسوم علیه های مشترک:{1,3,5,15} بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد، عددی است که نسبت به تمام مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد، بزرگترین باشد. به عبارت ریاضی: اگر d بزرگترین مقسوم علیه باشد، d|a و d|b و dبزرگتر از c باشد. بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان این دو عدد ، 15 است. که آن را به این صورت نمایش می دهند: (15,30)=15 بزرگترین مقسوم علیه میان دو عدد را به اختصار به صورت " ب.م.م " می نویسند. اگر ب.م.م دو عدد یک باشند ، آنگاه این دو عدد نسبت به هم اولند.مثلا دو عدد 13 و 8 هیچ مقسوم علیه مشترکی جز یک ندارند. قضایای مربوط به بزرگترین مقسوم علیه مشترک: قضیه1) این قضیه به قضیه بزو نیز معروف است. مطابق این قضیه مجموعه زیر مجموعه ای از مقسوم علیه های مشترک میان دو عدد a وb هستند: S={m,n ε Z| am+bn>0} نتیجه ای که از این قضیه می توان گرفت آن است که بزرگترین مقسوم علیه مشترک میان دو عدد aو b مطابق فرمول زیر است: Am+bn=d. قضیه 2) d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a و b است اگر و فقط اگر : الف) d|a و d|b و ب) اگر c|a و c|b آنگاه c|d. قضیه 3) اگر a|bc و (a,b)=1 یعنی نسبت به هم اول باشند، آنگاه a|c . این قضیه به لِم اقلیدوس نیز معروف است. قضیه4) اگر P|ab (P یک عدد اول است)، آنگاه P|a یا P|b . قضیه5) اگر c کوچکترین مضرب مشترک و d بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد a وb باشد آنگاه داریم: Then: d*c=ab لم های مربوط به بزرگترین مقسوم علیه های مشترک: لم 1) بر اساس اصول بنیادی حساب، هر عدد مرکب را می توان به صورت حاصلضرب اعداد اول تجزیه کرد. ب.م.م میان دو عدد برابر با حاصلضرب اعداد اول مشترک میان آن دو عدد به توان عدد کمتر. لم 2) ب.م.م دو عدد، هر مقسوم علیه مشترک میان دو عدد را می شمارد: لم 3) اگر آنگاه : لم 4) اگر a|c & b|c , (a,b)=1 ===> ab|c لم 5) اگر آنگاه مثال مربوط به بزرگترین مقسوم علیه مشترک : مثال1) اگر n عددی فرد باشد ثابت کنید که 24حاصلضرب سه عدد متوالی قبل و بعد از n را می شمرد: 24|(n-1)n(n+1) جواب: عدد سه، حاصلضرب سه عدد متوالی را می شمرد( اثبات آن به عهده خواننده است. راهنمایی : هر عددی را می توان به صورت : A=3q+r 0≤r<3) باید ثابت کنیم که حاصلضرب دو عدد زوج متوالی بر 8 تقسیمپذیر است: : then: حاصلضرب دو عدد متوالی همواره بر 2 بخش پزیر است.پس: then: then: then: طبق لم 4 داریم: ضرب خارجی ضرب خارجی که به آن ضرب برداری نیز گفته میشود،یک عمل دوتایی در یک فضای سه بعدی است که بر روی دو بردار اعمال میشود.حاصل این عمل برداری است که بر دو بردار مذکور عمود است.جهت این بردار از طریق قانون دست راست بدست می آید. تعریف دو بردار AوB را در نظر میگیریم و زاویه بین این دو بردار را فرض میکنیم در این صورت ضرب خارجی این دو بردار به صورت زیر تعریف میشود: فرض کنیم دو بردار مذکور بر حسب بردارهای واحد i و j و k و به صورت زیر تعریف شده باشند: در این صورت ضرب خارجی دو بردار ( بدون نیاز به داشتن زاویه بین آنها) به صورت زیر تعریف میشود: