سیری در ریاضیات

« سیری در ریاضیات »

ریاضیدانها چگونه زبان یکدیگر را میفهمند؟

اگر به سرزمین جدیدی سفر کنید که زبان مردم آنجا را ندانید و نیز ندانید که در آنجا چه می گذرد، سفر برایتان لذتی ندارد. در قلمرو ریاضیات نیز چنین است. کسی که زبان ریاضی را نداند نمی تواند این علم را درک کند. ارتباط و تبادل نظر ریاضی روزگاری در بین ریاضی دانان مشکل بود، اما آنها با اختراع زبان ریاضی که شامل علائم نوشتاری ویژه ای است، این مشکل را از میان برداشتند.

هندسه فضایی چیست؟

هنگامی که یک سطحهندسی دارای ضخامت شود، از قلمرو هندسة مسطح خارج می شود و وارد هندسه فضایی می گردد. در این شاخه از ریاضیات با چهار شکل اصلی روبرو هستیم.: کره، مخروط، استوانه و چندوجهی. چندوجهی ها حجم هایی هستند که طول، عرض وارتفاع دارند که هر وجه(سطح) آنها یک چندضلعی است. فقط پنج نوع چندوجهی منتظم داریم که عبارتند از:

الف ـ هرم یا چهار وجهی منتظم که هر یک از چهار وجه ان یک مثلث متساوی الاضلاع است.

ب ـ مکعب یا شش وجهی منتظم که هر یک از شش وجه ان یک مربع است.

پ ـ هشت وجهی منتظم که هر یک از هشت وجه آن یک مثلث متساوی الاضلاع است.

ت ـ دوازده وجهی منتظم که هر یک از دوازده وجه آن یک پنج ضلعی است.

ث ـ بیست وجهی منتظم که هر یک از بیست وجه ان یک مثلث متساوی الاضلاع است.

نشانه ها، علامتها و تعریفهای ریاضی

+          به علاوه (به اضافه)، علامت جمع کردن است، مانند: 4 + 3

-          منها، علامت تفریق کردن است، مانند: 2 - 4

*          ضرب، علامت ضرب کردن است، مانند: 2 * 4

÷          بخش، علامت تقسیم کردن است، مانند: 2 ÷ 8

=          مساوی، علامت مساوی بودن است، مانند: 4 - 9 = 2 + 3

        نامساوی، علامت نامساوی بودن است، مانند: 2 - 4  4 + 3

        بزرگتر از، علامت بزرگتر بودن است، مانند: 4   8  که می خوانند هشت بزرگتر است از چهار.

        کوچکتر از، علامت کوچکتر بودن است، مانند: 8  4  یعنی چهار کوچکتر است از هشت.

        بی نهایت، علامت بی نهایت است. بی نهایت یعنی عددی که بزرگتر است از هر عددی که فکر کنیم یا بگوییم یا بنویسیم.

         پی، علامتی است که برای محاسبة محیط و مساحت دایره به کار می رود. مقدار آن برابر 14159/3 است.

         درجه، علامت درجه است. درجه، واحد اندازه گیری زاویه است. یک دایره  است.

'         دقیقه، علامت دقیقه است. دقیقه برای نشان دادن بخشهایی از یک درجه بکار       می رود. هر درجه مساوی 60 دقیقه است.

“          ثانیه، علامت ثانیه است. ثانیه برای نشان دادن بخشهایی از یک دقیقه بکار می رود. هر 60 ثانیه 1 دقیقه است.

        عمود، علامت عمود است. عمود خطی است که با خط دیگری زاویة قائمه بسازد.

||           موازی، علامت دو خط راست است که یا یکدیگر موازی هستند. دو خط راست وقتی موازی هستند که امتداد آنها همدیگر را قطع نکند.

انسان اولیه چگونه می شمرد؟

در آغاز، انسان اولیه برای نشان دادن عدد موردنظر خود زا زبان اشاره استفاده می کرد. شاید به ببری که کشته بود یا به سرنیزة همسایه اش اشاره می کرد. یا شاید از انگشتانش برای نشان دادن عدد استفاده می کرد. سه انگشت دست معنی «سه» می داد، خواه سه نیزه یا سه ببر دندان دشنه ای، یا سه غار یا سه سرنیزه.

می دانیم که در زندگی روزمره «عدد» کلمه یا نشانه ای است که بر مقدار و تعداد معینی دلالت می کند. اما لازم نیست آنچه را که ما درباره اش گفتگو می کنیم، مشخص کند. مثلاً «سه» یا «3» می تواند به معنی سه هواپیما، سه قلم یا سه کتاب باشد.

در ابتدا، انسان اولیه می توانست تا دو بشمارد. امروزه هنوز در جهان، قبایلی ابتدایی مانند بومیان بدوی استرالیا ـ ابورجین ها ـ وجود دارند که فقط سه عدد می شناسند: یک، دو و بسیار. اگر یک نفر از این قبیله سه عدد بومرانگ« یا بیشتر داشته باشد، برای شمارش آن فقط عدد بسیار را به کار می برد. البته بیشتر انسانهای اولیه تا ده، یعنی مجموع تعداد انگشتان دستان می شمردند. بعضی فقط تا 20 یعنی مجموع تعداد انگشتان دست و پایشان می شمردند.

هنگامیکه با انگشتان دست شماره می کنید، تفاوتی نمی کند که از انگشت کوچک دست یا از انگشت شست شروع کنید. اما بین برخی از اقوام برای این کار قاعده هایی وجود داشت. مثلاً «زونی» ها (قبیله ای از سرخپوستان آمریکای شمالی) شمردن را از انگشت کوچک دست چپ شروع می کردند. یا سرخپوستان اتوماک امریکای جنوبی شمردن را از انگشت شست آغاز می کردند.

آدمی چون متمدن تر شد، از ترکة چوب، ریگ و گوش ماهی برای نمایش اعداد استفاده   می کرد. آنها سه ترکه یا سه ریگ را در کنار هم ردیف می کردند که معنی «سه» را برساند. عده ای با ایجاد شیار بر روی چوب یا گره هایی که به یک طناب می زدند منظورشان را از عددی که می خواستند بیان کنند می رسانیدند. به این ترتیب همیشه چوبخط یا طناب حساب را با خودشان همراه داشتند یا آن را در جایی حفظ می کردند.

صفر را چه کسی اختراع کرد؟

دستگاه عددنویسی بابلیها یک نقص کلی داشت. در این دستگاه علامتی برای صفر وجود نداشت. ابتدا این مشکل را با گذاشتن یک فاصله برطرف می کردند.

بابلیان در 2000 سال پیش از میلاد، یک علامت «جدا کننده» برای نبودن یک رقم بکار     می بردند. آنها به کمک این علامت می توانستند عدد     = 61 را از عدد     = 2 مشخص کنند. الواحی از 500 تا 200 سال پیش از میلاد در دست است که بر روی آنها علامتی برای نشان دادن فقدان یک رقم، یعنیصفر به کار رفته است. در جدولهای ضرب بابلی که شامل همة ارقام تا 60 * 60 است، علامت      به جای صفر به کار رفته است. از آنجا که بابلیان با هندیان داد و ستد داشتند، گمان می رود که مفهوم صفر را از آنان گرفته باشند، ولی به هرحال این مسلمانان بودند که در قرن نهم یا دهم میلادی مفهوم صفر را وارد اروپا کردند.

تقریباً در 800 کیلومتری شمال شرقی مصر و 800 کیلومتری شمال غربی بین النهرین، سواحل سوریه در اطراف دریای مدیترانه قرار دارد. در آنجا، در 3500 سال قبل، در سرزمین باستانی فنیقیه، اقوامی دریانورد زندگی می کردند. دریانوردان فنیقی از بندرهای تیروس و صیدون، مدیترانه را در می نوردیدند. در حدود 3000 سال پیش، کشتیهای آنان از منتها الیه غربی مدیترانه گذشتند. بی شک آنها از تنگة جبل الطارق گذشتند و در سمت شمال تا سواحل انگلستان و در سمت جنوب تا سواحل غربی آفریقا پیش رفتند. با آنکه کشتی های کوچک آنها محکم بود، آنان همواره نزدیک به ساحل کشتیرانی می کردند تا از سرزمینها و نشانه های آشنا دور نباشند. اما با گذشت زمان، دل به خطر سپردند و به خود جرئت دادند تا دور از ساحل نیز دریانوردی کنند. آنها به میان دریاهای باز راندند. البته این در هنگامی بود که از ریاضیات دریانوردی به اندازة کافی اطلاع داشتند.

چگونه برای نخستین بار محیط کرة زمین را اندازه گرفتند؟

اراتوستن ریاضیدان یونانی، در حدود 225 سال قبل از میلاد می زیست. او کتابدار کتابخانة بزرگ اسکندریه در مصر و نخستین کسی است که زمین را اندازه گرفته است. اراتوستن ریاضیات را در مورد دو تا از مشاهدات خود به کار بست: او در کتابها خوانده بود که نزدیک اولین آبشار نیل در شهر سین یا آسوان امروزی در جنوب مصر، در روز معینی از سال در هنگام ظهر، امکان داشت تابش نور خورشید را در یک چاه عمیق به خوبی مشاهده کرد، زیرا خورشید مستقیماً از بالای سر می تابید و هیچ نوع سایه ای ایجاد     نمی کرد. اما در همان موقع و همان روز در اسکندریه که در 800 کیلومتری شمال آسوان قرار داشت، اشیای قائم حتی در هنگام ظهر سایه ای داشتند. پس خورشید قائم نمی تابید. به این ترتیب اراتوستن می توانست دو نکته را مورد توجه قرار دهد، یکی اینکه زمین کروی است و دیگر اینکه شعاعهای خورشید موازیند. او در شهر اسکندریه ستونی قائم در زمین برپا داشت و در لحظه ای که خورشید در شهر سین به طور قائم به ته چاه می تابید، زاویة سایة این ستون را حساب کرد. اراتوستن می دانست که زاویة اندازه گیری شده، برابر زاویه ای است که میان سین و اسکندریه نسبت به مرکز زمین وجود دارد.

اندازة این زاویه  درجه بود. فاصلة بین اسوان و اسکندریه هم 800 کیلومتر بود. اراتوستن توانست با دو برهان هندسی که دانشمندان قدیمی تر یونانی پرورانده بودند، محیط زمین را محاسبه کند. نخست آنکه معلوم شده بود که زوایای متقابل به رأس، با هم مساویند. دوم آنکه ثابت شده بود که از تلاقی یک خط مستقیم با دو خط موازی، زوایای مساوی به وجود می آید. به علاوه اراتوستن می دانست که هر دایره  درجه است. همچنین وی از روی اندازه گیریهایش می دانست که  درجه برابر با 800 کیلومتر از سطح زمین (فاصلة اسوان تا اسکندریه) است.

از آنجا که 48 بار  درجه برابر  (یعنی یک دایرة کامل) است، وی 800 کیلومتر را در 48 ضرب کرد و به این ترتیب محیط زمین را در 38400 کیلومتر محاسبه کرد. با وسایل دقیق امروزی، دانشمندان محیط دایرة استوایی زمین را 5/40076 کیلومتر می دانند.

نمودار وِن چیست؟

نمایش هندسی یا نمایش مجموعه را نمودار وِن می نامند. این روش اولین بار به وسیلة «وِن» ریاضیدان معروف انگلیسی به کار برده شد. ون در حالت کلی مجموعه را با قسمتی از نقاط صفحه محدود به یک دایره، یک مستطیل یا هر منحنی بستة دیگری نمایش داد و هر نقطة داخل شکل را یک عضو مجموعه فرض کرد. می توان تصاویر اجسام را با علائم قراردادی مشخص کردو

(ما = ماشین،                 ک = کتاب،                 ج = جعبه آبرنگ،                    کش = کشتی،

تو = توپ،                    جر = جرثقیل،              ب = بیلچه،                               س = سطل،

ر = راکت)

در این تصویر مجموعة احمد به شکل زیر است:

مجموعه اسباب بازیهای هوای بد را با با حرف A و مجموعة اسباب بازیهای هوای خوب را با حرف B مشخص می کنیم. مجموعة همة اسباب بازیهایی را که احمد دارد با حرف M‌نشان می دهیم. M را مجموعة مرجع می نامند.

شمارش مولکولهای شیمیایی

کاربرد علم گراف در اکثر رشته های مختلف شناخته شده است. این بار از گراف در شیمی صحبت می کنیم. لازم است خواننده ابتدا تعریف رأس و درخت را در گرافها بداند.

یک نمونه قدیمی از کاربرد درختها در مسائل مربوط به شمارش مولکولهای شیمیایی است. یک هیدروکربن (یعنی، مولکولی که فقط دارای اتمهای کربن و ئیدروژن است) را می توان به صورت یک گراف نشان داد که در آن اتم کربن به صورت یک رأس درجه 4 و هر اتم هیدروژن یک رأس درجة یک است. گرافهای بوتان و ایزوبوتان در شکل زیر آمده است:

با وجود اینکه فرمول شیمیایی هردو  است. چون در این مولکولها ترتیب اتمها متفاوت است، لذا این دو مولکول متفاوتند. این دو مولکول بخشی از دستة عمومی مولکولهای موسوم به آلکانها یا پارافینها، با فرمول  هستند. به طور طبیعی این پرسش مطرح می شود که این فرمول چند مولکول دارد.

گراف هر مولکولی با فرمول  یک درخت است.« زیرا این گراف همبند است و تعداد رأس و یال آن به ترتیب  و  می باشد. همچنین هرگاه ترتیب اتمهای کربن شناخته شود، مولکول کاملاً مشخص می شود. زیرا در این صورت اتمهای هیدروژن بگونه ای اضافه می شوند که درجة رئوس اتمهای کرن را به 4 برسانند. بنابراین می توان اتمهای هیدروژن (شکل پایین) را نادیده گرف، و مسئله به تعداد تعیین درختهای n رأسی تبدیل می شود که درجة هر یک 4 است.

لیکی در سال 1875 این مسإله را با شمارش طریقه هایی که می شود درختها را از رئوس مرکزی آنها بنا کرد، حل کرد. تشریح این استدلال پیچیده تر از آن است که اینجا بحث شود.

زندگی نامه دانشمندان

وی اهل یونان و در اواخر قرن پنجم ق . م در آتن می زیست که استاد افلاطون نیز بود .

اثبات وی دربارة این بود که جذر 3 و نیز جذر سایر اعداد غیر مجذور کامل کامل تا 17 اصم است ؟ 

تئودوروس

ریاضیدان ایتالیایی (1623 و 1662) ، چند مقاله در حساب عالی ، هندسه ، مثلثات کروی و ... دارد ؟

چزارو ارنسنو

یکی از بزرگترین ریاضیدانهای روسی ، که به سبب نتایجی که در تئوری اعداد اول بدست آورد معروف است . (1821-1894)

چبیچف ، بافندگی دودویچ

وی نیز یک ریاضیدان آلمانی که در تئوری اعداد معروف است آثارش به حد اعلی ابتکاری است و از آن جمله سه اثر مشهور اوست به اسامی « اتصال و اعداد اصم » (1872) و « اعداد چه هستند وچه باید باشند (1888) و توری اعداد صحیح جبری (1879و1894) .

« کنید ، یولیوس »

ریاضیدان ، فیزیکدان و منجم آلمانی ، (1728-1777) که مخصوصاً به سبب ثابت کردن اصم بودن  معروف است

لامبرت ، یوهان هاینریش

ریاضیدان دیگر آلمانی که در جهت اثبات متعالی بودن عدد   معروفست . اثبات متعالی بودن عدد   امتناع ؟؟؟ دایره را با پرگار و ستاره و ستاره محقق ساخت (1852-1932)

لیندمان ، فردنیاندفون

داستان آلیس در سرزمین عجایب اثر این ریاضیدان و منطق ؟؟؟ و نویسنده انگلیسی است  (1832-1898)

کارل ، لویس

4 بردارید ، تا بر 33 تقسیم شود !

کوچکترین عدد صحیح را پیدا کنید ، که با 4 شروع شود ، و اگر 4 را از اوّل آن حذف کنیم ، عددی که بر جا می ماند ، یک سی و سوم عدد اولیه باشد !

4 بردارید ، تا بر 33 تقسیم شود !

عدد مطلوب چنین نوشته می شود :

N< 10^k : با  N = 4*10^k +n,

n و K باید معادله ی زیر صدق  کنند :

33n= 4*10^k + n

32n= 4*10^k

8n= 2^k*5^k

کوچکترین مقدار برای k مساوی 3 است . در این صورت عدد مطلوب 4125 می شود .

بطری شناور در آب

یک قایقرانبا سرعت ثابت ، در خلاف جهت آب رودخانه ، پیش می رفت . یک وقت او یک بطری شناور در سطح آب دید ، که در سوی حرکت آب ، و در خلاف جهت او حرکت      می کرد . ابتدا وی اهمیّتی به این موضوع نداد ، و به راه خود رفت . امّا یک ربع ساعت بعد ، یک مرتبه فکر کرد : از کجا معلوم که این بطری شناور محتوی یک پیام برای او ، یا فرد دیگر ، نباشد ! فوراً بازگشت کرد ، و به دنبال بطری ، همجهت با آب ، حرکت نمود ، و وقتی  به آن رسید ، که بطری 1 کیلومتر جابه جا شده بود . سرعت حرکت آب را بیابید .

بطری شناور در آب

اگر آب ساکن بود ، قایق یک ربع ساعت پیش می رفت ، و یک ربع ساعت بازگشت می کرد ، تا آن را بگیرد . امّا در همین مدّت نیم ساعت بطری یک کیلومتر ، در جهت آب ، حرکت کرده است . یعنی سرعت حرکت آب 2 کیلومتر در ساعت بوده است .

مریم میرزا خانی

دانشجوی سال چهارم رشته ی ریاضی دانشگاه صنعتی شریف

برندة مدال طلای المپیاد ریاضی کشور ، سال 1373

برندة مدال طلای سی و پنجمین المپیاد جهانی ریاضی -  هنگ کنگ 1995

برندة مدال طلای سی و ششمین المپیاد جهانی ریاضی -  کانادا 1995

زنده یاد رضا صادقی

دانشجوی نخبه ی دانشگاه صنعتی شریف و عضو باشگاه دانش پژوهان جوان در سال 1373 در سی و پنجمین المپیاد جهانی ریاضی در هنگ کنگ مدال نقره و در سال 1374 در سی و ششمین المپیاد جهانی ریاضی در تورنتوی کانادا مدال طلا کسب نمود وی در تاریخ 26 اسفند ماه 1376 در سانحه ی رانندگی در بازگشت از اولین سمینار دانشجویی ریاضی به همراه شش تن دیگر از نخبگان ریاضی کشور به دیدار حق شتافت.

منابع:

1.      کتاب در جهان ریاضیات (اریک اوبلاکر)

2.      کتاب دانشمند (سید محمدعلی عمادی)

3.      کتاب المپیاد ریاضی برای همه (مارتین آمیوت و ...)

---

«  بومرانگ نوعی ابزار شکار که به کمانی خمیده است و با دست پرتاب می شود و پس از طی مسافتی (برحسب قدرت بازوی پرتاب کننده) به سمت پرتاب کننده باز می گردد.

«   طبق قضیه زیر گراف هر مولکولی با فرمول  ، یک درخت است.

ریاضیات

ریاضیات

همواره یکی از علوم فعال و زنده بوده است که براساس منطق استوار می باشد .پایگاه معرفت ریاضی خرد محض است و بر محور احساسات و خواسته ها نمی گردد .میزانی که با آن اندیشه های ریاضی را می سنجیم مستقل از آن اندیشه هاست .

نتایج همگی بر مبنای قوانین و اندیشه های که بر حسب معیارهای قانونی ریاضیات ثابت شده است .ریاضیات همچنین نمادی از تلاش بی پایان انسانها برای کسب دانش و آگاهی است .

دانش ریاضی محصول کوشش انسانها و ملل گوناگون در زمانهای مختلف است که فراتر از زمان و قالبهای فرهنگی و اقلیمی به منصه بروز و ظهور رسیده است .هدف این تلاش ، فعلیت یافتن گوهر وجودی انسان و پیشبرد معرفت و کمال بشری و گشوده شدن دروازه هایی از ارتباط میان اندیشه ها ، فرهنگها و تمدن هابوده است .

اکنون به جواب سؤال مطرح شده از زبان دکتر مصاحب می پردازیم :

جواب این سؤال در زمانهای مختلف و بر حسب بسط ریاضیات و بسط فکر ریاضی متفاوت بوده است .زمانی ریاضیات را علم اعداد  ،زمانی علم فضا و زمانی علم کمیات متصل و منفصل تعریف می کردند .این تعریف اخیر که شاید بیش از یک قرن تا حدی قابل قبول بود و هنوز در بعضی اذهان باقی است .

اما طرز فکر کنونی را می توان از این گفته یکی از محققین معاصر دریافت :

((در بابی علم فیزیک ، آشکار شده که ضرورت ندارد که ما ماهیت موجودات مورد بحث را بشناسیم بلکه آنچه ضروری است شناخت ساختمان ریاضی آنهاست .در حقیقت تنها چیزی که می شناسیم همین است ))

نفس ریاضیات در هر مبحث علمی ، خواه در علم اقتصاد یا در علم نجوم ، همین شناسانیدن  ساختمان ریاضی است .اینک بد نیست به گفتاری از پرفسور فضل الله رضا در باب ریاضی نو بپردازیم :

در علوم ریاضی نو هم بخلاف ریاضیات قرون پیش ، زیبایی ها کم یا بیش با معیار فربهی خیال و گسترش پرواز سنجیده می شود .وقتی به یکی از امرای علم دوست اسلامی قضیه فیثاغورث را عرضه کردند که مجذور طول وتر مثلث قائم الزاویه برابر مجموع مجذورات طول دو ضلع دیگر است .

 معروف است که وی چنان از زیبایی  این حقیقت جهانی سرمست شده که دستور داد شکل مثلث را بر روی آستین وی نقش کنند .

A2+b2=c2

این قضیه در قرن بیستم مانند شعرهای نابی که گویندگان بزرگ ایران قرنها پیش آفریده اند از زوایای تنگ مثلث بیرون آمده و به فضاهای بسیار گسترده که در علم و صنعت عمومیت دارند تعمیم داده شد.تعمیم این قضیه در فضاهای هیلبرت که به نام ریاضیدان بزرگ آلمانی قرن نوزدهم معرفی شده است  چنان است که برای هر X  از فضای هیلبرت و تصاویر بر محورهای پایه مختصات چنین می توان نوشت :  

X=x k  e k =(  x,e)e k   

=

هرچند تشخیص معیار از پی زیبا شناسی کار دشواری است با از نظر بحث درمجردات می توان گفت که زیبایی این قضیه پهناور بیش از زیبایی قضیه محدود فیثاغورث است .در اینجا همای  خیال بالاتر پرواز کرده مثلث قائم الزاویه  معمولی فضای دوبعدی اقلیدسی ، جای خود را در فضایی به ابعاد بی شمار به شکلی داده است که دیگر تصویر ساده در ذهن ما ندارد ، و بر آستین کسی نقش پذیر نیست .

اینجاست  که دیگر هر که خیالش فربه تر  است آن نقش را بهتر درمی یابد .بیش از دو هزار سال طول کشید تا قضیه  فیثاغورث در آغاز قرن بیستم به اوج زیبایی  خود رسید و قضیه هیلبرت بدست آمد .

بنیان معرفت حقیقی و هنر محض هر دو در عالم مجردات نقش می بندد  .تماس و برخورد با محسوسات گاهی ممکن  و مقدور است اما همه گاه ضرورت ندارد . چنانکه مساحان برای تحدید باغ و خانه ، مثلثهارا با رسن  و دوربین  مشخص می کنند  ولی  در فضاهای هزار بعدی این رسن ها و دوربین ها دیگر بکار نمی آیند .

آنجا کار محسوس وملموس پیچیده تر و خیال آلوده تر است . به هر تقدیر در دفتر زیبا شناسی پرواز مرغ فکر را نادیده نباید گرفت  .

امروز برداشت اهل فن از ریاضیات ،با برداشت عام تفاوت دارد .کار ضرب و تقسیم و عملیلت جبری را ماشینهای حساب به خوبی انجام می دهند .ریاضیدان بیشتر با مجردات سروکار دارد، عالمی خیال انگیز می آفریند و درآن عالم موجودات را به جان  هم می اندازد ترکیبات نو خلق     می کند واز دیدگاههای مختلف به مسائل می نگرد.

فصل دوم :

یافتن معادله ای ریاضی که 

بر جهان

حکمفرما است !

آیا ریاضیدانان خواهند توانست جهان را با حداقل جزئیاتش توصیف کنند ؟ این کار درزمان کپلر و گالیله ساده به نظر می رسید . ولی ببینیم  معادله نهایی حاکم بر طبیعت به چه شبیه است ؟

در ماه اوت سال 1609 میلادی در پراگ ، اختر فیزیک دان آلمانی  (( یوهانس کپلر))  دو معادله جهانی ارائه داد .او شکلهای هندسی که سیارات در آسمان طی می کنند را تشخیص داد .

این شکلها بصورت بیضی هایی بودند که مسیر های ستارگان را بصورت ریاضی توسط تنها یک به دست می داد. در اوت 1609، در پادو ( Padoue) جمهوری ونیز گالیله ساخت دوربین نجومی اش را تمام کرد ، حرکت ستارگان را بهتر از هرکسی در جهان مشاهده نمود .

او پس از سالها مطالعه بیان داشت که :

(( ویژگیهای کتاب طبیعت ، همان مثلثها ، مربعها ، دوایر ، کرات ، مخروطها واشکال هندسی دیگر می باشند )).

وبه این طریق لزوم یک توصیف ریاضی یگانه کننده از این شکلها ارائه شد .در 1686 نیوتن توانست معادله ای  من  ارائه دهند که بتوانند.که بتواند ارائه دهد که بتواند حرکت یک سیاره در آسمان و سقوط یک سیب از درخت را در یک فرمول بیان کند .

در 1915آلبرت انشتین نظریه نسبیت عام خود را ارائه داد وسپس معادلات مکانیک کوانتومی ارائه شدند .در واقع  وقتی  جهان را بتوان   فقط  با یک فرمول توصیف کرد که قادر باشد مشاهدات ممکن را توضیح دهد ، آن وقت به انتهای ریاضی و فیزیک خواهیم رسید (( استقلال هاوکینگ )) جانشین کنونی نیوتن بر کرسی ریاضیات دانشگاه کمبریج ، در 1980 معتقد بود که این ((تئوری همه چیز )) قبل از پایان قرن اخیر نوشته خواهد شد .اما  او اشتباه می کرد ، هنوز این  تئوری به ثمر نرسیده است  . بعداز بیش از بیست سال کاندیدای منتخب به صورت  (( تئوری ریسمانها یا ابر ریسمانها )) باقی می ماند که فرض می کرد اجسام بنیادی  بصورت ذره نباشند بلکه بصورت  ریسمانهای کوچکی باشند که نوسانی دائمی دارند .اما اختراع  ابزار ریاضی که بتواند این تکه ریسمانها را مرسوم کند باقی ماند.

اکنون استفان هاوکینگ معتقد است که این معادله ریاضی جهان در کمتر از ده سال آینده  نوشته خواهد شد .

آیا می توان امیدوار بود که کتاب بزرگ طبیعت فقط به یک سطر تقلیل یابد ؟

به طور نظری جواب مثبت است :

حل این معادله برای هر ریسمانی می تواند رفتار کل هر جسم را توضیع دهد اما در عمل این کتب قابل استفاده نیست .برای مطالعه بدن انسان که متشکل از 10 به توان 100 ریسمان است در واقع باید این معادله را حل کرد که غیر ممکن است .

از این پیچیدگی یک یک تشکیل اولیه مشتق می شود که این کتاب بزرگ باید توصیف آن را شامل شود .جهانی که به یک سطر متکی باشد فقط می تواند آشی از ریسمانهای غیر منظم یکنواخت باشد .

این آش بی نهایت محتوی دارد ولذا کتاب طبیعت را غول پیکر خواهد کرد تا بتواند تمام اشکال و پدیده ها را   از نظر ژنتیک گرفته تا اقتصاد در بر داشته باشد .پس در حالی که به یافتن یک معادله نهایی در آینده چنین  نزدیکی نوید داده می شود .آیا بطور ناگهانی در خارج از محدوده کوششهای ما در رسمی کردن آن نمی انجامد .؟

متذکر می شویم که علی رغم تنوع مختلف در دانه های برف ، کلم ، سیب ، رعد وبرق و غیره  هر یک وجه مشترک و ناوردایی دارند ، یعنی همگی ساختاری مثل یک درخت دارند ، با یک تنه مرکزی که به شاخه ها وسپس به برگها ختم می شوند .

ریاضی دان فرانسوی (( Benoit  Mandeibort  )) توانسته است  یک ناوردای پنهان را از این تنوع مختلف استخراج کند :

(( هر کدام از اجسام صرفه نظر که به آن نگاه می کنیم شکل یکسانی را حفظ       می کنند ))

در واقع می توان شاخه رابعنوان شاخه را به عنوان یک درخت مینیا توری  مجسم کرد . معادله ((مندلبروت )) تعبیر  ریاضی این پدیده  است .(( فراکتالهای )) آن می توانند گل کلم و دانه های برق را یگانه کرده  ویک ابزار قدرتمند برای آنالیز آن بسازند .

روبرت هوکفلد و ناتان  کوهن (Rober  Hokfeld  . Natan  cohen)  دو ریاضیدان آمریکایی نشان  داده اند که آنتنهای رادیو یا رادیو های قابل حمل دارای یک شکل فذاکتالی می باشند .

نیمه کمتر بزرگتر آن ، نوار فرکانس بزرگتر را با دقت بیشتر دریافت می کند . جهان ما نیز            می تواند  این شکل شاخه شاخه شدنی (انشعابی ) را تا بی نهایت داشته باشد . بنایراین  فراکتالها به مثلثها ، مربعها ، دوایر ، کرات ، مخروطی و شکلهای هندسی  دیگری  اضافه می شوند تا بیان گالیله ای از طبیعت راکامل  کنند و پدیده های انشعاب یافته را به حساب آورند .

توجه کنید :

ساختار یک دانه  برف یک فراکتال است و این شکل محض مملو از اسرار طبیعت  است که شکلهای هندسی مختلف را تشکیل  می دهد .فراکتالها فقط با یک معادله می توانند دانه برف ، گل کلم ، رعد وبرق و ساحل دریا را وحدت بخشند

فصل سوم

حساب دیفرانسیل

و

انتگرال چیست ؟

( بر گرفته از جلد دوم حساب

دیفرانسیل و انتگرال توماس )

حساب دیفرانسیل وانتگرال ریاضیات مربوط به حرکت و تغییر است .هر جا حرکت یا رشدی هست ، هر جا نیروهای متغیری در کار تولید شتاب اند ، حساب دیفرانسیل و انتگرال درست همان ریاضیاتی است که بکار می آید .

این امر در آغاز پیدایش این مبحث صادق بود ، و امروز نیز چنین است .حساب دیفرانسیل وانتگرال در آغاز برای برآورد ه کردن نیازهای دانشمندان قرن هفتم ابداع شد .حساب دیفرلنسیل با مسآله محاسبه آهنگهای تغییر سرو کارداشت و به دانشمندان امکان می داد شیب خم ها را تعریف کنند ، سرعت و شتاب اجسام متحرک را محاسبه کنند ، زاویه آتش باری توپ را برا ی حصول بیشترین برد بدست آوردند ، و زمانهایی را که سیارات نزدیکترین و دورترین فاصله را ازهم دارند ، پیش بینی کنند .

حساب انتگرال به مسآله تعیین تابع براساس اطلاع از آهنگ تغییرش می پرداخت و این امکان را فراهم می کرد که مکان آتی یک جسم را با توجه به مکان فعلی اش و نیروهای موثر برآن محاسبه کنند ، مسحت نواحی نامنظم واقع در صفحه را بیابند ، طول خمها را اندازه بگیرند و محل مرکز جرم هر جسم دلخواه را بدست آورند .

پیش از پیشرفتهای ریاضی که به کشف بزرگ ایزک نیوتن (1642- 1727) و بارون گوتفرید ویلیهم لایب نیتس (1646-1716) انجامید ، یوهانس کپلر منجم (1571-1630) با 20سال تفکر ، ثبت اطلاعات ، و انجام محاسبات ، سه قانون حرکت سیارات را که اکنون به نام او معرفند ، کشف کرد : هر سیاره در مداری بیضی شکل حرکت می کنند که یک کانونش در خورشید قراردارد .

بردار شعاعی ( یعنی خط واصل بین خورشید و سیاره ) درمدت های مساوی مساحات  مساوی را می روبد .مربع مدت گردش هر سیاره به دور خورشید متناسب است با مکعب فاصله نتوسط آن سیاره از خورشید (اگر T    مدت گردش سیاره به دور خورشید  و D   فاصله متوسط باشد ، نسبت D3 / T2   برای تمام سیاره های منظومه شمسی ثابت است .)

استنتاج قوانین کپلر از قوانین حرکت نیوتن با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال کار ساده ای است .

امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال و تعمیمهای آن در آنالیز ریاضی قلمرو واقعاً گسترده ای دارند و فیزیکدانان ، ریاضیدانان ، و منجمانی که اول با این موضوع را ابداع کردند مسلماً شگفت زده و شادمان می شوند اگر می دیدند که این موضوع چه انبوهی از مسائل را حل می کند و چه رشته های متنو عی آن را برای مدلسازی ریاضی بکار می بردند و به فهم عالم و دنیای پیرامون ما کمک  می کنند.

امیدواریم شماهم دراین شگفت زدگی و لذت سهیم باشید .اقتصاددانان از حساب دیفرانسیل و انتگرال برای پیش بینی گرایش های کلی اقتصادی استفاده می کنند .اقیانوس شناسان از این حساب برای فرمول بندی نظریه هایی در باره جریانهای دریایی بهره می گیرنذ و هواشناسان آن را برای توصیف جریان هوای جو بکار می گیرند .زیست شناسان به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال میزان جمعیت را پیش بینی می کنند و تاثیر جانوران شکار گر مانند روباه با بر جمعیت جانوران شکار شونده تشریح می کنند .

پژوهشگران برای بازبینی اندامهای داخلی بدن طراحی میکنند و دانشمندان علوم فضائی آن را برای طراحی موشکها و کشف سیاره های دور دست بکار می گیرند . روانشناسان از حسا ب دیفرانسیل و انتگرال برای درک توهمات بصری استفاده می کنند و فیزیکدانان آن را برای طراحی سیستمهای ناو بری لخت و مطالعه ماهیت زمان و عالم بکار می برند .مهندسان هیدرولیک به کمک حساب دیفرانسیل و انتگرال الگوهای مطمئنی برای آب بندی شیرها در خطوط لوله می یابند ومهندسان برق با بکارگیری آن تجهیزات  استروبوسکوپی را طراحی و معادلات دیفرانسیلی را که توصیف کننده جریان الکتریکی در کامپیوترها هستند ، حل می کنند .

تولید کنندگان وسایل ورزشی برای طراحی راکتهای تنیس وبیس بال و تحلیل گران بازار سهام برای پیش بینی قیمتها و ارزیابی مخاطره نرخ بهره این حساب را بکار می گیرند و فیزیو لوژیست ها با استفاده از آن تکانه ها ( ایمپا لسها ) ی الکتریکی را در نورنهای دستگاه عصبی انسان توصیف می کنند .

شرکتهای دارویی برای تعیین میزان مناسب موجود ی دارو ، وتولید کنندگان الوار برای تعیین مناسب ترین زمان قطع درختان ، به کمک این حساب نیازمندند .این فهرست عملاً بی پایان است زیرا امروز حساب دیفرانسیل و انتگرال تقریباً درهر زمینه و حرفه ای به طریقی بکار می رود .

حساب دیفرانسیل و انتگرالی که امروز بکار می بریم از نظر تاریخی حاصل تلاسهای افراد بسیاری است .

ریشه های این حساب را تا هندسه کلاسیک یونانی می توان ارزیابی کرد ولی ابداع آن عمدتاً کار دانشمندان قرن هفتم است از میان این دانشمندان می توان رنه دکارت ( 1596-1650 ) بوناونتورا کاوالیری ( 1589-1647 ) پیر دو فرما ( 1601- 1665 ) جان والیس ( 1616- 1703 ) وجیمز گرگوری ( 1638- 1675) را نام برد .

این کار با ابداعات بزرگ نیوتن ولایب نیتس به اوج خود رسید ، آنان پیشگام بودند. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در طی قرن بعد با سرعت زیادی ادامه یافت و هرروز کاربردهای جدیدی برای آن در هندسه ، مکانیک ، مهندسی و نجوم پیدا        می شد .

در زمره مهمترین افرادی که در این زمینه سهم داشتند چندین نسل از برنولیها مخصوصاً یا کوب برنولی ( 1654- 1705) و برادرش یوهان برنولی ( 1677- 1748 ) بودند ( خانواده برنولی همان نقشی را در ریاضیات داشتند که خانواده باخ در موسیقی ) همچنین باید از لئونهارد اولیر (1707-1783 ) که با قدرت ابداع خارق العاده اش چهره اصلی ریاضیات در قرن هیجده ام بود ، یاد کرد و نیز از ژرف لوئی لا گرانژ ( 1736- 1813 ) و آدری ماری لژاندر ( 1752 –1833 ) و بسیاری دیگر .

تکمیل ساختار منطقی روشهای حساب دیفرانسیل و انتگرال را ریاضیدانان قرن نوزدهم از جمله برن هارد بو لتسانو ( 1781- 1848 ) ، آگوستین لوئی کوشی ( 1789- 1857 ) و کارل وایر شتراس ( 1815-1897 ) بر عهده گرفتند .

همچنین قرن نوزدهم شاهد دور شدیدی از تعمیم های جالب حساب دیفرانسیل و انتگرال و پیشرفتهای بزرگ ریاضیات در باره این حساب بود .جان فون نویمان (1903- 1957) یکی از ریا ضیدا نان بزرگ قرن بیستم نوشت :

« حساب دیفرانسیل و انتگرال نخستین دستاورد ریاضیات نوین است ودرک اهمیت آن کار آسانی نیست .به عقیده من این حساب روشن ترا ز هر مبحث دیگری مرحله آغازی ریاضیات نوین را توصیف می کند ، ونظام آنالیز ریاضی ، که توسیع منطقی آن است ، هنوز بزرگترین پیشرفت فنی در تفکر دقیق به شمار می آید .»

فصل چهارم

انتگرالهای خاص

و

روشهای انتگرالگیری

ویژه

در این مقاله بر آنیم که سه هدف زیر را تحقیق دهیم :

1.      معرفی توابع خاص که بر حسب انتگرال تعریف شده اند .

2.      تشریح حل بعضی انتگرالها ی خاص که یا دقیقاً از تعریف تبعیت می کنند یا به نحو یقابل تبدیل به آنها می باشد .

3.      دو فرمول انتگرال گیری ویژه

(1) تابع گاما  ( GAMMA FUNCTION   ) :

فرض کنید        a>0  در این صورت تابع       را تابع گاما می نامند .

نکات :

( 1-I  ) می توان ثابت کرد که به ازای هر a>0    ،     و به ازای هر   ، 

(I-2)  می توان ثابت کردکه   .

( تغییر متغیر  x=u² را به کار برده ، سپس از انتگرال ناسره مهم   استفاده کنید .

(I-3) بعضی انتگرالهای ناسره که اولا دقیقا از شکل تعریف تبعیت می کنند و ثانیا n طبیعی آنها قابل استخراج است ، به کمک فرمول ( 1-I  ) محاسبه می شوند.

(I-4)  بعضی انتگرالهای ناسره که فقط در نمای تابع نمایی با تعریف فوق اختلاف دارند ، یعنی در تابع انتگرالند آنها به جای  e^-2x تابع    e^-f(x) دیده می شود ، با تغییر متغیر  u=f(x)  قابل تبدیل به فرم اولیه اند .

(I-5) بعضی از انتگرالهای معین با کرانهای صفر و یک ، با تغییر متغیر  x=e^-u  قابل تبدیل به فرم اولیه اند .

(II) تابع بتا (BETA FUNCTION) :

فرض کنید .  m,n>0  ، در این صورت تابع  را تابع بتا می نامند .

نکات :

( 1 –II )می توان ثابت کرد که

( تعریف   B(m,n) را نوشته ، سپس تغییر متغیر x=sin² را بکار ببرید . )

( 2 – II ) می توان ثابت کرد که

فصل پنجم

شیخ بهایی

و

طرح چند مساله

یکی از هزاران ریاضیدانان مسلملن بها الدین عاملی (شیخ بها یی ) است .او در سالهای (953-1031) می زیسته و 88 کتاب فارسی و عربی به رشته تحریر در آورده که کتاب خلاصه حساب وی شهرت جهانی دارد .

کتاب مذکور کتابی است درسی ،در ریاضیات مقدماتی که در حدود دویست سال درایران و ترکیه و هندوستان از شهرت فوق العاده ای بر خوردار بوده وبارها به زیور طبع آراسته شده است .اخیراً هم درسال 1976 میلادی کتابی با عنوان ریاضیات بهاالدین عاملی در حلب به چاپ رسیده است .بر خلاصه الحساب شرحهای متعدد به زبانهای فارسی و عربی نوشته اند .

شهرت شیخ بهایی بین مورخان ریاضی از آن جهت است که متن عربی و ترجمه آلمانی کتاب خلاصه حساب در سال 1843 میلادی توسط نسلمان (Nesselmann )  در برلین و ترجمه فرانسوی آن توسط اریستید مار در سال 1846 در فرانسه منتشر شد و درآن موقع که هنوز دانشمندان مغرب زمین از آثار مهم ریاضی دوره اسلامی چنان اطلاعی نداشتند با این کتاب آشنا شدند .

در مورد شیخ کم لطفیهایی نیز شده است منجمله سوتر گفته در اثر ریاضی شیخ بهایی پیشرفت علمی دیده نمی شود ،اولا سخن وی ملاک قضاوت نمی باشد ، ثانیاً شیخ با آن همه اشتغال در فقه و اصول و حدیث و کلام و رجال و تفسیر وریاضیات وحساب و فلسفه وعرفان و صرف و نحو (که کتاب صمدیه وی هنوز در حوزه های علمیه تدریس می شود ) وبلاغت ومنطق و هیئت نجوم و اسطرلاب و عبادات و ریاضیات شرعیه و ختومات و اوراد مآثوره و تفکرات و تعلقات و خلسات ممتد وتدریس وتربیت شاگردان و گاه اقامه جماعت و ارشاد ومنبع و وعظ و خطابه و رسیدگی به احوال مردم و درماندگان و پیگیری امور مسلمین و درگیری های شدید فکری و همچنین با اشتغال به علوم غریبه و تبحر در آنها ، و مشکلات معشیتی با ز به نوشتن این حجم زیاد از تآلیفات و مکتوبات توفیق یافته و باتوجه به مطالب معروض این اثر به نوبه خود شاهکار است واین ترهات و سخنان لغو و بیهوده از کسی صادر می شود که تصویر درستی از فعالیت های یک عالم روحانی ، ربانی ، نمی تواند داشته باشد .

ظاهراً شیخ بهایی مؤلف کتاب حساب دیگری موسوم به بحر الحساب نیز بوده است که متاسفانه نسخه ای از این کتاب تا کنون یافت نشده است .

وی سرانجام در سال 1031  در گذشت و بدن مطهر اورا در بارگاه آستان ملک پاسبان امام رضا (ع)دفن نمودند .

لطیفه ریاضی

( ترجمه متن اصلی ): مخرج مشترک کسور تسعه را می توان از ضرب ایام ماه یعنی عدد ((30)) در تعداد ماهها که ((12)) باشد و ضرب حاصل ضرب آنها یعنی ((360))در ایام هفته ((7)) است یا حاصل ضرب کسر هایی که در آن حرف (ع) وجود دارد بدست آورد و مخرج مشترک کسور

نه گانه :

 ] 10/1 و 9/1و8/1و7/1و6/1و5/1و4/1و3/1و2/1 [  که عدد ((2520)) باشد می توان از دو طریق لطیف و بدیع دیگری استخراج کرد :

به بیان دیگر : آنکه تعداد روزهای ماه را که 30 باشد در تعداد برجها که 12 باشد ضرب می کنیم سپس حاصل یعنی 360 را در ایام هفته که 7 باشد ضرب نموده حاصل ، حاصل مخرج مشترک کسور نه گانه می شود .

به بیان دیگر : آنکه از کسور تسعه آنچه را که در اسم آن حرف عین وجود دارد در نظر گرفته در یکدیگر ضرب می کنیم و آن چهار کسر ،ربع (4/1) ، سبع (7/1) تسع (6/1) عشر( 10/1)است که حاصلضرب 2520می شود .

(متن عربی ) و سئل امیر المومنین علیه السلام عن ذلک فقال اضرب ایام اسبوعک فی ایام سنتک .

(ترجمه فارسی ) از حضرت امیر المومنین (ع) در مورد مخارج کسور نه گانه سئوال شد حضرت فرمود ند :

ایام هفته ات را در ایام سال ضرب کن .

« فاضل جواد » در شرح عبارت فوق گفته :

حضرت امیر علیه السلام در حین خطبه خواندن بودند که مورد سوال قرار گرفتند از اینکه آن کدام عددی است که مجموع کسور تسعه را داشته باشد و نیز فرهاد میرزا در کتاب کنز الحساب از کتاب زهرالربیع جزایری نقل می کند که شخص یهودی از جانب امام المتقین حضرت علی ابن ابیطالب (ع) از اقل عددی که مجموع کسور تسعه را داشته باشد سئوال کرد .

حضرت فرمودند : هرگاه بگویم ایمان می آوری ؟ یهودی قبول کرد حضرت فرمود ند : ایام هفته را در ایام سال ضرب کن (360=30×12) است ضرب کن وآن شخص یهودی به شرف اسلام مشرف شد.

قبل از آنکه قسمتی دیگر از کتاب خلاصه الحساب را مورد کنکاش قرار دهیم توضیح یک مطلب قابل توجه است .در آثار ریاضی اسلامی برخی  از اصلاحات همچون نمادهایی استعمال می شدند که زمینه را برای وضع جبر علامتی فراهم کرده اند ریاضیدانان مسلمان در کتابهای جبر و مقابله خود « اصل جبر بدان معنی بود که می توان جمله ای را با تغییر علامت از یک معادله به طرف دیگر منتقل کرد و اصل مقابل یعنی آنکه می توان دو مقدار برابر را از دو طرف معادله حذف کرد».

کلمه «شی» را به جای مجهول بکار می بردند .چون اولین ترجمه کتابهای ریاضی اسلامی به زبان اسپانیایی انجام گرفت ، لغت شی را باهمان تلفظ به صورت (XeI ) اختیار کردند که بعدها خلاصه شد و Xجانشین آن گردید .

روش امروزی جبر ، روش علامتی است که وضع آن ویت – ریاضیدان فرانسوی و نقطه عطف آن بدست ریاضیدانان مسلمان شکل گرفت .

مساله

نیزه ای را در حوضی قرار داده اند به نحوی که مقدار پنج ذرع ازآن دربیرون آب است ، سپس آن را طوری مائل می کنیم تا انتهای آن که در عین حوض است تکان نخورد فقط بدنه و مقداری که از آب خارج واقع شده تمایل پیدا کند تا اینکه سرنیزه با سطح آب ملاقات کند .بعد وقتی فاصله بین مطلع نیزه « نقطه ای که نیزه ازآنجا بیرون شده » و نقطه ملاقات سرآن با سطح آب را اندازه گرفتیم 10 ذرع بود حالا شما معین کنید مجموع طول نیزه چقدر است .

سطح آب  10

       نیزه قائم  x                                       نیزه مایل (x+5)

متن برهان را به زبان ریاضی قدیم

از طریق جبر فرض می شوذ مقدار غائب ( زیرآب ) شی  X  باشد از طول نیزه کلاً «5+ شی » است و بدیهی است که وقتی نیزه را کج کردیم وتر مثلث قائم الزاویه ای می شود که یک یاز ضلعهایش «10» ذرع است و ضلع دیگر به اندازه تکه غائب از نیزه است .

پس مربع کل نیزه یعنی 25 بعلاوه مال «مجذور شئی » ]بعلاوه 10شئی ( مال + 10شئی +25 )= (شئی +5) .(شئی +5) [ مساوی است با مربع 10 بعلاوه مربع شئی ( 10× 10×+شئی × شئی ) یعنی 100بعلاوه مال طبق شکل عروس ( شکل چهل وهفتم اشکال التآسیس ).

وبعد از اینکه از طرفین دستگاه جبری مشترکات (مفهوم مقابله ) را حذف نمودیم با قی می ماند 10شئی مساوی با هفتاد و پنج و خارج قسمت که 2/71 با شد مقدار غائب از نیزه است پس طول نیزه« 2/121 » می شود .چون مربع هر وتر در مثلث قائم الزاویه  مساویست با مجموع مربع در ضلع دیگر پس داریم :

 2=X2+10 2( X+5 )

          (X2+10X+25=X2+100)

10X=75            ,   X=5/7

پس طول نیزه نیز برابر است با :        5/12=5+5/7

البته برای بدست آوردن مطلوب در این مسئله و نظائرش راههای دیگری نیز و جود دارد که با ذکر ادله در کتاب بحرالحساب ذکر شده که خدای تعالی مارا برای اتمام کتاب موفق فرماید .

]  پایان گفتار شیخ بهایی در این مسآله [

در همین مسآله یکی از طروقی که در آنجا ذکر شد .قاعده حساب خطائین است ، به صورت زیر :

طول نیزه در فرض اول : 15

مربع نیزه : 225= 15×15

طول یک ضلع : 10=5-15

مربع یک ضلع : 100=10×10

مربع ضلع دیگر : 100= 10×10                       ، 200= 100+100

خطاء اول : 25= 200-225

طول نیزه در   فرض دوم :  20

مربع نیزه : 400= 20×20

طول یک ضلع :  15= 5-20

مربع یک ضلع : 225= 15×15

مربع ضلع دیگر 100= 10×10                   ، 325= 225-100

خطا ءدوم : 75= 325-400

محفوظ اول : 1125 = 75×15

محفوظ دوم : 500=25×20

تفاضل محفوظین : 625= 500-1125

تفاضل خطائین : 50=25-75

طول نیزه 5/12 = 2/1   12= 50  : 625 .  

فصل ششم

هم ارزی در حد و خطرات آن

چکیده

تجربیات تدریس درس  ریاضی عمومی (1) ، درچندین سال گذشته باعث شد که بار دیگر مسأله هم ارزی و عواقب آن را با یادآوری مطالب مهم بهمراه مثالهای مناسبی جمع آوری نمایم .

1.      بینهایت کوچکها و خواص اساسی آنها

تعریف 1.1

فرض کنید  و  آنگاه گوییم f(x) در همسایگی a بینهایت کوچک است .

مثال 1.2 تابع f(x)=(x-1)²  وقتی که x بسمت  میل کند ، بینهایت کوچک است .

قضیه 1.4 فرض کنید f(x)=b+g(x) ؛ بطوریکه b یک عدد و g(x) یک بینهایت کوچک درهمسایگی a باشد در این صورت 

مثال 1.5 فرض کنید  . در این صورت  ،  بطوریکه x بسمت  میل کند یک بینهایت کوچک است و همچنین  

قضیه 6.1 فرض کنی و  . در این صورت  

قضیه 7.1 حاصلجمع تعداد متناهی تابع بینهایت کوچک درهمسایگی a  ، بینهایت کوچک در همسایگی a هست.

قضیه 8.1 حاصلضرب یک بینهایت کوچک در همسایگی a در یک تابع کراندار ، یک بینهایت کوچک در همسایگی a هست .

قضیه 9.1 فرض کنید f(x) یک بینهایت کوچک در همسایگی a باشد و   در این صورت

2. مقایسه بینهایت کوچکها و شرایط هم ارزی در حد

تعریف 1.2

فرض کنید f(x) و g(x) بینهایت کوچکهای هم  مرتبه در همسایگی a باشند و

  

گوییم f(x) و g(x) بینهایت کوچکهای هم مرتبه در همسایگی a هستند .

مثال 2.2 فرض کنید f(x)=x و g(x)=sin2x . در این صورت  در نتیجه f(x) و g(x) بینهایت کوچک هم مرتبه در همسایگی   هستند .

تعریف 3.2

فرض کنید f(x)  وg(x)  بینهایت کوچک در همسایگی a باشند و    در نتیجه f(x) بینهایت کوچک از مرتبه کمتر از بینهایت کوچک g(x) در همسایگی a است.

مثال 4.2 فرض کنید f(x)=x و .g(x)=xⁿ در این صورت  در نتیجه f(x) بینهایت کوچک از مرتبه کوچکتر از بینهایت کوچک g(x) است .

تعریف 5.2

بینهایت کوچک g(x)  در همسایگی a را نسبت به بینهایت کوچک f(x)  در همسایگی اش از مرتبه k نامند ، اگر f^k(x) و g(x) بینهایت کوچک هم مرتبه باشند .

مثال 6.2 فرض کنید f(x)=x و g(x)= x³ . در این صورت g(x) بینهایت کوچک از مرتبه 3 نبت به بینهایت کوچک f(x) در همسایگی    است زیرا

 

تعریف  7.2

فرض کنیf(x) وg(x)  در همسایگی a بینهایت کوچک باشند و   گوییم f(x)  و g(x) د و بینهایت کوچک هم ارز در همسایگی a  هستند می نویسیم~ .g(x).f(x)

مثال 8.2 فرض کنید f(x)=x و g(x)= sin x . در این صورت .sin x ~ x

قضیه 9.2 فرض کنید f(x) و g(x)  در همسایگی a بینهایت کوچک هم ارز باشند . در این صورت f(x)-g(x) یک بینهایت کوچک از مرتبه بالاتر از بینهایت کوچکهای f(x) و g(x)  در همسایگی a  است .

مثال 10.2فرض کنید f(x)=x  و g(x)=x³+x  در این  صورت

لذا .f(x)~g(x)

g(x)-f(x)=x³  یک بینهایت کوچک در همسایگی  .  از مرتبه بالاتر از بینهایت کوچکهای f(x) و g(x) است . زیرا

 

و

تذکر : اگر f(x) و g(x) بینهایت کوچک در همسایگی a باشند و  دارای حد نباشد و یا بسمت  میل کند ، آنگاه بینهایت کوچکهای f(x) و f(x) قابل مقایسه نیستند .

مثال 11.2 فرض کنید f(x)=x و  فرض کنید f(x) و g(x) در همسایگی .  بینهایت کوچک هستند . ولی

موجود نیست . لذا f(x) و g(x) قابل مقایسه نیستند .

قضیه 12.2 مجموع دو بینهایت کوجک از مرتبه مختلف با آنکه مرتبه کمتر دارد معادل است .

قضیه 13.2 اگر دو بینهایت کوچک را به مقادیر معادل آنها تبدیل کنیم حد نسبت آنها تغییر نمی کند .

3. هم ارزی در حد و خطرات آن

آنچه که در گفتار و محاسبات اغلب دانشجویان دیده می شود این تصور است که :

در محاسبه حد یک تابع در نقطه a بجای هر تابع شرکت کننده در آن تابع یک تابع هم ارز آن را جایگزین می کنند .

این امر با توجه به مسائل متداول طرح شده در تستهای کنکور و مسائل دبیرستان چون جواب صحیح می دهد ، لذا ذهن دانش آموزان را از اصل مسأله که در واقع ارتباط نزدیک موضوع هم ارزی یا بسط تیلور و یا مکلورن دارد دور می سازد . و اساساً سخن از این دو مهم نمی شود . بدین جهت بجا است که اصول اولیه هم ارزی که به نظر من بسی مشکل است ابتدا بطور کامل بیان شود و سپس با آگاهی از بسط تیلور و مکلورن موضوع مطرح شود .

در زیر مثالهایی آورده می شود که عملاً به تجربه در تدریس درس ریاضی عمومی بر من ثابت شده است که اغلب دانشجویان تابع هم ارز قسمتی از تابع داده شده را جاگذاری می کنند و بدین جهت جواب درست را نمی توانند محاسبه کنند .

فرض کنید f(x) و g(x) دو بینهایت کوچک در همسایگی a باشند و  در این صورت مقدار  ، چه خواهد بود ؟

مثال 1.3   را محاسبه کنید .

حل :

اگر با روش متداول دبیرستانی حل کنیم بایستی داشته باشیم :

 x² + x ~ x ، لذا

مثال 2.3   را محاسبه کنید .

مثال 3.3   را محاسبه کنید .

مثال 4.3  را محاسبه کنید .

مثال 5.3   را محاسبه کنید .

حل : این مسأله را به دو روش حل خواهیم کرد .

(1) ابتدا بدون استفاده از روش هم ارزی و دستور هوپیتال حل می کنیم . ابتدا ثابت می کنیم :

ابتدا تغییر متغیر y=3x را انجام می دهیم

لذا  در نتیجه

اکنون می توانیم

را محاسبه می کنیم :

حال بسادگی می توان دید که

(2) حال مسأله را به روش هم ارزی و هوپیتال حل می کنیم .

اگر تابعی که می خواهیم حد آن را محاسبه کنیم ساده کنیم خواهیم داشت : 

می دانیم :

می توان نشان داد که  و

حال بنا به قضیه 13.2 داریم :

حال از دستور هوپیتال استفاده می کنیم :

لذا

مراجع

[1]  Stephan C. Carlson and Jerry M. Metzger. A

Recursively Computed Limit . The College

Mathematical Journal, Vol. 21, No.3, May 1990.

(222-224).

[2]  B.B. Demidovich. Problem in Mathematical

Analysis.

[3]  N. Piskunov Differential and Integral Calculus.

 

 

 

 

فصل هفتم

 

 

توسیعهای ساده میدانها

1-  مقدمه

توسیع میدانها در نظریه گالوا از اهمیت بسیار ویژه ای برخوردار است . به طوری که اغلب محاسباتی را که در یک میدان قابل اجرا نیست می توان در میدان توسعه یافته آن انجام داد .

فرض کنید F میدانی دلخواه باشد . در این صورت E را یک توسیع میدان از F نامیم ، هر گاه F با زیر میدانی از E یکریخت باشد ، یا در حالت خاص F  زیر میدانی از E باشد که آن را با E:F نشان می دهیم .

به آسانی ملاحظه می شود که  اگر M زیر مجموعه ای از میدان E باشد ، آنگاه زیر میدان E که به وسیله M تولید می شود و شامل F می باشد یک توسیع میدان ازF است ، که آن را با

F(M): F

نشان می دهیم .

در حالت خاص ، اگر M={a₁,...,a_n} ، آنگاه توسیع

F(a₁,...,a_n):F

را یک توسیع متناهیاً تولید شده گوییم به ویژه اگر M={a} مجموعه ای تک عضوی باشد ، آنگاه

F(a):F

را یک توسیع ساده نامند . توسیعهای ساده از اهمیت خاصی برخوردارند و خواص جالب توجهی دارند . به عنوان مثال اگر  عنصری جبری روی F باشد ، آنگاه درجه توسیع F(a):F که همان بعد فضای برداری F(a) روی F است ، برابر با درجه چند جمله ای کمین a رویF می باشد ، یعنی

[F( ):F]=deg_a f(x)

که f(x) چند جمله ای کمین  روی F است .

در این مقاله کوتاه سعی شده است ، بعضی از توسیعهایی که به نظر ساده نمی آیند . نشان دهیم که در واقع ساده هستند .

2- توسیع ساده

یکی از تمرین هایی که معمولاً در درس جبر 2 دوره کارشناسی ریاضی مورد بحث قرار می گیرد ، آن است که توسیع یک توسیع ساده است . در واقع به آسانی می توان نشان داد که

سؤال مورد بحث ما در این مقاله این است که آیا می توان مطلب فوق را با اضافه کردن چند رادیکال به میدان  اثبات نمود ؟ این سؤال در مقاله ای که توسط دکتر رجب زاده مقدم] 1[در همین شماره مطرح شده است ، که جواب مثبت آن را در قضیه زیر ارائه خواهیم کرد .

قضیه : فرض کنید  میدان اعداد گویا باشد . در این صورت به ازای هر عدد طبیعی a_n,...a₂,a₁ که مربع کامل نباشند ،

به عبارت دیگر توسیع

یک توسیع ساده است .

اثبات به وضوح دیده می شود که

لذا بایستی ثابت کنیم

به روش استقراء روی n عمل می کنیم ، حکم به ازای n=2 برقرار است (چرا؟) . حال فرض کنید که حکم به ازای n-1 برقرار باشد ، یعنی

نشان می دهیم

قرار دهید   ، با استفاده از فرض استقرار داریم :

از جمع روابط بالا نتیجه می شود که

(1)   

از طرف دیگر

(2)       

اکنون  از دو رابطه (1) و (2) حذف می کنیم . از این رو خواهیم داشت

اما  از این رو به آسانی ملاحظه می شود که

 بنابراین

در نتیجه

و حکم برقرار است .

روش نلدرمید

1) روش نلدرمید

در سال 1965 نلدرومید کارایی روش هکس، اسپندلی، هیمسورف را با تعیین
سیمپلکس های بدون قاعده افزایش داده اند.

روش آنها یکی از روشهای کارآمد معمولی و در دسترس بود که اگر تعداد متغیرها فراتر از 5 یا 6 نبود به خوبی کار می کرد. مسئله مینیمم سازی f(x) را در نظر بگیرید. فرض کنید x1 یک تخمین اولیه از x* باشد. و فرض کنید رئوس اولیه سیمپلکس  به طوری که :  که  بردارهایی که متناظر و اسکالرهای  براساس فاصله ممکن کمیتهای  انتخاب می شوند و یا می توان

           (A-1)                 

که در آن  بردارهایی که متناظر و  است در سیمپلکس کنونی فرض کنید:      

 یک راس با بیشترین مقدار تابع باشد.

 یک راس با دومین مقدار بعد از بیشترین مقدار تابع باشد.

 یک راس با کمترین مقدار تابع باشد.

 مرکز ثقل تمام رئوس به جز راس  باشد. یعنی:

همچنین فرض کنید  و ...

سپس روش پیشنهادی نلدرمید را برای min سازی f(x) به صورت زیر توصیه می کنیم:

1) راس های سیمپلکس اولیه را همانطور که در بالا شرح داده شد انتخاب کنید و مقدار f(x) را برای هر کدام از آن راس ها مشخص کنید.

2) بازتاب: بازتاب x_h را با استفاده از عامل بازتاب  تعیین کنید یعنی  را طوری پیدا کنید که

 یا

3) اگر  پس  را با  جایگزین کنید و سپس به مرحله 2 بازگردید.

4) انبساط: اگر  ، سیمپلکس را با استفاده از عامل بسط  بسط دهید یعنی  را به صورت زیر پیدا کنید. (شکل 3-3)

یا

الف) اگر  باشد  را با  جایگزین کنید و به مرحله 2 بازگردید.

ب) اگر  را با  جایگزین کنید و سپس به مرحله 2 بازگردید.

5) انقباض: اگر  باشد. سیمپلکس را با استفاده از عامل انقباض  منقبض کنید. دو حالت در نظر بگیرید:

الف) اگر  (شکل 3. 4) پیدا کنید  را چنان که :

ب) اگر  (شکل 3. 5) پیدا کنید  را چنان که :

اگر (5 الف) یا (5 ب) به کار برده شود دوباره دو حالت را بررسی می کنیم:

ج) اگر و  باشد  را با  جایگزین کنید و به مرحله (2) بازگردید.

د) اگر  یا  اندازه سیمپلکس را با نصف کردن فاصله از  کاهش دهید و به مرحله (2) بازگردید.

نلدر و مید،  را به ترتیب برای عامل های انقباض وانبساط وبازتاب پیشنهاد می کنند.

یک معیار همگرایی مناسب برای پایان محاسبه وقتی است که انحراف استاندارد از  کمتر از مقدار مقرر  در نظر گرفته شده باشد یعنی هنگامی که:

که در آن

باکس و دیویس و سوان معیار مطمئن تری پیشنهاد می کنند: بدین ترتیب که S را بعد از هر تعیین مقدار تابع k ، تعیین کنیم که k مقرر شده است. هنگامی که دو مقدار متوالی از s کمتر از  شد و مقدارهای متناظر از  با کمتر از مقدار مقرر شده تفاوت داشت توقف می کنیم.

 

2) اکسترمم کلی از یک جستجوی اکسترمم نسبی با شروع های احتمالی

بهینه کننده های موضعی می توانند جستجوی کلی را تکمیل کنند وقتی که مکررا از نقاط مختلف شروع شوند. آسان ترین روش شروع، جستجوی با قاعده از نقاط است یا
می توان نقاط را تصادفی انتخاب کرد. در مورد اول، ما احتیاج داریم بدانیم که برای محاسبه ی اندازه ی شبکه چه تعداد شروع انجام می شود. در مورد بعدی از اطلاعات ما درباره ی جستجوهای گذشته استفاده نمی شود. ممکن است اکسترمم های نسبی یکسانی در چندین دفعه پیدا کنیم که این یک تلاش پرهزینه و غیر ضروری است. در کاری که پیش رو داریم تعداد شروع ها از قبل نامعلوم است زیرا این باعث می شود تعداد زیادی بررسی های تحمیلی بر الگوریتم وارد شود و هزینه ی هر جستجوی موضعی نامعلوم است. یک روش شبکه ای نمی تواند در اینجا کاربردی باشد. همچنین فضایی از جستجوهای موضعی قبل با ایجاد چگالی احتمال ویژه از شروع یک جستجو حفظ می شود.

2-1) شروع احتمالی:

این روش می تواند به عنوان نسخه ی هموار از تکنیک های نموداری در نظر گرفته شود، که نمودارها می توانند در نقاط نمونه ی انتخاب شده متمرکز شوند.

احتمال  به صورت زیر نوشته میشود.

(1)                                                                                    

که N تعداد نقاط نمونه ی قبلی است و  تابع چگالی احتمال چند بعدی نرمال است.

(2)                              

که n بعد است (تعداد متغیرها) و  ماتریس کوواریانس است.

(3)                                                                                                     

واریانس  به وسیله رابطه زیر برآورد می شود.

(4)                                                                                             

که  یک پارامتر مثبت است که طول گوسی را کنترل می کند و  و  کران ها درj  امین جهت هستند. به منظور حفظ آسانی و کم هزینه بودن روش تا حد امکان واریانس ها ثابت نگه داشته شده اند. این استراتژی به علت بزرگی تعداد بررسی ها
هزینه ای خواهد داشت.

چگالی احتمال  است اما چون یک دامنه کراندار  بررسی می شود پس یک احتمال  معرفی می شود.

(5)                                                                       

که  می باشد. چگالی احتمال یک نقطه نمونه گیری جدید ، چگالی احتمال یک نمونه قبلی نیست. برای برآورد آن فرض های زیر را می پذیریم. فقط بزرگترین نقطه  از  از نمونه ی داده شده در تکرار بعدی احتمال صفر دارد. بنابراین احتمال  به صورت زیر محاسبه می شود:

(6)                                                                                          

که  است.

شکل (1) ،  را در یک دامنه ی دو بعدی تصویر می کند.

ماکزیمم در ابتدا دقیقا به دست نمی آید. اولا به خاطر مقدار عددی آن و ثانیا همان طور که در بخش 301 خواهیم دید آن برای جستجو زیان آور است در عوض نقاط  به طور تصادفی انتخاب شده و نقطه ی ماکزیمم  برای شروع جستجوی بعدی انتخاب شده است. توجه کنید که به منظور ماکزیمم سازی  محاسبه M از(5)وH از(6)لازم نیست چرا که ماکزیمم  می نیمم P است بنابراین فقط P محاسبه می شود.

سه پارامتر بر چگالی احتمال P و در نتیجه بر نقاط شروع تاثیر می گذارند:

1) نقاطی که برای محاسبه ی احتمال  نگهداری می شوندP

2) تعداد نقاط تصادفی استفاده شده برای ماکزیمم سازی

3) پارامتر طول گوسی  

آنها در نتایج عددی (بخش 3-1) بحث شده اند. فرآیند شروع احتمالی برای هر بهینه کننده ی موضعی می تواند کاربردی باشد. در این مورد الگوریتم نلدرمید بهبود یافته پیشنهاد میشود.

2-2) جستجوی نلدرمید بهبود یافته :

الگوریتم GBNM از الگوریتم نلدرمید به علت مجموعه ای از انتخاب های شروع متفاوت است(دیگر تفاوتها در رابطه با قیدها هستند).

هدف از شروع ها دو چیز است:

اولا: شروع های احتمالی روی چگالی P (رابطه 1) پایه گذاری شده است. هدف از تکرار جستجوهای اکسترمم های نسبی رسیدن به یک مقدار کلی ثابت است،  که به آن رسیده ایم.

این شکل کلی روش است. در انجام شروع احتمالی رایج اندازه ی سیمپلکس جدید، a (تعریف شده در رابطه ی A-1) ، یک متغیر تصادفی یکنواخت به دست آمده بین 2% و 10% از کوچکترین بعد دامنه است.

 ثانیا : شروع‌ها همگرایی الگوریتم را بررسی کرده و بهبود می‌دهند.   شکل‌های دو شروع

   که همگرا هستند با شروع یک سیمپلکس جدید به بهترین رأس جاری مرتبط هستند. امتحان کوچک و بزرگ بودن شروع‌ها یک سیمپلکس کوچک و بزرگ با اندازه‌های به ترتیب a_s وa ، خواهدبود.

همگرایی برای جستجوهای اکسترمم نسبی نلدرـ مید از میان سه معیار زیر تعیین می‌شود. امتحان کوچک، مسطح یا تباهیده بودن سیمپلکس.

سیمپلکس کوچک است اگر :

(7)                              

که i  امین مولفه از K امین یال،  و  کران‌های i امین راستا و  تعیین کننده مجاز است.

سیمپلکس مسطح است اگر:

که f_H و f_L بزرگترین و کوچکترین توابع هدف در سیمپلکس و مقدار مجاز است.

سیمپلکس تباهیده است اگر : در زیر فضایی از دامنه‌ی جستجو ادغام شده باشد. این رایج‌ترین حالت معمول در روش جستجوی نلدرـ مید است زیرا روش نمی‌تواند از زیرفضا رها شود، به طور دقیق تر یک سیمپلکس در اینجا تباهیده نامیده می‌شود اگر آن به اندازه‌ای کوچک باشد که در تماس با یک متغیر کراندار نباشد و یکی از دو شرط زیر را برآورده سازد.

(9)                      یا                     

که e^k ، kامین یال است. e ماتریس یال و ||0|| نرم اقلیدسی را نمایش می‌دهد و  و  ثابت‌های مثبت کوچک می‌باشند. ارتباط سه شروع‌ها و سه آزمون همگرایی در الگوریتم GBNM در شکل (2) نمایش داده شده است.

حافظه‌ای همگرایی قبلی تعیین شده را نگه‌داری می‌کند. که این از محاسبه غیرضروری روی نقاط قبلی جلوگیری می‌کند. (سومین امتحان، T3 در فلورچارت شکل2) هنگامی‌که سیمپلکس مسطح است یک شروع احتمالی انجام شده است. (T4).

سیمپلکسی که تباهیده شده است موجب یک امتحان بزرگ تکرار می‌شود (T₈). هنگامی که بهینگی از همگرایی روی نقاط نامطمئن است، چنین همگرایی روی متغیری کراندار که سیمپلکس تباهیده دارد رخ می‌دهد. (T₆) امتحان کوچکی که کنترل بهینگی را متوقف می‌کند انجام می‌شود.

اگر سیمپلکس کوچک به نقاط همگرایی یکسان برگردد آن نقطه بعنوان بهینه موضعی در نظر گرفته می‌شود.

این باید یادآوری شود که شرایط کان – تاکر از برنامه‌ریزی ریاضی قابل اجرا برای قالب‌های دیفرانسیل ناپذیر کنونی نیست. تولرانس‌ها برای سیمپلکس‌های کوچک و تباهیده یعنی و ] ، [ به ترتیب ممکن است به سختی به دست آیند. پس یک سیمپلکس که کوچک است ممکن است قبلاً  تباهیده باشد، اگر یک تباهیدگی دردو نقطه ی متوالی یکسان

یافت شود نقطه بعنوان یک بهینه ی ممکن گرفته می شودویک شروع احتمالی نامیده میشود.متشابها اگر یک تباهیدگی بعد از یک امتحان کوچک رخ دهد این نقطه نیز بعنوان یک بهینه ی ممکن در نظر گرفته میشودویک  امتحان بزرگ باید انجام شود.

3) نتایج عددی

در این قسمت روش GBNM را با یک الگوریتم ریشه‌گیری (EA) برای یک مسئله مقایسه می‌کنیم. الگوریتم ریشه‌گیری یک ساختار تدریجی ، رمزگذاری واقعی و تقاطع پیوسته و جهش گوسی با واریانس  دارد. برای بیان جزئیات پارامترهای EA انتخاب شده هر بررسی آن‌هایی هستند که در بین صد سه تایی مستقل از میان همه‌ی ترکیبات با اندازه های جمعیت (20 یا 50) و احتمال های جهش( 15/0 یا /20 و احتمال‌های تقاطع( 4 /0 یا 5/0) بهتر عمل می‌کنند.

3- 1انتخاب پارامترهای GBNM

3-1-1پارامتر طول گوسی، a:

 در این کار a مجموعه‌ای با 01/0 که به معنی یک تقسیم استاندارد از روش گوسی که حدود 20/0 دامنه را پوشانده است می‌باشد.

3-1-2 نقاط نگهداری شده برای محاسبه احتمالی

سه استراتژی در رابطه با احتمال یافت نشدن حداقل یکی از می‌نیمم‌های موضعی، P_nfm مقایسه شده بودند.

X_i ها بکاررفته در رابطه (1) و (2) :

(i) – نقاط شروع

(ii) – نقاط شروع و نقاط همگرایی موضعی

(iii) – همه نقاط نمونه‌ای در طول جستجو می باشند.

از آزمونهای مقدماتی نتیجه شده است که استراتژی (iii) برای تحلیل، حافظه و زمان می‌خواهد، که نسبت به استراتژی‌های (i) و (ii) در سطح پایین تر قرار دارد.

بنابراین دلایل، استراتژی (iii) برای بررسی‌های بیشتر در نظر گرفته نمی‌شود.

استراتژی‌های (i) و (ii) با Nr متغیر از 1 تا 1000 روی سه تابع زیر بررسی می شوند.

F₁(x₁,x₂)=2+0.01(x₂-x₁²)²+(1-x₁)²+2(2-x₂)²+sin(0.5x₁)sin(0.7x₂x₁)

x₁,x₂Î[0,5]

f₂(x₁,x₂)=(4-2.1x₁²+x₁²)x₁²+x₁ x₂+(-4+4x₂²)x²₂

x₁,x₂Î[-3,3]

f₃(x₁,x₂)=(x₂-x₁²+x₁-6)²+10(1-)cos(x₁)+10

x₁Î[-5,10]   ,     x₂Î[0,15]

f₁ چهار مینیمم و f₂ شش و f₃ سه می‌نیمم دارد( شکل 3 را ببینید) . f₂ به عنوان تابع شش کوهانه، f₃ به عنوان تابع "برانینز آرکوس" شناخته شده است. برای استراتژی‌های اول و دوم نتایج پس از 500 تحلیل و بر اساس 100 اجرای مستقل در جدول (1) و (2) به ترتیب نمایش داده شده‌اند. استراتژی دوم بطور مستقل از N_r بهتر عمل می‌کند . این نشان می‌دهد که نقاط شروع و همگرایی موضعی به اندازه کافی در توپولوژی اساس تکرار جمع‌بندی می‌شوند این قالب برای به روز کردن P انتخاب شده است.

3-1-3 تعداد نقاط تصادفی N_r

اگر Nr=1 باشد شروع‌ها تصادفی است. اگر N_r بزرگ باشد نقاط شروع بر اساس نقاط شروع و همگرایی جستجوهای قبل توزیع می‌شوند که یک الگوی هندسی کامل را به وجود می‌آورد.

اگر Nr یک عدد کوچک بزرگتر از یک باشد شروع‌ها تصادفی اریب هستند. باید یک سازگاری بین استراتژی‌های شبکه‌ای و تصادفی دیده شود. مقدار بهینه ی N_r وابسته به تابع آزمایش است اگر اساس تکرار، توزیع با قاعده باشد شروع‌ها با یک الگوی با قاعده (یعنی N_r بزرگ) بهینه هستند و برعکس.

از نتایج آزمایش‌ها در سه تابع چندوجهی ارائه شده در جدول (2) استراتژی بهینه، N_r بزرگ برای f₁ و f₃ است در حالیکه برای f₂ ،N_r=2 می باشد.

N_r=10 بعنوان یک سازگاری برای تابع بهینه ی کلی انتخاب شده است.

3-2- تابع می‌نیمم سازی گریوانک

تابع آزمایش می‌نیمم سازی گریوانک را به صورت زیر در نظر بگیرید

(11)                            

x_iÎ[-1000,1000]

که بعد n=12 و می‌نیمم کلی برابر 1.0- در X_i=0.0 و n وi=1 .این تابع چندین می‌نیمم موضعی دارد شکل (4) آن را در حالت یک بعدی (n=1) و xÎ[-20-20] نشان می‌دهد جدول (3) GBNM و بهترین نقطه در الگوریتم ریشه‌گیری جمعیت (EA) در 200، 1000، 5000 و 10000 تابع رافراخوانی می‌کند.

جدول (3) صد اجرای مستقل با نقاط شروع GBNM که به طور تصادفی انتخاب شده‌اند را معدل گیری می‌کند. معیار زیر با فرض اینکه EA به می‌نیمم کلی همگرا شده است بکار می‌رود.

(12)                                              

که x بهترین نقطه یافت شده و x می‌نیمم کلی است. نتیجه‌ی کلی این است که روش GBNM به طور متوسط مقادیر تابع هدف بهتر با احتمال یافتن بیشتر می‌نیمم کلی از آنچه EA انجام می‌دهد را می‌یابد. فایده‌ی روش GBNM ذاتاً در تعداد کم بررسی‌ها و رشد پایین مقادیر عددی است.

4- نتیجه‌گیری

یک روش بهینه سازی کلی و موضعی بر اساس شروع احتمالی نشان داده شد. جستجوهای موضعی به وسیله الگوریتم نلدرمید بهبود یافته تعیین می‌شوند که متغیرهای مساله می توانند کراندار یا با قیدهای نامساوی داده شده باشند.این روش جستجوی نلدرمید کراندار یا کلی (GBNM) نامیده می‌شود که نیاز به حساسیت و ساختار مورد استفاده‌ی کامپیوتر ندارد و بهینه های موضعی که شامل بهینه ی کلی است را با افزایش احتمال که با افزایش دفعات محاسبه انجام پذیر است را تعیین می‌کند.

دیفرانسیل و انتگرال

خط مماس

بسیاری از مسائل مهم حساب دیفرانسیل وانتگرال، به مسئله پیدا کردن خط مماس وارد بر منحنی در یک نقطه معین روی منحنی مربوط می شوند. در هندسه مسطحه اگر منحنی دایره باشد، خط مماس در یک  نقطه P روی دایره، به عنوان خطی تعریف می شود که دایره را فقط در یک نقطه قطع می کند. این تعریف در حالت کلی برای همه منحنیها صادق نیست. به عنوان مثال، خطی که می خواهیم در نقطه P بر منحنی مماس باشد، منحنی را در نقطه دیگری مانند Q قطع خواهد کرد.

در این بخش، تعریف مناسبی از خط  مماس بر نمودار یک تابع در نقطه ای روی نمودار، ارائه می دهیم. برای این کار، ضریب زاویه خط مماس در یک نقطه را تعریف می کنیم، زیرا اگر ضریب زاویه یک خط و نقطه ای روی آن معلوم باشند، آن خط معین می شود.

تصور کنید تابع f در x₁ پیوسته است. می خواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار f در نقطه P(x₁,f(x₁))  را به دست آوریم. فرض کنید I بازه بازی باشد که شامل x₁ است و f بر این بازه تعریف شده است.نقطه دیگر Q(x₂,f(x₂)) را روی نمودار f در نظر می گیریم به طوری که x₂ نیز در I  باشد. خطی را که از p و Q می گذرد رسم می  کنیم. هر خطی که از دو نقطه یک منحنی بگذرد، خط قاطع نامیده می شود؛ پس خط گذرنده از p و Q یک خط قاطع است. خط قاطع به موازی مقادیر مختلف x₂ رسم شده است . یک خط قاطع خاص نشان داده شده است. در این شکل Q در طرف راست P قرار دارد. معهذا، Q می تواند در طرف چپ P نیز باشد .

تفاضل طولهای نقاط P و Q را با  نشان می دهیم. بنابراین

ممکن است مثبت یا منفی باشد. پس، ضریب زاویه خط قاطع PQ به شرطی که PQ قائم نباشد، از رابطه زیر به دست می آید.

    

چون  x₂=x₁+ ، معادله فوق را می توانیم به صورت زیر بنویسیم.

حال فرض نقطه P ثابت باشد، و نقطه Q را در طول منحنی به طرف P حرکت دهیم، یعنی Q به سمت P میل کند.این عمل معادل است با اینکه  را به سمت صفر میل بدهیم. ضمن انجام این عمل، خط قاطع حول نقطه ثابت P گردش می کند. اگر این خط قاطع دارای یک وضعیت حدی باشد، همین وضعیت حدی است که ما می خواهیم خط مماس بر نمودار در نقطه P باشد. از این رو، می خواهیم ضریب زاویه خط مماس بر نمودار در P، برابر با حد m_PQ باشد  وقتی که  به سمت صفر میل می کند، البته چنانچه این حد وجود داشته باشد. اگر  یا  ، آنگاه  به صفر میل می کند و خط PQ به سمت خطی که از P می گذرد و موازی محور Y هاست، میل می کند. در این حالت، می خواهیم خط مماس بر منحنی در P همان خط x=x₁ باشد.

رسم نمودارهایی سهمی  Y=x²-4x+7

برای رسم نمودار 7، چند نقطه و قطعه ای از خط مماس در چند نقطه را رسم می کنیم. مقادیر x را به طور دلخواه اختیار می کنیم و مقدار متناظر y را از معادله داده شده محاسبه می کنیم. همچنین مقدار m را از معادله (2) به دست می آوریم. پیدا کردن نقاطی که در آنها خط مماس بر نمودار افقی است، واجد اهمیت است. چون ضریب زاویه خط افقی صفر است، این نقاط را از معادله m(x₁)=0 می توان به دست آورد. اگر این محاسبات  را برای این مثال انجام دهیم، داریم 2x₁-4=0 که به دست می دهد x₁=2 بنابراین، در نقطه ای که طول آن 2 است، خط مماس موازی محور x ها است.

تعریف خط قائم بر منحنی در نقطه مفروض، عبارتست از خط عمود بر خط مماس در آن نقطه.

چون خط قائم در یک نقطه عمود برخط مماس در آن نقطه است حاصلضرب ضریب زاویه های آن ها برابر -1 است.

3 . 2. 1 تعریف مشتق تابع f تابعی است که با علامت f¹ نشان داده می شود و مقدار آن در هر عدد x واقع در قلمرو f به صورت زیر داده می شود.

(2)                                                                                

به شرطی که حد فوق وجود داشته باشد.

علامت دیگری که به جای f¹(x)  به کار برده می شود D_x f(x)  است، که خوانده می شود «مشتق اِفِ اِکس نسبت به اِ کس».

اگر x₁ عدد خاصی از قلمرو f باشد، آنگاه داریم

(3)                                                                    

فرض کنید در این فرمول،

(4)                                                                                                        

پس

(5)                                  معادل است با .

از فرمولهای (3)، (4) و (5) فرمول زیر را برای محاسبه f¹(x₁)  به دست می آوریم

(6)                                                                    

اگر y=f(x) ، آنگاه f¹(x) عبارت است از مشتق y نسبت به x ؛ و گاهی نماد D_xy  به جای f¹(x) به کار می رود. همچنین نماد y¹ نیز برای مشتق y نسبت به یک متغیر مستقل (در صورت مشخص بودن متغیر مستقل) به کار برده می شود.

اگر تابع f به صورت y=f(x) تعریف شده باشد، فرض می کنیم

بنابراین از فرمول (2) داریم

مشتق را گاهی با نماد dy/dx نمایش می دهند، اما این علامت را قبل از اینکه dx,dy را تعریف کنیم به کار نخواهیم برد.

مثال  فرض کنید

و D_xy را پیدا  کنید.

حل

F¹(x) می تواند برای بعضی از مقادیر x در قلمرو f وجود داشته باشد و برای مقادیر دیگری از x واقع در قلمرو f، وجود نداشته باشد.

تعریف تابع f را در x₁ مشتق پذیر گوییم اگر F¹(x₁) وجود داشته باشد.

ـ نمونه 1 از تعریف بالا نتیجه می شود که تابع  به ازای همه اعداد بجز صفر مشتق پذیر است.

تعریف تابع f را روی بازه ای مشتق پذیر گوییم اگر f به ازای هر عدد واقع در آن بازه مشتق پذیر باشد.

ـ نمونه 2 در تابع f(x)=3x²+12، و قلمرو f مجموعه همه اعداد حقیقی است. چون f¹(x)=6x و 6x برای همه اعداد حقیقی موجود است، نتیجه می شود که f در همه جا مشتق پذیر است.

مشتق پذیری و پیوستگی

تابع y=x¹/₃  در صفر پیوسته است ولی در آنجا مشتق پذیر نیست. ولی. بر  نمودار این تابع در مبدا، محور yها مماس است. در نمونه زیر، تابعی داریم که در صفر پیوسته است ولی مشتق پذیر نیست و بر  نمودارش در مبدا، خطی مماس نمی شود.

ـ نمونه 1 فرض کنید f تابع قدر مطلق باشد. بنابراین

F(x)=|x|

و

چون  نتیجه می شود که حد دو طرفه  وجود ندارد. بنابراین f¹(0) وجود ندارد و لذا f در صفر مشتق پذیر نیست.

چون توابع مذکور در نمونه فوق در یک عدد پیوسته اند اما در آن عدد مشتق پذیر نیستند، می توان نتیجه گرفت  که پیوستگی یک تابع در یک عدد، مشتق پذیری آن تابع در آن عدد را ایجاب نمی کند. ولی مشتق پذیری قطعاً مستلزم پیوستگی است.

تابعی چون f می تواند به یکی از دلایل زیر در عددی مانند c مشتق پذیر نباشد.

1ـ تابع f در c پیوسته نباشد.

2ـ تابع f در c پیوسته باشد، و خط قائمی بر نمودار f در نقطه به طول x=c مماس شود .

3ـ تابع f در c پیوسته باشد، ونمودار تابع f در نقطه به طول x=c خط مماسی نداشته باشد. در نمودار تابعی آمده است که در این شرط صدق می کند.  ملاحظه کنید که نمودار در x=c «گوشه ای » دارد.

مشتق یک طرفه

 اگر تابع f در x1 تعریف شده باشد، آنگاه مشتق راست f  در x1 با f¹+(x₁) نمایانده می شود و به صورت زیر تعریف می گردد

به شرطی که این حد وجود داشته باشد.

اگر تابع f در x₁ تعریف شده باشد، آنگاه مشتق چپ f در x₁ با f¹-(x₁) نمایانده می شود و به صورت زیر تعریف می شود

به شرطی که این حد وجود داشته باشد.

چند قضیه در مورد مشتق گیری از توابع جبری

عمل یافتن مشتق یک تابع را مشتق گیری می نامند که می تواند با استفاده از تعریف انجام شود. ولی، اگر بخواهیم فقط از آن تعریف استفاده کنیم، این عمل نسبتاً طولانی خواهد بود؛ لذا اکنون چند قضیه بیان می کنیم، که به کمک آنها پیدا کردن مشتق بعضی از توابع آسانتر می شود.

قضیه 1) اگر c یک عدد ثابت باشد، و برای هر x داشته باشیم f(x)=c آنگاه داریم

F¹(x)=0                                 

(1)                                                                                                                     D_x(c)=0

بنابراین، مشتق یک عدد ثابت برابر صفر است.

قضیه 2) اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، و داشته باشیم f(x)=xⁿ آنگاه

F¹(x)=nx ^n-1

(2)                                                                     D_x(xⁿ)=nx ^n-1

(3)                                                                     D_x [c.f(x)]= c.D_xf (x).                          

قضیه 3) مشتق حاصلضرب یک عدد ثابت در یک تابع، برابر است با حاصلضرب عدد ثابت در مشتق تابع، به شرطی که این مشتق وجود داشته باشد.

از ترکیب قضایای 2 و 3 نتیجه زیر به دست می آید : اگر f(x)=cxⁿ که n عددی صحیح و مثبت و c یک عدد ثابت است، داریم

F¹(x)=cnx ^n-1

قضیه 4) مشتق مجموع دو تابع برابر است با مجموع مشتقهای آن دو، به شرطی که این مشتقها وجود داشته باشند.

نتیجه قضیه قبل را می توان برای هر تعداد متناهی از توابع تعمیم داد؛ کافی است از قضیه قبل و استقرای ریاضی استفاده کنیم.

قضیه 5) مشتق مجموع تعدادی متناهی از توابع برابر است با مجموع مشتقهای آن توابع، به شرطی که این مشتقها وجود داشته باشند.

با استفاده از قضیه های قبل می توان مشتق هر تابع چند جمله ای را به سادگی محاسبه کرد.

قضیه 6) یعنی ، مشتق حاصلضرب دو تابع برابر است با تابع اول ضربدر مشتق تابع دوم به علاوه تابع دوم ضربدر مشتق تابع اول، به شرطی  که این مشتقها وجود  داشته باشند.

قضیه 7) مشتق خارج قسمت دو تابع عبارت است از کسری که مخرج آن، مربع مخرج کسر اصلی است و صورت آن، مخرج کسر اصلی ضربدر مشتق صورت منهای صورت کسر ضربدر مشتق مخرج است، به شرطی که این مشتقها وجود داشته باشند.

قضیه 8) اگر f(x)=x^-n  که در آن -n یک عدد صحیح منفی است و     آنگاه

F¹(x)= -nx ^-n-1  

قضیه 9)

D_x(sin x)=cos x.

برای پیدا کردن مشتق توابع کسینوسی مانند مشتق تابع سینوسی عمل می کنیم.

قضیه 10)

D_x(cos x)= -sin x.

چون D_x(sin x) = cos x، و cos x برای تمام مقادیر x تعریف شده است، پس تابع سینوسی همه جا مشتق پذیر و در نتیجه همه جا پیوسته است. به طور مشابه تابع کسینوسی نیز همه جا مشتق پذیر و پیوسته است. چون بیشترین مقداری که هر یک از دو تابع می تواند داشته باشد 1 و کمترین مقدار شان 1- است با توجه به قضیه مقدار میانی، برد هر یک از دو تابع [-1,1] است.

مثال 3 معادله خط مماس بر نمودار تابع کسینوسی در نقطه  را پیدا کنید.

حل اگر f(x)=cos x = f(x) آنگاه f1(x)= -sin x . بنابراین

با استفاده از صورت نقطه ـ ضریب زاویه ای، معادله خطی با ضریب زاویه 1 که از نقطه  بگذرد، چنین است.

قضیه 11) (قاعده زنجیری) فرض کنید y تابعی از u  است که به صورت y=f(u) تعریف شده است، و D_uy وجود دارد؛ و نیز فرض کنید u تابعی از x است که به صورت u=g(x) تعریف شده است، و D_xu  وجود دارد؛ در این صورت، y تابعی از x است و D_xy وجود دارد و از رابطه زیر به دست می آید.

D_xy=D_uy.D_xu.

اگر نماد تابع مرکب را به کار بریم قاعده زنجیری بصورت زیر نوشته می شود

D_xf (g(x)=f¹(g(x).g¹(x)

مشتق گیری ضمنی

اگر  ، آنگاه معادله

(1)                                                                                     y=3x²+5x+1

تابع F را به طور صریح تعریف می کند. ولی، هر  تابعی را نمی توان به طور صریح تعریف کرد. به عنوان مثال، در معادله

(2)                                                                                                         x⁶-2x=3y⁶+y⁵-y²

نمی توانیم y را بر حسب x به دست آوریم

با فرض اینکه معادله (2) ، y را به عنوان حداقل یک تابع مشتق پذیر از x تعریف کند، می توانیم مشتق y نسبت به x را با فرآیندی موسوم به مشتق گیری ضمنی پیدا کنیم، که اکنون این کار را می کنیم.

طرف چپ معادله (2) تابعی از x و طرف راست آن تابعی از y است. فرض کنید f تابعی باشد که به وسیله طرف چپ معادله (2) تعریف می شود، و G تابعی باشد که به وسیله طرف راست آن تعریف می شود. بدین ترتیب داریم

(3)                                                                     F(x)=x⁶-2x

و

(4)                                                         G(y)=3y⁶+y⁵-y²

که در آن y از x مثلاً به صورت زیر است

y=f(x).

بنابراین، معادله (2) را به صورت زیر می توان نوشت

(5)                                                                     F(x)=G(f(x)).

معادله (5) به ازای تمام مقادیر x واقع در قلمرو f که برای آنها G[f(x)] وجود داشته باشد، برقرار است.

در این صورت، برای تمام مقادیر x که به ازای آنها تابع  f مشتق پذیر باشد، داریم

(6)                                             D_x[x6-2x]=D_x[3y⁶+y⁵-y²]

(7)                                                         D_x[x⁶-2x]=6x⁵-2            

با استفاده از قاعده زنجیری، مشتق طرف راست معادله (6) را پیدا می کنیم.

(8) D_x[3y⁶+y⁵-y²]=18y⁵. D_xy+5y⁴. D_xy-2y . D_xy

اگر مقادیر مربوطه را از (7) و (8) در معادله (6) قرار دهیم، داریم

6x⁵-2=(18y⁵+5y⁴-2y)D_xy.

معادله (2) نوع ویژه ای از معادله شامل x و y است زیرا می توان آن را طوری نوشت که تمام جملات شامل x در طرف چپ و تمام جملات شامل Y در طرف راست معادله قرار داشته باشند.

مشتقهای مراتب بالاتر

اگر f¹ مشتق تابع f باشد، آنگاه f¹ نیز خود یک تابع است، و مشتق اول f نامیده می شود. اگر مشتق f¹ وجود داشته باشد، آن را مشتق دوم f می نامیم و با علامت f¹¹ نمایش می دهیم (که خوانده می شود اف زِ گوند). به طور مشابه، مشتق سوم f  را به عنوان مشتق اول f¹¹ ، در صورت وجود، تعریف کرده و با علامت f¹¹¹ نشان می دهیم (و می خوانیم اف تیرس).

اگر n یک عدد صحیح مثبت بزرگتر از 1 باشد، مشتق n م تابع f را به عنوان مشتق اول (n-1) م تابع f تعریف می کنیم و آن را با علامت f(ⁿ) نشان می دهیم . پس می توانیم خود تابع f را با f(⁰) نیز نمایش دهیم. علامت دیگری برای مشتق n م f به صورت  است. همچنین، اگر تابع f به وسیله  معادله y=f(x) تعریف شده باشد، n م f را با علامت  نیز می توان نشان داد.

مشتق دوم یعنی f¹¹(x) بر حسب واحد f¹(x)  در واحد x بیان می شود، که عبارت است از واحد f(x) در واحد x، در واحد x (مربع واحد). مثلاً در حرکت مستقیم الخط، اگر در لحظه t (ثانیه) فاصله ذره از مبدا f(t) سانتی متر باشد، سرعت ذره در لحظه t ، f¹ (t) سانتی متر در ثانیه و آهنگ لحظه ای تغییر سرعت در t (ثانیه) ، f¹¹(t) سانتیمتر بر مربع ثانیه می باشد. در فیزیک، آهنگ لحظه ای تغییر سرعت را شتاب لحظه ای می نامند. بنابراین، اگر ذره ای در امتداد یک خط مستقیم طبق معادله s=f(t) در حال حرکت باشد، و در لحظه t (ثانیه)، سرعت لحظه ای برابر v سانتیمتر در ثانیه و شتاب لحظه ای a سانتیمتر بر مربع ثانیه باشد، آنگاه a برابر با مشتق v نسبت به t و یا مشتق دوم s نسبت به t خواهد بود؛ یعنی

کاربردهای دیگر مشتق دوم موارد استفاده آن در پیدا کردن اکسترمم (مینیمم یا ماکسیمم) نسبی توابع و رسم نمودار توابع است.

نکته : مشتق مرتبه چهارم y=sinx با خود y برابر است. بنابراین مشتقات مراتب بالاتر نیز مانند مشتقات مرتبه اول ، دوم و سوم و چهارم تکرار می شوند و مشتق مرتبه پنجم با مشتق اول، مشتق مرتبه ششم با دوم و ... برابر می شوند. بنابراین برای بدست آوردن مشتق مراتب بالا می توان مرتبه مشتق را بر عدد 4 تقسیم کرد و باقیمانده تقسیم را بدست آورد و سپس مشتق مرتبه عدد باقیمانده را حساب کرد.

مشتق به عنوان آهنگ تغییر

ذره ای را در نظر بگیرید که در امتداد یک خط مستقیم در حال حرکت است. یک چنین حرکتی را حرکت مستقیم الخط می نامند. یکی از دو جهت را به طور دلخواه مثبت، و جهت مخالف را منفی انتخاب می کنیم. به خاطر سادگی فرض می کنیم حرکت ذره در امتداد یک خط افقی است، که طرف راست آن جهت مثبت و طرف چپ آن جهت منفی باشد. نقطه ای را روی خط انتخاب کرده و آن را با حرف O نشان می دهیم. فرض  کنید f تابعی باشد که فاصله جهت دار ذره را از O در هر لحظه از زمان تعیین می کند.

به طور مشخص، اگر فاصله جهت دار ذره از O در زمان t (ثانیه) برابر s سانتیمتر باشد، در این صورت f تابعی است که با معادله زیر تعریف می شود.

(1)                                 S=f(t)

که فاصله جهت دار ذره از نقطه O در یک لحظه خاص از زمان را نشان می دهد.

به عنوان مثال، اگر ذره ای در امتداد یک خط مستقیم طبق معادله S=f(t) در حال حرکت باشد، سرعت آن ذره در لحظه t بر حسب واحد زمان، به وسیله مشتق s نسبت به t معین می شود. چون می توان سرعت را به عنوان آهنگ تغییر مسافت در واحد تغییر زمان تعبیر کرد، نتیجه می گیریم که مشتق s نسبت به t همان آهنگ تغییر s در واحد تغییر t است.

به طریق مشابه، اگر کمیتی مانند y تابعی از کمیت دیگری مانند x باشد، می توان آهنگ تغییر y در واحد تغییر x را معین کرد. بحث در این مورد، مشابه بحثهای مربوط به ضریب زاویه خط مماس بر نمودار، و سرعت لحظه ای یک ذره که در امتداد یک خط مستقیم حرکت می کند، خواهد بود.

تعریف اگر y=f(x) ، آهنگ لحظه ای تغییر y در واحد x ، در x₁ ، برابر است با f¹(x₁) و به عبارت دیگر، مشتق y نسبت به x در x₁ ، به شرطی که f¹(x₁) وجود داشته باشد.

آهنگ متوسط تغییر y در واحد تغییر x از کسر (3) به دست می آید، و اگر این کسر را در  ضرب کنیم، داریم

که همان تغییر واقعی y ناشی از تغییر x به اندازه  است، وقتی که نقطه (x,y) در امتداد نمودار حرکت می کند.

تعریف اگر y=f(x) آهنگ نسبی تغییر y در واحد تغییر x، در x₁ برابر است با f¹(x₁) | f(x₁) و یا D_xy|y که در x=x₁ محاسبه می گردد.

قضیه رول

 اگر تابع f روی [a,b] پیوسته و روی (a,b) مشتق پذیر باشد و f(a)=f(b) آنگاه حداقل یک نقطه (a<c<b) c وجود دارد که برای آن f¹(c)=0

نقاط c در این قضیه نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آنها خطوط افقی هستند. این مطلب در نمودار مقابل نشان داده شده است.

قضیه مقدار میانگین

 هر گاه تابع f روی بازه [a,b] پیوسته و روی بازه (a,b) مشتق پذیر باشد. آنگاه حداقل یک نقطه c که a<c<b  وجود دارد بطوری که :

  F¹(c)

قضیه مقدار میانگین حالت کلی تر قضیه رول می باشد. در واقع  شیب خطی است که از نقاط ابتدا و انتهای تابع در این بازه می گذرد و c نقطه ای است که خط مماس بر نمودار در آن دارای شیبی برابر مقدار فوق است. یعنی خط مماس در c  موازی خط گذرا از نقاط ابتدا و انتهای بازه است.

ضمیمه :

مثال 1) معادله خط مماس بر منحنی  در نقطه (8 ، 5) را به دست آورید.

حل چون ضریب زاویه خط مماس در هر نقطه (x₁ , y₁) از رابطه زیر به دست می آید

M(x₁) = 2x₁-4

پس ضریب زاویه خط مماس در نقطه (8 ، 5) عبارت است از

M(5)=2(5)-4=6

بنابراین معادله خط مطلوب به صورت نقطه ـ ضریب زاویه ای، عبارت است از

Y-8=6(x-5)

Y=6x-22

مثال 2) فرض کنید f(x) = 3x² + 12 مشتق تابع f را پیدا  کنید.

حل اگر x عددی در قلمرو f باشد

مثال 3) تابع f(x)=x¹/₃ مفروض است. (الف) (x) را به دست آورید؛ (ب) نشان دهید (0)  وجود ندارد حتی اگر f در 0 پیوسته باشد. نمودار تابع f را رسم کنید.

حل

(الف)

صورت کسر فوق را برای به دست آوردن عامل مشترک  در صورت و مخرج گویا میکنیم و خواهیم داشت

(ب) (0) وجود ندارد چون 1/3x ^2/3 در صفر تعریف نشده است. معهذا، f در صفر پیوسته است، چون داریم

= 0

=f(0)

خرپا

روش تبدیل به درجه :

عدد = مقدارش = shift t که حاصل به توان 1 می رسد و بعد مقدارش = cos

مطلوبست محاسبه نیروهای داخلی بر حسب خرپای شکل زیر :

 

کششی       کششی

سازه های متقارن :

1 – از لحاظ شکل هندسی و شرایط تکیه گاهی 2 – از لحاظ بارهای خارجی

 

   

                                                                                                                                                                                                         

               

    با استفاده از روش مفصل ها نیروی داخلی مرکب از اعضای داخلی زیر را محاسبه کنید؟

تذکر 2 : هرگاه در گره ای دو عضو غیر //// و بدون بار خارجی متصل باشند. نیرو داخلی هر دو عضو صفر است.

سازه متقارن :

 1 – تقارن هندسی     

2 – تقارن بارگذاری

خرپا می توانند به لحاظ شکل ظاهری می توانند به شکل منوبل زیر باشد.

الف ) خرپای ساده : به خرپایی گفته می شود که از مجاورت مثلث بر ساخته که گوه ها فقط در رئوس آنهاست تشکیل یافته است.

ب ) خرپای مرکب : خرپایست که از اتصال جثه خرپای ساده به یکدیگر تشکیل شده و در آن حداقل یک مثلث وجود دارد. که گوه در راس آن قرار گرفته باشد.

ج ) خرپای مختلط : خرپایی است که هیچ یک از تعاریف فوق برای آن صدق نکند.

روش حل خرپاها

برای حل خرپاها از سه روش استفاده می گردد که عبارتند از :

1 – روش مفصل یا گره

2 – روش مقطع یا برش

3 – روش نیروی مجهول

که از روش 1 و 2 و 3 یا به عبارتی از هر سه روش برای حل خرپای ساده و مرکب می توان استفاده نمود. ولی فقط از نیروی مجهول جهت خرپای مختلط استفاده می نمایند.

روش مفصل یا گره :

در این روش به کمک نوشتن معادلات تعامل برای سبک تک گره ها ( در خرپای صفحه ای ) برای هر گره دو معادله تعادل وجود دارد. نیروهای داخلی را پس از آنکه واکنش های تکیه گاهی را می گردیم بدست خواهیم آورد. در این روش بایستی از گره ها این محاسبه را شروع نماییم که بیش از عضو مجهول به آن متصل شده باشد. این روش به صورت متوالی و پیاپی انجام می گیرد.

تذکر 1 : هر گاه در گره ای سه عضو بدون بار خارجی متصل باشند که دو عضو آن در یک امتداد قرار گرفته باشند نیروی داخلی عضو سوم حتما صفر است.

               

                                                                   

خرپا

دستگاهی ساختمانی مکانیکی متشکل از اجزاء با نیروی فقط محوری که از اتصالات مفصلی و لولایی این اجزا تشکیل یافته است. اجزاء خرپا فقط نیروی محوری تحمل می کند و این اجزا از نیروی کشی و لنگر خمشی صرف نظر می گردد. معمولا از خرپاها جهت پوشش دهانه های وسیع و همچنین ساخت دکل ها استفاده می گردد. نسبت به تیرها نسبتا اقتصادی می باشد. خرپاها به دو صورت دیده می شود . الف ) خرپا صفحه ای ب ) خرپا فضایی که ما در این درس به تشریح و حل خرپاهای صفحه ای و خرپاهای فضایی راه حل شان مانند خرپاهای فضایی بوده . ما بسیار پیچیده تر می باشد. به همین علت برای حل آنها از نرم افزارهای تخصصی Sep ( برنامه آنالیز سازه ) و etbs استفاده می گردد.

خرپا صفحه ای : که کلیه اجزای سازه ای و بارای آن در یک صفحه قرار داشته باشد. حال آنکه در خرپای فضایی عضوها در امتداد مختلف و در فرم سه بعدی هستند و نیروها و بارهای وارد نیز در جاهای مختلف داده می شود. در خرپاها نیز مانند سایر سازه ای مکانیکی می بایستی در ابتدا معین یا نامعینی دستگاه معین گردد. سپس به محاسبه واکنش های تکیه گاهی نیروهای داخلی در صورت معین بودن پرداخته شود. جهت بررسی معینی یا نامعینی یک سازه خرپا باید به روش زیر اقدام نمود.

 تعداد واکنش های تکیه گاهی r=4

                                  تعداد اجزا  m=11

تعداد مجهولات m+r=15

14=7×2=j2 معادلات تعادل در نتیجه j=r تعداد گره ها

دستگاه معین :

 

4=1+3 مجهولات                                                                   

4=1+3 معادلات                                                                    

فرمول 1

نمایش مولفه ها ،

نمایش تصویری مختصات یا نمایش مختصاتی

فرمول 2

برای محاسبه کردن مقدار                          

فرمول 3

این فرمول برای بدست آوردن اندازه فرمول استفاده می شود

فرمول 4

مثال برای فرمول 4

مثال : نقاط  و  است. مطلوب است محاسبه بردار AB.

فرمول 5

 

         

مطلوب است محاسبه بردار  در صورتی که اندازه R ( واحد R=4 ) و زوایایی که با محور x و y می سازد 30 و 60 درجه می باشد.

 

مطلوب است محاسبه بردار  که مقدار آن در واحد و در راستای نیم ساز ربع اول و سوم می باشد ؟

فرمول 6

در فضا                                   

مثال : مطلوب است محاسبه بردار R به اندازه 6 واحد که به موازات نیمساز می باشد ؟

بردار یکه هر بردار :

برداری است هم جهت و هم راستا با بردار اصلی اما مقدارش ( اندازه اش ) واحد است. از تقسیم هر بردار بر اندازه اش بردار یکه آن بردار محاسبه می شود.

فرمول کلی 7

مثال :

فرمول 8

مثال :

فرمول 9

مثال : بردارن در فضا موجود است که زوایایی که با محور x و z می سازد به ترتیب 30 و 60 درجه می باشد. مطلوبست محاسبه زوایایی که این بردار با محور y می سازد؟

از طریق فرمول 8 بدست می آید.

مثال  را بدست آورید.